Mais algumas propriedades:

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1 Mais algumas propriedades:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Mais algumas propriedades: Teorema da convolução no Domínio Z

2 P/ x1[n]=x2[n] sinal real
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Teorema de Parseval Forma Geral: P/ x1[n]=x2[n] sinal real Energia do sinal pode ser calculada tanto no domínio n quanto no domínio Z

3 3.4.11. Teorema do Valor Final Seja: x[n]=0, n<0 3.4.12. Somatório
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Teorema do Valor Final Seja: x[n]=0, n<0 Somatório Ex.: [n] Sinais Periódicos

4 5. Análise de Sistemas LTI Através da Transformada Z
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 5. Análise de Sistemas LTI Através da Transformada Z Seja um sistema discreto LTI: x[n] y[n] h[n] X(z) H(z) Y(z)=X(z).H(z) h[n]: Resposta ao impulso do sistema H(z): Resposta em frequência do sistema p/ z=ej Função de Transferência

5 5.1. Resposta em Frequência de Sistemas LTI
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 5.1. Resposta em Frequência de Sistemas LTI Transformada de Fourier p/ Sinais Discretos (DTFT)  Resposta em Frequência Função complexa:

6 5.1.1. Filtros Seletivos Ideais
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Filtros Seletivos Ideais Passa-Baixas ideal: Vimos que: Passa-Altas ideal:

7 Observações: Filtros Não-Causais:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Observações: Filtros Não-Causais: Logo irrealizáveis computacionalmente Fase nula!

8 5.1.2. Distorção de Fase e Atraso
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Distorção de Fase e Atraso Considere o sistema de atraso ideal: c/ resposta em frequência: Notação polar: Visto que esta distorção linear de fase causa apenas um atraso do sinal, podemos considera-la como ideal, isto é, o sinal não é distorcido, mas sim apenas atrasado.

9 Logo podemos considerar o Passa-baixas ideal como:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Logo podemos considerar o Passa-baixas ideal como: E sua resposta ao impulso: O mesmo pode ser feito para outros filtros ideais. Note: Por maior que seja nd será sempre um filtro não-causal.

10 Medida conveniente da linearidade da fase é o Atraso de Grupo.
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Medida conveniente da linearidade da fase é o Atraso de Grupo. Definido por: Isto é: o atraso de grupo pode ser visto como – derivada da fase de uma H(). Fase contínua. Atraso de grupo ideal: Constante

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Ex.: Dado o Sistema:

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E o sinal de entrada:

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14 5.2. Função de Transferência para sistemas Caracterizados por EDCC
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 5.2. Função de Transferência para sistemas Caracterizados por EDCC Dado o sistema LTI caracterizado pela EDCC: Calculando a Transformada Z de ambos os lados:

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16 E a ROC??? Depende da causalidade do sistema
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR E a ROC??? Depende da causalidade do sistema

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Ex:

18 5.2.1. Estabilidade e Causalidade
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Estabilidade e Causalidade Se o sistema é Estável a ROC de H(z) deve conter a circunferência unitária, p/ que exista a H() e por conseguinte, h[n] seja absolutamente somável. Se o sistema é Causal a ROC deve ser a região fora do circulo definido pelo maior pólo.

19 z z z z 1 -1 Re{z} Im{z} 1 -1 Re{z} Im{z} Re{z} 1 -1 Im{z} 1 -1 Im{z}
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR z 1 -1 Re{z} Im{z} z 1 -1 Re{z} Im{z} Re{z} z 1 -1 Im{z} z 1 -1 Im{z}

20 5.2.2. Sistema Inverso Hi(z) é inverso de H(z) se: h [n] hi[n] x[n]
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Sistema Inverso Hi(z) é inverso de H(z) se: h [n] hi[n] x[n] y[n] Logo: Pólos de H(z) são zeros de Hi(z) Zeros de H(z) são polos de Hi(z)

21 Conclusões: Um sistema Estável Causal H(z) terá um sistema
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Conclusões: Um sistema Estável Causal H(z) terá um sistema Inverso Hi(z) Estável e Causal se e somente se os pólos E zeros de H(z) estiverem no interior do circulo unitário. Chamados SISTEMAS DE FASE MÍNIMA

22 5.2.3. Resposta ao Impulso para Funções de Transferência Racionais
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Resposta ao Impulso para Funções de Transferência Racionais Dado: H(z) racional: Podemos expandi-la em frações parciais em z-1 p/ pólos simples e H(z) causal:

23 Se existir pelo menos um dk com coeficiente Ak não nulo
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Primeiro caso: Se existir pelo menos um dk com coeficiente Ak não nulo Teremos que h[n] terá duração infinita. Logo o sistema será do tipo IIR (Infinite Impulse Response) Isto é, se H(z) tiver pelo menos um pólo fora da origem (z=0) o sistema será IIR.

