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Microeconomia A III Prof. Edson Domingues Aula 11 Teoria dos Jogos – Estratégias Mistas.

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1 Microeconomia A III Prof. Edson Domingues Aula 11 Teoria dos Jogos – Estratégias Mistas

2 Referências VARIAN, H. Microeconomia: princípios básicos. Rio de Janeiro: Elsevier, (tradução da sexta edição americana) – cap 28 e 29. PINDYCK, R. S., RUBINFELD, D.L. Microeconomia. São Paulo: Prentice Hall, (quinta edição). cap. 13 FIANI, R. Teoria dos Jogos: para cursos de administração e economia. Rio de Janeiro: Elsevier, BERNI, D. A. Teoria dos Jogos: jogos de estratégia, estratégia decisória, teoria da decisão. Rio de Janeiro: Reichmann e Affonso Ed., 2004.

3 Estratégias Puras B A Existe algum equilíbrio de Nash em estratégia pura? (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U D LR

4 Estratégias Puras B A (U,L) é um equilíbrio de Nash? (1,2)(1,2) (0,4) (0,5)(3,2) U D LR

5 Estratégias Puras B A (U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? (1,2) (0,4)(0,4) (0,5)(3,2) U D LR

6 Estratégias Puras B A (U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,L) é um equilíbrio de Nash? (1,2)(0,4) (0,5)(0,5) (3,2) U D LR

7 Estratégias Puras B A (U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,R) é um equilíbrio de Nash? (1,2)(0,4) (0,5) (3,2)(3,2) U D LR

8 Estratégias Puras B A (U,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (U,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,L) é um equilíbrio de Nash? Não. (D,R) é um equilíbrio de Nash? Não. (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U D LR

9 Estratégias Puras B A Jogo não possui equilíbrio de Nash de Estratégia pura. Apesar disso, o jogo possui um equilíbrio de Nash, mas de estratégias mistas. (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U D LR

10 Estratégias Mistas Ao invés de jogar puramente U ou D, Jogador A seleciona uma distribuição de probabilidade ( U,1- U ), significando que com probabilidade U o Jogador A jogará U e com probabilidade 1- U jogará D. Jogador A está misturando suas estratégias puras U e D. A distribuição de probabilidade ( U,1- U ) é a estratégia mista do Jogador A.

11 Estratégias Mistas Similarmente, Jogador B seleciona uma distribuição de probabilidade ( L,1- L ), significando que com probabilidade L o Jogador B jogará L e com probabilidade 1- L jogará R. Jogador B está misturando suas estratégias puras L e R. A distribuição de probabilidade ( L,1- L ) é a estratégia mista do Jogador B.

12 Estratégias Mistas A Este jogo não possui um equilíbrio de Nash de estratégia pura mas tem um equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Como se calcula? (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U D LR B

13 Estratégias Mistas A (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U, U D,1- U L, L R,1- L B

14 Estratégias Mistas A Se B joga L, seu retorno esperado é (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U, U D,1- U L, L R,1- L B

15 Estratégias Mistas A Se B joga L, seu retorno esperado é Se B joga R, seu retorno esperado é (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U, U D,1- U L, L R,1- L B

16 Estratégias Mistas Player A Se então B só jogaria L. Mas não existe equilíbrio de Nash no qual B joga apenas L. (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U, U D,1- U L, L R,1- L Player B

17 Estratégias Mistas A Se então B só jogaria R. Mas não existe equilíbrio de Nash no qual B joga apenas R. (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U, U D,1- U L, L R,1- L B

18 Estratégias Mistas A Então, para que exista eq. de Nash, B deve estar indiferenta entre jogar L ou R; i.e. (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U, U D,1- U L, L R,1- L B

19 Estratégias Mistas A Então, para que exista eq. de Nash, B deve estar indiferenta entre jogar L ou R; i.e. (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U, U D,1- U L, L R,1- L B

20 Estratégias Mistas A Então, para que exista eq. de Nash, B deve estar indiferenta entre jogar L ou R; i.e. (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U, D, L, L R,1- L B

