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TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 Mais algumas propriedades: 3.4.9. Teorema da convolução no Domínio Z.

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1 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 1 Mais algumas propriedades: Teorema da convolução no Domínio Z

2 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Teorema de Parseval Forma Geral: P/ x 1 [n]=x 2 [n] sinal real Energia do sinal pode ser calculada tanto no domínio n quanto no domínio Z

3 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Teorema do Valor Final Seja: x[n]=0, n< Somatório Sinais Periódicos Ex.: [n]

4 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 4 5. Análise de Sistemas LTI Através da Transformada Z Seja um sistema discreto LTI: x[n]y[n]h[n] X(z) H(z) Y(z)=X(z).H(z) h[n]: Resposta ao impulso do sistema H(z): Resposta em frequência do sistema p/ z=e j Função de Transferência

5 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Resposta em Frequência de Sistemas LTI Transformada de Fourier p/ Sinais Discretos (DTFT) Resposta em Frequência Função complexa:

6 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Filtros Seletivos Ideais Passa-Baixas ideal: Vimos que: Passa-Altas ideal:

7 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 7 Observações: Filtros Não-Causais: Logo irrealizáveis computacionalmente Fase nula!

8 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Distorção de Fase e Atraso Considere o sistema de atraso ideal: c/ resposta em frequência: Notação polar: Visto que esta distorção linear de fase causa apenas um atraso do sinal, podemos considera-la como ideal, isto é, o sinal não é distorcido, mas sim apenas atrasado.

9 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 9 Logo podemos considerar o Passa-baixas ideal como: E sua resposta ao impulso: O mesmo pode ser feito para outros filtros ideais. Note: Por maior que seja n d será sempre um filtro não-causal.

10 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 10 Medida conveniente da linearidade da fase é o Atraso de Grupo. Definido por: Isto é: o atraso de grupo pode ser visto como – derivada da fase de uma H( ). Fase contínua. Atraso de grupo ideal: Constante

11 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 11 Ex.: Dado o Sistema:

12 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 12 E o sinal de entrada:

13 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 13

14 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Função de Transferência para sistemas Caracterizados por EDCC Dado o sistema LTI caracterizado pela EDCC: Calculando a Transformada Z de ambos os lados:

15 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 15

16 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 16 E a ROC??? Depende da causalidade do sistema

17 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 17 Ex:

18 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Estabilidade e Causalidade Se o sistema é Estável a ROC de H(z) deve conter a circunferência unitária, p/ que exista a H( ) e por conseguinte, h[n] seja absolutamente somável. Se o sistema é Causal a ROC deve ser a região fora do circulo definido pelo maior pólo.

19 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 19 z 1 Re{z} Im{z} z 1 Re{z} Im{z} Re{z} z 1 Im{z} z 1 Im{z}

20 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Sistema Inverso H i (z) é inverso de H(z) se: Logo: h [n]h i [n] x[n] y[n] x[n] Pólos de H(z) são zeros de H i (z) Zeros de H(z) são polos de H i (z)

21 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 21 Conclusões: Um sistema Estável Causal H(z) terá um sistema Inverso H i (z) Estável e Causal se e somente se os pólos E zeros de H(z) estiverem no interior do circulo unitário. Chamados SISTEMAS DE FASE MÍNIMA

22 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Resposta ao Impulso para Funções de Transferência Racionais Dado: H(z) racional: Podemos expandi-la em frações parciais em z -1 p/ pólos simples e H(z) causal:

23 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 23 Se existir pelo menos um d k com coeficiente A k não nulo Teremos que h[n] terá duração infinita. Logo o sistema será do tipo IIR (Infinite Impulse Response) Isto é, se H(z) tiver pelo menos um pólo fora da origem (z=0) o sistema será IIR. Primeiro caso:

24 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 24 Segundo caso: Se todos os pólos da H(z) estiverem na origem, h[n] terá duração finita M. Logo o Sistema será do tipo FIR (Finite Impulse Response) Saída y[n] pode ser calculada como: Isto é, h[n] será na forma: Convolução com os coeficientes da H(z)

25 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Resposta em Frequência de funções de Transferências Racionais Se um sistema LTI estável tem uma função H(z) racional, Então sua resposta em frequência pode ser calculada como:

26 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 26 Observações: Módulo em dB: Diagrama de Bode Fase: Cuidar que geralmente a função arctan(x) retorna Apenas o valor principal, isto é, entre [-, ], fica parecendo que a fase possui descontinuidades. Módulo:

27 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Resposta em Frequência de um Pólo e Zero Simples Revisão: Soma de Vetores: Subtração de Vetores

28 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 28 Ex.1: Assim: Método Analítico:

29 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 29 Matlab: Funções bodez.m e tf.m

30 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 30 Método Gráfico: Z Neste caso:

31 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Z Neste caso: Fase:

32 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 32 Ex.2: Z

33 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 33 Generalizando:

34 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 34 Ex.3: Zeros: -1 e 1 Polos: 0.8 /3 60° 1 Z

35 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 35 Ex.5.10: IIR 3ª ordem

36 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Sistemas Passa-tudo

37 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Sistemas de Fase Mínima Qualquer função H(z) racional pode ser decomposta em: Isto é, uma função fase mínima cascateada com um sistema all-pass para ajuste da fase Uso de filtros all-pass em compensação da resposta em frequência de sistemas fase não-mínima (sistema inverso é instável). H d (z) H c (z)

38 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Sistemas com Fase Linear Considere o sistema atraso ideal com Real, não necessariamente inteiro Logo: A transformada inversa é a resposta ao impulso:

39 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 39 Se: =n d inteiro então voltamos a: Ex.: Passa-Baixas ideal com fase linear

40 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 40 Se é um inteiro n d, a resposta ao impulso é simétrica em n=n d Porém, se 2 for um inteiro teremos simetria em relação à n= Caso contrário o filtro terá fase Linear porém h[n] não será simétrica

41 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Fase Linear Generalizada: Condição suficiente para que um sistema tenha Fase linear: Onde 2 é um número inteiro.

42 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR Sistemas c/ fase linear causais Se um sistema é causal: h[n]=0 n<0 Considerando também as condições anteriores p/ fase linear, Temos que h[n]=0 n>M Logo, o sistema é do tipo FIR com resposta ao Impulso com comprimento M+1 amostras E: A e ( ) Função real, par e periódica

43 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 43 E: A o ( ) Função real, impar e periódica OU: Lembrando: Estas são condições suficientes p/ ter sistemas com fase linear. Existem sistemas com H(z) não racional que possuem fase linear e não obedecem a estas condições.

44 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 44 Ex.5.17: Tipo I

45 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 45 Ex.5.18: Tipo II

46 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 46 Ex.5.19: Tipo III

47 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 47 Ex.5.20: Tipo IV

48 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 48 Localização dos Zeros em sistemas FIR c/ Fase Linear Zeros: Sobre circulo unitário Fora do circulo unitário aos pares simétricos Tipo ITipo II Tipo IIITipo IV

49 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR 49 Exercícios: 1) Calcule a H(z) do sistema: 2) Desenhe o diagrama de pólos e zeros da H(z) e Classifique os sistemas em FIR ou IIR


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