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Aula 10 esquemas numéricos para a resolução dos sistemas de equações de conservação.

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1 Aula 10 esquemas numéricos para a resolução dos sistemas de equações de conservação

2 diferenças finitas e volumes finitos métodos de resolução diferenças finitas, exemplo: explícito, 1ª ordem no espaço e no tempo) esquemas explícitos de 1ª ordem no tempo para a resolução de i i+1 i 1 n n +1 funções U e F, e respectivas derivadas, discretizadas e transformadas em funções de malha. derivadas substituídas por acréscimos finitos: diferenças finitas centradas, progressivas, regressivas ou combinações entre estas.

3 diferenças finitas e volumes finitos métodos de resolução diferenças finitas, fórmula geral: esquemas explícitos de 1ª ordem no tempo para a resolução de bibliografia: Richtmyer e Morton 1967, Cunge et al. 1980, Hirsh 1989, 1990.

4 diferenças finitas e volumes finitos métodos de resolução volumes finitos fluxos avaliados nas fronteiras entre volumes centrados em i 1, i, i+1... esquemas explícitos de 1ª ordem no tempo para a resolução de i 1 i+1 i i+3/2 i+1/2 i 1/2 i 3/2

5 diferenças finitas e volumes finitos métodos de resolução volumes finitos, em geral esquemas explícitos de 1ª ordem no tempo para a resolução de bibliografia: Leveque 1980, Hirsh 1990, Toro 1998, Leveque 2002.

6 conceitos fundamentais para a caracterização dos esquemas métodos de resolução ordem (ver acetatos) diferenças finitas e volumes finitos exemplo: discretização por diferenças progressivas segunda ordem: erro de truncatura proporcional a x 2 exemplo: discretização por diferenças centradas

7 conceitos fundamentais para a caracterização dos esquemas métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos consistência (ver acetatos) exemplo: esquema upwind não conservativo aplicado a e como e, quando x 0 ou seja, obtém-se a equação inicial. logo, é consistente.

8 conceitos fundamentais para a caracterização dos esquemas métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos estabilidade (ver acetatos) exemplo: esquema upwind não conservativo aplicado a e sendo obtém-se verificar a frequência angular e o factor de ampliação associados às perturbações propagadas no domínio de cálculo em que

9 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos estabilidade exemplo: esquema a frequência angular numérica poderá ter componente imaginária (ao contrário das frequências angulares do sistema hiperbólico) assim dividindo a equação nas suas partes real e imaginária dividindo por obtém-se

10 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos estabilidade exemplo: esquema combinando as equações

11 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos estabilidade exemplo: esquema se não há ampliação/atenuação não há dispersão, celeridade numérica não depende do número de onda assim, se o esquema reproduz a forma de propagação hiperbólica: sem dissipação e sem dispersão.

12 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos estabilidade exemplo: esquema para quaisquer outros valores de Cr é necessário traçar os retratos de amplitude... : comprimento de onda das perturbações para quaisquer outros valores de Cr é necessário traçar os retratos de amplitude

13 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos estabilidade exemplo: esquema... e de fase...

14 conceitos fundamentais para a caracterização dos esquemas métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos estabilidade (ver acetatos) condição de Courant–Friedrichs–Lewis i i+1 i 1 n n +1

15 conceitos fundamentais para a caracterização dos esquemas métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos convergência (ver acetatos) teorema de equivalência de Lax: convergente sse é consistente, estável e bem condicionado

16 esquemas de discretização por diferenças finitas métodos de resolução tipo upwind upwind não conservativo tipo Lax-Wendroff Lax-Wendroff 2ª ordem, MacCormack tipo box Preissmann 1990s, actual com complemento de 2ª ordem finais 1980s, 1990s com TVD, actual... anos 70, 80 e início 90s

17 esquema upwind (1ª ordem, explícito) para métodos de resolução i i+1 i 1 n n +1 i i+1 i 1 n n +1 com estabilidade condicionada a

18 métodos de resolução esquema Lax-Wendroff (2ª ordem, explícito) para i i+1 i 1 n n +1 esquema instável estabilidade condicionada a necessita viscosidade artificial ou correcção TVD (total variation diminishing)