24 Se todos os pólos da H(z) estiverem na origem,
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Segundo caso: Se todos os pólos da H(z) estiverem na origem, Isto é, h[n] será na forma: h[n] terá duração finita M. Logo o Sistema será do tipo FIR (Finite Impulse Response) Saída y[n] pode ser calculada como: Convolução com os coeficientes da H(z)

25 5.3. Resposta em Frequência de funções de Transferências Racionais
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 5.3. Resposta em Frequência de funções de Transferências Racionais Se um sistema LTI estável tem uma função H(z) racional, Então sua resposta em frequência pode ser calculada como:

26 Módulo em dB: Diagrama de Bode
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Observações: Módulo: Módulo em dB: Diagrama de Bode Fase: Cuidar que geralmente a função arctan(x) retorna Apenas o valor principal, isto é, entre [-,], fica parecendo que a fase possui descontinuidades.

27 5.3.1. Resposta em Frequência de um Pólo e Zero Simples
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Resposta em Frequência de um Pólo e Zero Simples Revisão: Soma de Vetores: Subtração de Vetores

28 Ex.1: Método Analítico: Assim:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Ex.1: Método Analítico: Assim:

29 Matlab: Funções bodez.m e tf.m
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30 Método Gráfico: Z -1 1 Neste caso:  0.5
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Método Gráfico: Z  -1 1 Neste caso: 0.5

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Fase: Z  Neste caso: -1 1 0.5

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Ex.2: -0.5  1 -1 Z

33 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Generalizando:

34 Ex.3: Zeros: -1 e 1 Polos: 0.8/3 60° 1 -1 Z 
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Ex.3: Zeros: -1 e 1 Polos: 0.8/3 60°  1 -1 Z

35 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Ex.5.10: IIR 3ª ordem

36 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
5.5. Sistemas Passa-tudo

37 5.6. Sistemas de Fase Mínima
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 5.6. Sistemas de Fase Mínima Qualquer função H(z) racional pode ser decomposta em: Isto é, uma função fase mínima cascateada com um sistema all-pass para ajuste da fase. Uso de filtros all-pass em compensação da resposta em frequência de sistemas fase não-mínima (sistema inverso é instável). Hd(z) Hc(z)

38 5.7. Sistemas com Fase Linear
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR 5.7. Sistemas com Fase Linear Considere o sistema atraso ideal com  Real, não necessariamente inteiro Logo: A transformada inversa é a resposta ao impulso:

39 Se: =nd inteiro então voltamos a:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Se: =nd inteiro então voltamos a: Ex.: Passa-Baixas ideal com fase linear

40 Se  é um inteiro nd , a resposta ao impulso é simétrica em n=nd
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Porém, se 2 for um inteiro teremos simetria em relação à n=  Caso contrário o filtro terá fase Linear porém h[n] não será simétrica

41 5.7.2. Fase Linear Generalizada:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Fase Linear Generalizada: Condição suficiente para que um sistema tenha Fase linear: Onde 2 é um número inteiro.

42 5.7.3. Sistemas c/ fase linear causais
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Sistemas c/ fase linear causais Se um sistema é causal: h[n]=0 n<0 Considerando também as condições anteriores p/ fase linear, Temos que h[n]=0 n>M Logo, o sistema é do tipo FIR com resposta ao Impulso com comprimento M+1 amostras E: Ae() Função real, par e periódica

43 Ao() Função real, impar e periódica
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR OU: E: Ao() Função real, impar e periódica Lembrando: Estas são condições suficientes p/ ter sistemas com fase linear. Existem sistemas com H(z) não racional que possuem fase linear e não obedecem a estas condições.

44 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Ex.5.17: Tipo I

45 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Ex.5.18: Tipo II

46 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Ex.5.19: Tipo III

47 TE-072 Processamento Digital de Sinais I - UFPR
Ex.5.20: Tipo IV

48 Localização dos Zeros em sistemas FIR c/ Fase Linear
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Localização dos Zeros em sistemas FIR c/ Fase Linear Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Zeros: Sobre circulo unitário Fora do circulo unitário aos pares simétricos

49 1) Calcule a H(z) do sistema:
TE-072 Processamento Digital de Sinais I UFPR Exercícios: 1) Calcule a H(z) do sistema: 2) Desenhe o diagrama de pólos e zeros da H(z) e Classifique os sistemas em FIR ou IIR