Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros

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1 Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros
Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na informação pública disponível em

2 Definições Convolução: Comutativa : x*y=y*x Homogénea : (ax)*y=a(x*y)
Distributiva : (x+u)*y=(x*y)+(u*y) Invariante no tempo : (DT(x))*y=DT(x*y)

3 Exemplo (discreto) y(n)=1,-2n 2, else y(n)=0 É uma média móvel

4 Exemplo

5 Exemplo (contínuo) t y(t)=1,-2t 2, else y(t)=0
É uma média móvel (dividindo pela largura da janela) t-2 t t+2

6 Exemplo (contínuo) Nota: a expressão não é válida para t<0

7 Exemplo (flip and drag)
1 x(t) 1 y(t) x(s) y(s) s=t 1 s 1 x*y t

8 Delta de Kronecker

9 Delta de Kronecker é uma base
Qualquer sinal x(n) pode ser decomposto numa combinação linear de Deltas de Kronecker Para os sistemas LTI, se eu souber a resposta ao delta de Kronecker, por linearidade posso saber a resposta do sistema a qualquer sinal

10 Delta de Dirac

11 Explicação intuitiva do delta de Dirac
y(t-s) 1/ x(s) 

12 Resposta Impulsiva e Convolução (Discreto)

13 Resposta Impulsiva e Convolução (contínuos)

14 Exemplo

15 Detalhe do cálculo da convolução

16 Demonstração intuitiva do teorema: Sistema Discreto LTI
h(n)

17 Demonstração intuitiva do teorema :Sistema Contínuo LTI
h(t)

18 Demonstração intuitiva do teorema
Quando se aplicou um x(t) qualquer a saída correspondente, tanto no caso discreto como no caso contínuo, foi dada pela convolução do sinal de entrada com a resposta impulsiva do sistema. A diferença é que nos sistemas discretos se usa o delta de Kronecker para definir a resposta impulsiva enquanto que nos sistemas contínuos se usa o delta de Dirac.

19 Exemplos x(n) -1 1 h(n) 1 -1 Nota: sistema LTI mas não causal

20 Exemplos DT x(t) y(t) h(t)=(t-T)

21 Relação entre Resposta Impulsiva e Resposta em Frequência

22 Exemplo: Obtivemos o mesmo H(w) que em tempos
obtiveramos por outro método

23 Exemplo:

24 Filtro genérico Y(n)=x(n)+0.5x(n-1)+0.7x(n-2)+y(n-1) + 0.2y(n-2) x(n)
D D 0.5 1 x(n-1) y(n-1) D D 0.7 x(n-2) 0.2 y(n-2) Quatro variáveis de estado mas poder-se-ia ter feito com menos

25 Filtro genérico Podemos definir que são dois sistemas em cascata x(n)
y(n) w(n) + + D D 0.5 1 x(n-1) y(n-1) D D 0.7 x(n-2) 0.2 y(n-2)

26 Filtro genérico A ordem pode ser invertida porque são sistemas LTI
x(n) y(n) + + D D 0.5 1 D D 0.2 0.7

27 Filtro genérico – número de estados
De uma forma geral, se houver k atrasos de y(n) e m atrasos de x(n), o número de atrasos necessário é max (k,m)

28 Projecto de um filtro ideal
Para implementar este filtro realizando a convolução em tempo real num DSP pretende-se saber os primeiros 128 pontos da resposta impulsiva. x(t) y(t) Filtro Ideal

29 Resposta em Frequência
Como sabemos o H(w) que pretendemos “só” teremos que resolver o sistema com 128 incógnitas para calcular os 128 valores de h(n). Este cálculo só se faz uma vez, porque depois são carregados em registos e em tempo real só é necessário efectuar a convolução.

30 Cálculo da resposta impulsiva
O filtro verdadeiramente vertical será impossível, mas é possível aproximarmo-nos dele. Se chamarmos Hd à resposta em frequência desejada, e Hh à resposta em frequência que se pode obter através da resposta impulsiva h, o problema de optimização a resolver é: Se usarmos o critério do desvio máximo. Há outros critérios e uma quantidade grande de filtros já predefinidos (em Matlab, por exemplo)