21 Estratégias Mistas A (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) L, L R,1- L U, D, B

22 Estratégias Mistas A Se A joga U seu retorno esperado é (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) L, L R,1- L U, D, B

23 Estratégias Mistas A Se A joga U seu retorno esperado é Se A joga D seu retorno esperado é (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) L, L R,1- L U, D, B

24 Estratégias Mistas Se então A jogaria apenas U. Mas não existe equilíbrio de Nash no qual A joga apenas U. (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) L, L R,1- L U, D, B

25 Estratégias Mistas A Se Mas não existe equilíbrio de Nash no qual A joga apenas D. então A jogaria apenas D. (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) L, L R,1- L U, D, B

26 Estratégias Mistas A Então, para que exista eq. de Nash, A deve estar indiferente entre jogar U ou D; i.e. (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) L, L R,1- L U, D, B

27 Estratégias Mistas A Então, para que exista eq. de Nash, A deve estar indiferente entre jogar U ou D; i.e. (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) L, L R,1- L U, D, B

28 Estratégias Mistas A Então, para que exista eq. de Nash, A deve estar indiferente entre jogar U ou D; i.e. (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) L,R, U, D, B

29 Estratégias Mistas B A Então o único equilíbrio de Nash é o jogador A jogando a estratégia mista (3/5, 2/5) e o jogador B com a estratégia mista (3/4, 1/4). (1,2)(0,4) (0,5)(3,2) U, D, L,R,

30 Estratégias Mistas B A Os retornos serão (1, 2) com probabilidade (1,2) (0,4) (0,5)(3,2) U, D, L,R, 9/20

31 Estratégias Mistas B A Os retornos serão (0, 4) com probabilidade (0,4) (0,5)(3,2) U, D, L,R, (1,2) 9/203/20

32 Estratégias Mistas Player B Player A Os retornos serão (0, 5) com probabilidade (0,4) (0,5) U, D, L,R, (1,2) 9/203/20 6/20 (3,2)

33 Estratégias Mistas B A Os retornos serão (3, 2) com probabilidade (0,4) U, D, L,R, (1,2) 9/203/20 (0,5)(3,2) 6/202/20

34 Estratégias Mistas B A (0,4) U, D, L,R, (1,2) 9/203/20 (0,5)(3,2) 6/202/20

35 Estratégias Mistas B A O retorno esperado de eq de Nash para A é (0,4) U, D, L,R, (1,2) 9/203/20 (0,5)(3,2) 6/202/20

36 Estratégias Mistas B A O retorno esperado de eq de Nash para A é O retorno esperado de eq de Nash para B é (0,4) U, D, L,R, (1,2) 9/203/20 (0,5)(3,2) 6/202/20

37 Quantos equilíbrios de Nash? Um jogo com número finito de jogadores, cada um com um número finito de estratégias puras, possui pelo menos um equilíbrio de Nash. Portanto se o jogo não possui equilíbrio de Nash de estratégia pura, então ele deve ter pelo menos um equilíbrio de Nash de estratégia mista.

38 Estratégias Mistas – Jogos de Competição Chutador Competição: retornos opostos em cada combinação. Retornos representam pontos do Chutador, e respectiva perda para o Goleiro. Chance de gol é melhor com escolhas opostas. Chance de defesa é melhor com escolhas (E,E) ou (D,D). Chutador é melhor com a esquerda, para escolhas (E,E) ou (D,D). (50,-50)(80,-80) (90,-90)(20,-20) E D ED Goleiro

39 Estratégias Mistas – Jogos de Competição Chutador Não há equilíbrio de Nash em estratégias puras. Há equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Qual a razão para os jogadores adotarem estas estratégias? (50,-50)(80,-80) (90,-90)(20,-20) E D ED Goleiro

40 Estratégias Mistas – Jogos de Competição Chutador Para que exista eq. de Nash, Goleiro deve estar indiferente entre E ou D; i.e. (50,-50)(80,-80) (90,-90)(20,-20) E, U D,1- U E, L D,1- L Goleiro

41 Chutador Para que exista eq. de Nash, Chutador deve estar indiferente entre E ou D; i.e. (50,-50)(80,-80) (90,-90)(20,-20) E, U D,1- U E, L D,1- L Goleiro Estratégias Mistas – Jogos de Competição

