Aula 10 esquemas numéricos para a resolução dos sistemas de equações de conservação.

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1 Aula 10 esquemas numéricos para a resolução dos sistemas de equações de conservação

2 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos
esquemas explícitos de 1ª ordem no tempo para a resolução de diferenças finitas, exemplo: explícito, 1ª ordem no espaço e no tempo) i i+1 i1 n n+1 funções U e F, e respectivas derivadas, discretizadas e transformadas em funções de malha. derivadas substituídas por acréscimos finitos: diferenças finitas centradas, progressivas, regressivas ou combinações entre estas.

3 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos
esquemas explícitos de 1ª ordem no tempo para a resolução de diferenças finitas, fórmula geral: bibliografia: Richtmyer e Morton 1967, Cunge et al. 1980, Hirsh 1989, 1990.

4 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos
esquemas explícitos de 1ª ordem no tempo para a resolução de volumes finitos fluxos avaliados nas fronteiras entre volumes centrados em i-1, i, i+1... i-1 i+1 i i+3/2 i+1/2 i-1/2 i-3/2

5 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos
esquemas explícitos de 1ª ordem no tempo para a resolução de volumes finitos, em geral bibliografia: Leveque 1980, Hirsh 1990, Toro 1998, Leveque 2002.

6 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos
conceitos fundamentais para a caracterização dos esquemas ordem (ver acetatos) exemplo: discretização por diferenças progressivas exemplo: discretização por diferenças centradas “segunda ordem”: erro de truncatura proporcional a Dx2

7 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos
conceitos fundamentais para a caracterização dos esquemas consistência (ver acetatos) exemplo: esquema upwind não conservativo aplicado a como e e, quando Dx → 0 ou seja, obtém-se a equação inicial. logo, é consistente.

8 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos
conceitos fundamentais para a caracterização dos esquemas estabilidade (ver acetatos) exemplo: esquema upwind não conservativo aplicado a verificar a frequência angular e o factor de ampliação associados às perturbações propagadas no domínio de cálculo sendo e obtém-se em que

9 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos estabilidade
exemplo: esquema dividindo por obtém-se a frequência angular numérica poderá ter componente imaginária (ao contrário das frequências angulares do sistema hiperbólico) assim dividindo a equação nas suas partes real e imaginária

10 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos estabilidade
exemplo: esquema combinando as equações

11 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos estabilidade
exemplo: esquema se não há ampliação/atenuação não há dispersão, celeridade numérica não depende do número de onda assim, se o esquema reproduz a forma de propagação hiperbólica: sem dissipação e sem dispersão.

12 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos
estabilidade exemplo: esquema para quaisquer outros valores de Cr é necessário traçar os retratos de amplitude... : comprimento de onda das perturbações para quaisquer outros valores de Cr é necessário traçar os retratos de amplitude

13 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos
estabilidade exemplo: esquema ... e de fase...

14 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos
conceitos fundamentais para a caracterização dos esquemas estabilidade (ver acetatos) condição de Courant–Friedrichs–Lewis n+1 n i1 i i+1

15 métodos de resolução diferenças finitas e volumes finitos
conceitos fundamentais para a caracterização dos esquemas convergência (ver acetatos) teorema de equivalência de Lax: convergente sse é consistente, estável e bem condicionado

16 métodos de resolução esquemas de discretização por diferenças finitas
tipo upwind 1990’s, actual com complemento de 2ª ordem upwind não conservativo tipo Lax-Wendroff Lax-Wendroff 2ª ordem, MacCormack finais 1980’s, 1990’s com TVD, actual... tipo “box” Preissmann anos 70, 80 e início 90’s

17 métodos de resolução esquema upwind (1ª ordem, explícito) para
com i i+1 i1 n n+1 i i+1 i1 n n+1 estabilidade condicionada a

18 métodos de resolução esquema Lax-Wendroff (2ª ordem, explícito) para
esquema instável i i+1 i1 n n+1 necessita viscosidade artificial ou correcção TVD (total variation diminishing) estabilidade condicionada a

19 métodos de resolução esquema tipo box (Preissmann, implícitio) para

20 métodos de resolução esquema tipo box (Preissmann, implícitio) para
valores usuais: n estabilidade condicionada a i i+1

