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Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation.

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1 Sistemas e Sinais (LEIC) – Capítulo 9 - Filtros Carlos Cardeira Diapositivos para acompanhamento da bibliografia de base (Structure and Interpretation of Signals and Systems, Edward A. Lee and Pravin Varaiya), maioritariamente baseados na informação pública disponível em

2 Definições Convolução: Convolução: Comutativa : x*y=y*x Comutativa : x*y=y*x Homogénea : (ax)*y=a(x*y) Homogénea : (ax)*y=a(x*y) Distributiva : (x+u)*y=(x*y)+(u*y) Distributiva : (x+u)*y=(x*y)+(u*y) Invariante no tempo : (D T (x))*y=D T (x*y) Invariante no tempo : (D T (x))*y=D T (x*y)

3 Exemplo (discreto) y(n)=1,-2 n 2, else y(n)=0 É uma média móvel

4 Exemplo

5 Exemplo (contínuo) t t+2t-2 y(t)=1,-2 t 2, else y(t)=0 y(t)=1,-2 t 2, else y(t)=0 É uma média móvel (dividindo pela largura da janela) É uma média móvel (dividindo pela largura da janela)

6 Exemplo (contínuo) Nota: a expressão não é válida para t<0

7 Exemplo (flip and drag) 1 x(t) 1 y(t) 1 x(s) y(s) s=t 1 t s x*y

8 Delta de Kronecker

9 Delta de Kronecker é uma base Qualquer sinal x(n) pode ser decomposto numa combinação linear de Deltas de Kronecker Para os sistemas LTI, se eu souber a resposta ao delta de Kronecker, por linearidade posso saber a resposta do sistema a qualquer sinal

10 Delta de Dirac

11 Explicação intuitiva do delta de Dirac x(s) y(t-s) 1/

12 Resposta Impulsiva e Convolução (Discreto)

13 Resposta Impulsiva e Convolução (contínuos)

14 Exemplo

15 Detalhe do cálculo da convolução

16 Demonstração intuitiva do teorema: Sistema Discreto LTI S (n) h(n)

17 Demonstração intuitiva do teorema :Sistema Contínuo LTI S (t) h(t)

18 Demonstração intuitiva do teorema Quando se aplicou um x(t) qualquer a saída correspondente, tanto no caso discreto como no caso contínuo, foi dada pela convolução do sinal de entrada com a resposta impulsiva do sistema. Quando se aplicou um x(t) qualquer a saída correspondente, tanto no caso discreto como no caso contínuo, foi dada pela convolução do sinal de entrada com a resposta impulsiva do sistema. A diferença é que nos sistemas discretos se usa o delta de Kronecker para definir a resposta impulsiva enquanto que nos sistemas contínuos se usa o delta de Dirac. A diferença é que nos sistemas discretos se usa o delta de Kronecker para definir a resposta impulsiva enquanto que nos sistemas contínuos se usa o delta de Dirac.

19 Exemplos h(n) 01 x(n) 01 Nota: sistema LTI mas não causal

20 Exemplos x(t) DTDT y(t) h(t)= (t-T)

21 Relação entre Resposta Impulsiva e Resposta em Frequência

22 Exemplo: Obtivemos o mesmo H(w) que em tempos obtiveramos por outro método

23 Exemplo:

24 Filtro genérico Y(n)=x(n)+0.5x(n-1)+0.7x(n-2)+y(n-1) + 0.2y(n-2) Y(n)=x(n)+0.5x(n-1)+0.7x(n-2)+y(n-1) + 0.2y(n-2) D D D D x(n) x(n-1) x(n-2) y(n) y(n-1) y(n-2) Quatro variáveis de estado mas poder-se-ia ter feito com menos

25 w(n) Filtro genérico Podemos definir que são dois sistemas em cascata Podemos definir que são dois sistemas em cascata D D D D x(n) x(n-1) x(n-2) y(n) y(n-1) y(n-2) 1 0.2

26 Filtro genérico A ordem pode ser invertida porque são sistemas LTI A ordem pode ser invertida porque são sistemas LTI D D D D x(n) y(n)

27 Filtro genérico – número de estados De uma forma geral, se houver k atrasos de y(n) e m atrasos de x(n), o número de atrasos necessário é max (k,m) De uma forma geral, se houver k atrasos de y(n) e m atrasos de x(n), o número de atrasos necessário é max (k,m)

28 Projecto de um filtro ideal Para implementar este filtro realizando a convolução em tempo real num DSP pretende-se saber os primeiros 128 pontos da resposta impulsiva. Filtro Ideal x(t) y(t)

29 Resposta em Frequência Como sabemos o H(w) que pretendemos só teremos que resolver o sistema com 128 incógnitas para calcular os 128 valores de h(n). Este cálculo só se faz uma vez, porque depois são carregados em registos e em tempo real só é necessário efectuar a convolução.

30 Cálculo da resposta impulsiva O filtro verdadeiramente vertical será impossível, mas é possível aproximarmo-nos dele. O filtro verdadeiramente vertical será impossível, mas é possível aproximarmo-nos dele. Se chamarmos Hd à resposta em frequência desejada, e Hh à resposta em frequência que se pode obter através da resposta impulsiva h, o problema de optimização a resolver é: Se chamarmos Hd à resposta em frequência desejada, e Hh à resposta em frequência que se pode obter através da resposta impulsiva h, o problema de optimização a resolver é: Se usarmos o critério do desvio máximo. Se usarmos o critério do desvio máximo. Há outros critérios e uma quantidade grande de filtros já predefinidos (em Matlab, por exemplo) Há outros critérios e uma quantidade grande de filtros já predefinidos (em Matlab, por exemplo)


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