19 métodos de resolução esquema tipo box (Preissmann, implícitio) para

20 métodos de resolução ii+1 n n +1 estabilidade condicionada a valores usuais: esquema tipo box (Preissmann, implícitio) para

21 métodos de resolução notas: - o esquema upwind é muito difusivo porque o erro de truncatura é da ordem de x 2 ; - os esquemas de Lax-Wendroff são muito dispersivos e, sendo de 2ª ordem, são oscilatórios; necessitam sempre correcções TVD ou de viscosidade artificial; - os esquemas implícitos do tipo Preissmann são dispersivos e difusivos (a disfusão esconde a dispersão); sendo implícitos apresentam bom desempenho no que diz respeito ao tempo de cálculo ( t pode ser independente de );

22 esquema upwind (1ª ordem, explícito) para métodos de resolução com ver: diagonalização da matriz = S 1 A 1 BS

23 esquema upwind (1ª ordem, explícito) para métodos de resolução i i+1 i 1 n n +1 i i+1 i 1 n n +1 estabilidade condicionada a

24 esquema MacCormack (2ª ordem, explícito) para métodos de resolução i i+1 i 1 n n +1 p estabilidade condicionada a nota: o desempenho do esquema é melhorado se se alternar a aplicação das diferenças progressivas e regressivas

25 esquemas de discretização por volumes finitos métodos de resolução tipo Godunov HLLC (com Riemann solvers) quasi-2ª ordem Ying (2000) final década 1990, actualmente proposto em 2000

26 esquema HLLC (Harten-Lax-van Leer + Contact wave, 1ª ordem, explícito) para métodos de resolução t x x t valores médios nos volumes de cálculo problema de Riemann local estrutura da solução para o problema de Riemann local stencil de Godunov L R

27 esquema HLLC (Harten-Lax-van Leer + Contact wave, 1ª ordem, explícito) para métodos de resolução t x Riemann solvers para o esquema HLLC (podem ser aproximados) nota: não há descontinuidade em u e h através da onda de contacto

28 esquema HLLC (Harten-Lax-van Leer + Contact wave, 1ª ordem, explícito) para métodos de resolução t x expressão alternativa para as velocidades das ondas

29 esquema HLLC (Harten-Lax-van Leer + Contact wave, 1ª ordem, explícito) para métodos de resolução t x fluxos:

30 esquema HLLC (Harten-Lax-van Leer + Contact wave, 1ª ordem, explícito) para métodos de resolução t x fluxos, expressões alternativas: k = 3 : k = 1, 2 :

31 esquema de Ying (quasi 2ª ordem, quasi-implícito) para métodos de resolução nota: o vector de fluxo contém apenas os termos de fluxo físicos, eg. o vector H contém o declive da superfície livre, i.e. a soma do declive do fundo e da altura do escoamento

32 métodos de resolução esquemas de diferenças e volumes finitos, notas: - os diferenças finitas upwind e volumes finitos Godunov simples são equivalentes; são ambos altamente difusivos, não dispersivos e possuem grande aptência para capturar choques; - o esquema MacCormack é do tipo Lax-Wendroff; é de 2ª ordem no espaço e, logo, oscilatório; só se obtém soluções de qualidade se se controlar as oscilações com viscosidade artificial ou com algoritmos TVD com limitadores de fluxo;

33 métodos de resolução esquemas de diferenças e volumes finitos, notas: - o esquema HLLC é adequado para escoamentos que desenvolvem choques fortes; a sua aplicação a problemas quasi-estacionários tem vindo a ser tentada com resultados encorajadores - o esquema de Ying parece simular satisfatoriamente escoamentos transitórios e escoamentos permanentes; todavia é bastante difusivo e pode gerar oscilações na presença de choques fortes.

34 métodos de resolução condições de fronteira (ver acetatos) - método das características (ver acetatos) - células fantasma - difícil de aplicar em problemas com leito móvel; - implementável com trechos fictícios a montante e jusante; - resolução das equações nos nós de fronteira (requer nós fictícios a montante e a jusante); - fácil de implementar; matematicamente, pode representar um problema mal condicionado;

35 métodos de resolução condições de fronteira (ver acetatos) - modelos em equilíbrio, condição de fronteira para as equações de conservação da massa de sedimentos - não desejável: - preferível, integrar na primeira célula de cálculo:


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