42 Chutador (50,-50)(80,-80) (90,-90)(20,-20) E ( D (0,3) E ( D (0,4) Goleiro Estratégias Mistas – Jogos de Competição O retorno esperado de eq de Nash para Chutador é O retorno esperado de eq de Nash para Goleiro é

43 Linha (2, 1)(0,0) (1,2) E (l) D (1-l) E (c D (1-c) Coluna Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta (Varian (2003), Capítulo 29.2*) O retorno esperado de Coluna é A variação do retorno esperado de Coluna é: *Tradução da 6.a edição americana

44 Linha (2, 1)(0,0) (1,2) E (l) D (1-l) E (c D (1-c) Coluna Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta A variação do retorno esperado é positiva quando 3l>2 e negativa quando 3l<2. Ganho de Coluna aumentará sempre que l>2/3 e reduzirá quando l<2/3. Portanto, Coluna aumentará c quando l>2/3, e diminuirá c quando l<2/3. Quando l=2/3, Coluna está indiferente.

45 Linha (2, 1)(0,0) (1,2) E (l) D (1-l) E (c D (1-c) Coluna Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta A variação do retorno esperado Coluna aumentará c quando l>2/3, logo faz c=1. Diminuirá c quando l<2/3, logo faz c=0. Quando l=2/3, Coluna está indiferente.

46 Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta Coluna aumentará c quando l>2/3, logo faz c=1. Diminuirá c quando l<2/3, logo faz c=0. Quando l=2/3, Coluna está indiferente. 2/3 1 l c 1 Melhor resposta de Coluna

47 Linha (2, 1)(0,0) (1,2) E (l) D (1-l) E (c D (1-c) Coluna Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta O retorno esperado de Linha é A variação do retorno esperado de linha é:

48 Linha (2, 1)(0,0) (1,2) E (l) D (1-l) E (c D (1-c) Coluna Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta A variação do retorno esperado é positiva quando 3c>1 e negativa quando 3c<1. Ganho de linha aumentará sempre que c>1/3 e reduzirá quando c<1/3. Portanto, linha aumentará l quando c>1/3, e diminuirá l quando c<1/3. Quando c=1/3, linha está indiferente.

49 Linha (2, 1)(0,0) (1,2) E (l) D (1-l) E (c D (1-c) Coluna Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta A variação do retorno esperado Linha aumentará l quando c>1/3, logo faz l=1. Diminuirá l quando c<1/3., logo faz l=0. Quando c=1/3, linha está indiferente.

50 Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta 2/3 1 l c 1 Linha aumentará l quando c>1/3, logo faz l=1. Diminuirá l quando c<1/3., logo faz l=0. Quando c=1/3, linha está indiferente. 1/3 Melhor resposta de Linha

51 Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta 2/3 1 l c 1 1/3 Melhor resposta de Coluna Melhor resposta de Linha Quantos equilíbrios de Nash?

52 Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta 2/3 1 l c 1 Intersecções são equilíbrios de Nash. Neste caso: dois equilíbrios de estratégias puras e um com estratégias mistas. 1/3 Melhor resposta de Coluna Melhor resposta de Linha

53 Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta 2/3 1 l c 1 Intersecções são equilíbrios de Nash. Neste caso: dois equilíbrios de estratégias puras ( N 1 e N 2 ) e um com estratégias mistas ( M ). 1/3 Melhor resposta de Coluna Melhor resposta de Linha N1N1 N2N2 M

54 Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta N1N1 M N2N2 O retorno esperado de Coluna é O retorno esperado de Linha é No equilíbrio de estratégia mista (M):

55 Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta N1N1 M N2N2 Retornos Esperados Equilíbrios de Nash N1N1 N2N2 M Linha122/3 Coluna212/3

56 Estratégias Mistas – Curvas de melhor resposta 0,7 1 U 1 Intersecções são equilíbrios de Nash. Neste caso: um equilíbrio de Nash de estratégia mista. (Varian 29.4) 0,6 Melhor resposta do chutador Melhor resposta do Goleiro D


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