21 métodos de resolução notas:
- o esquema upwind é muito difusivo porque o erro de truncatura é da ordem de Dx2; - os esquemas de Lax-Wendroff são muito dispersivos e, sendo de 2ª ordem, são oscilatórios; necessitam sempre correcções TVD ou de viscosidade artificial; - os esquemas implícitos do tipo Preissmann são dispersivos e difusivos (a disfusão esconde a dispersão); sendo implícitos apresentam bom desempenho no que diz respeito ao tempo de cálculo (Dt pode ser independente de l);

22 métodos de resolução esquema upwind (1ª ordem, explícito) para com
ver: diagonalização da matriz = S-1A-1BS

23 métodos de resolução esquema upwind (1ª ordem, explícito) para
estabilidade condicionada a

24 métodos de resolução esquema MacCormack (2ª ordem, explícito) para
nota: o desempenho do esquema é melhorado se se alternar a aplicação das diferenças progressivas e regressivas i i+1 i1 n n+1 p estabilidade condicionada a

25 métodos de resolução esquemas de discretização por volumes finitos
tipo Godunov HLLC (com Riemann solvers) final década 1990, actualmente quasi-2ª ordem Ying (2000) proposto em 2000

26 métodos de resolução esquema HLLC (Harten-Lax-van Leer + Contact wave, 1ª ordem, explícito) para stencil de Godunov problema de Riemann local t t x valores médios nos volumes de cálculo L R x estrutura da solução para o problema de Riemann local

27 métodos de resolução esquema HLLC (Harten-Lax-van Leer + Contact wave, 1ª ordem, explícito) para Riemann solvers para o esquema HLLC (podem ser aproximados) t x nota: não há descontinuidade em u e h através da onda de contacto

28 métodos de resolução esquema HLLC (Harten-Lax-van Leer + Contact wave, 1ª ordem, explícito) para expressão alternativa para as velocidades das ondas t x

29 métodos de resolução esquema HLLC (Harten-Lax-van Leer + Contact wave, 1ª ordem, explícito) para t x fluxos:

30 métodos de resolução esquema HLLC (Harten-Lax-van Leer + Contact wave, 1ª ordem, explícito) para t x fluxos, expressões alternativas: k = 3: k = 1, 2:

31 métodos de resolução esquema de Ying (quasi 2ª ordem, quasi-implícito)
para nota: o vector de fluxo contém apenas os termos de fluxo físicos, eg. o vector H contém o declive da superfície livre, i.e. a soma do declive do fundo e da altura do escoamento

32 métodos de resolução esquemas de diferenças e volumes finitos, notas:
- os diferenças finitas upwind e volumes finitos Godunov simples são equivalentes; são ambos altamente difusivos, não dispersivos e possuem grande aptência para capturar choques; - o esquema MacCormack é do tipo Lax-Wendroff; é de 2ª ordem no espaço e, logo, oscilatório; só se obtém soluções de qualidade se se controlar as oscilações com viscosidade artificial ou com algoritmos TVD com limitadores de fluxo;

33 métodos de resolução esquemas de diferenças e volumes finitos, notas:
- o esquema HLLC é adequado para escoamentos que desenvolvem choques fortes; a sua aplicação a problemas quasi-estacionários tem vindo a ser tentada com resultados encorajadores - o esquema de Ying parece simular satisfatoriamente escoamentos transitórios e escoamentos permanentes; todavia é bastante difusivo e pode gerar oscilações na presença de choques fortes.

34 métodos de resolução condições de fronteira (ver acetatos)
- método das características (ver acetatos) - difícil de aplicar em problemas com leito móvel; - implementável com trechos fictícios a montante e jusante; - células “fantasma” - resolução das equações nos nós de fronteira (requer nós fictícios a montante e a jusante); - fácil de implementar; matematicamente, pode representar um problema mal condicionado;

35 métodos de resolução condições de fronteira (ver acetatos)
- modelos em equilíbrio, condição de fronteira para as equações de conservação da massa de sedimentos - não desejável: - preferível, integrar na primeira célula de cálculo: