Cap. 3. Tensão 1. Existência das forças internas

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1 Cap. 3. Tensão 1. Existência das forças internas
2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy 3. Vector das tensões no ponto P 3.1 Componentes cartesianas 3.2 Componentes intrínsecas 4. Tensor das tensões no ponto P 4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões 4.2 Componentes de tensão 4.3 Prova da simetria de componentes em 2D 5. Equações de equilíbrio 5.1 Prova em 2D 6. Cálculo das componentes do vector das tensões 7. Carácter tensorial das tensões 7.1 Prova da lei de transformação em 2D 8. Notas sobre 3D 9. Tensões principais 10. Estados de tensão 11. Outras designações 12. Outras representações 12.1 Elipse de Lamé 12.2 Quadricas de Cauchy

2 Tensão é uma das repostas do MC ao carregamento
1. Existência das forças internas forças internas = sistema 3 sistema 1 A Forças externas = carregamento sistema 2 sistema 2 B sistema 1 corte A B forças internas = - sistema 3 Conjunto (sistema 1 & sistema 2) está em equilíbrio Conjunto (sistema 1 & sistema 3) está em equilíbrio sistema 2 e sistema 3 são equivalentes sistema 3 exprime o efeito da parte retirada B, carregada com o sistema 2 Conjunto (sistema 2 & (- sistema 3)) está em equilíbrio sistema 1 e – sistema 3 são equivalentes “- sistema 3” exprime o efeito da parte retirada A carregada com o sistema 1

3 2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy
Leonhard Euler ( ) em vez de forças internas usa-se a densidade das forças internas Densidade das forças internas no ponto P, efeito de = normal exterior unitária Densidade das forças internas no ponto P, efeito de Augustin Cauchy ( )

4 corte A B P O vector da densidade das forças internas no ponto P chama-se 3. Vector das tensões no ponto P Escolha-se um ponto P, que pertence à superfície de corte Define-se à volta do P um elemento infinitesimal de área que pertence à superfície de corte e que corresponde a duas facetas A faceta é sempre ligada ao resto do MC A faceta ligada a parte A com a normal exterior unitária A faceta ligada a parte B com a normal exterior unitária Força interna elementar Força interna elementar Densidade das forças internas, ou seja o vector das tensões Unidade N/m2=Pa 106Pa=MPa

5 é indiferente do modo que ΔA tende para zero
é indiferente da superfície de corte, desde que a normal no P é igual O vector das tensões no ponto P é unicamente definido para uma dada normal, o sentido é sempre relacionado com a faceta onde actua O sentido do vector das tensões relacionado às duas facetas no mesmo ponto com a normal da mesma direcção é sempre oposto 3.1 Componentes cartesianas tx, ty, tz: componentes cartesianas do vector das tensões 2 componentes em 2D, 3 em 3D Verifica-se que o sinal das componentes cartesianas é oposto

6 tn, tt: componentes intrínsecas
do vector das tensões 2 componentes em 2D e em 3D tn: componente normal tt: componente tangencial ou de corte tn: com sentido da normal tracção, positiva tn: contra sentido da normal compressão, negativa Verifica-se que o sinal da componente intrínseca normal é igual nas duas facetas. Verifica-se que as intensidades de ambas componentes não dependem do referencial Pode-se atribuir o sinal à componente tangencial, mas apenas em 2D. Este sinal depende do referencial e segue as regras das facetas positivas e negativas (explicação mais tarde). Se o referencial for igual nas duas facetas, o sinal seria também igual. Nota: Pontos da circunferência Mohr = componentes intrínsecas das facetas

7 4. Tensor das tensões no ponto P
4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões Mantém-se o ponto P mas escolha-se uma faceta com normal diferente as componentes do vector das tensões serão diferentes Diz-se que se conhece o estado das tensões no ponto P, quando se conhecem as componentes do vector das tensões em qualquer faceta que nele passa É preciso determinar o número dos valores necessários para poder unicamente exprimir componentes do vector das tensões a qualquer faceta Pode-se provar, que para isso tem que se saber vector das tensões relacionado: - em 3D a 3 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P - em 2D a 2 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P Devido a simetria do tensor das tensões (provada mais tarde) as componentes destes vectores das tensões devem finalizar 3 dados não contraditórios em 2D e 6 dados não contraditórios em 3D

8 Marque-se uma vizinhança infinitesimal em torno do ponto P
Prova em 2D Marque-se uma vizinhança infinitesimal em torno do ponto P Lados da vizinhança são infinitesimais, por isso a distribuição das componentes do vector das tensões pode ser considerada uniforme Sabendo componentes cartesianas nas facetas (x) e (y) é possível determinar as componentes cartesianas na faceta inclinada Nota: as condições de equilíbrio escrevem-se para forças e momentos, nunca para componentes de tensão As forças de volume não foram consideradas, porque contribuem com o termo de ordem maior (área versus aresta)

9 Representação geométrica das componentes de tensão
em 2D no rectângulo elementar Comprovando, que o conhecimento de vector das tensões nas duas facetas é suficiente para determinar o vector das tensões a qualquer faceta, ou seja é suficiente para definir o estado das tensões no ponto P, costumam-se escolher facetas do referencial original e em vez de componentes cartesianas marcam-se nelas componentes intrínsecas. Mais ainda, cada faceta representa-se nas suas duas formas e assim de facto recorta-se um rectângulo elementar do MC. Convenciona-se Quando o sentido da normal coincide com o sentido do eixo coordenado Faceta positiva : o sentido da componente positiva coincide com o sentido do eixo coordenado Quando o sentido da normal é oposto ao sentido do eixo coordenado Faceta negativa : o sentido da componente positiva é oposto ao sentido do eixo coordenado

10 Componente tangencial ou componente de corte Facetas positivas
Neste caso as componentes intrínsecas do vector das tensões chamam-se componentes do tensor das tensões Componente normal Componente tangencial ou componente de corte Facetas positivas Facetas negativas o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção Neste caso as direcções das componentes cartesianas e intrínsecas do vector das tensões em cada faceta coincidem, contudo o sentido positivo satisfaz as regras definidas no slide anterior Representação das componentes na forma matricial

11 com o termo de ordem maior
4.3 Prova da simetria de componentes em 2D Escolha-se vizinhança elementar rectangular em torno do ponto P, mergulhada no MC e escreve-se o equilíbrio dos binários Equilíbrio dos binários As forças de volume e as variações de tensão não foram consideradas, porque contribuem com o termo de ordem maior força força momento momento Representação das componentes na forma matricial

12 2 equações de equilíbrio para resolver 3 incógnitas
Augustin Cauchy ( ) Interior 5.1 Prova em 2D Vizinhança elementar rectangular em torno do ponto P, mergulhada no MC Nota: o equilíbrio dos momentos dava a relação de simetria, agora com a prova mais rigorosa do que no slide anterior 2 equações de equilíbrio não são suficientes para resolver 3 incógnitas

13 Carga cartesiana distribuída na superfície, valores dados
Fronteira Carga cartesiana distribuída na superfície, valores dados Vizinhança elementar triangular do ponto de superfície P Condições de fronteira 6. Cálculo das componentes do vector das tensões Componentes cartesianas de analogia: P: ponto interior, a normal {n} tem que ser exterior e unitária 2D 3D

14 Componentes intrínsecas
Componente normal e tangencial calculam-se como escalares Tensão normal na direcção {n} A componente normal é positiva quando o sentido dela coincide com o sentido da normal: tracção Tensão tangencial na faceta {n} O sentido da componente tangencial não está definido pela esta expressão Alternativamente, em 2D apenas!!!

15 7. Carácter tensorial das tensões
Equações de equilíbrio em 2D 7.1 A prova da lei de transformação em 2D Tensão é tensor da 2ª ordem Analogamente:

16 Equações de equilíbrio (de Cauchy) no interior
8. Notas sobre 3D Equações de equilíbrio (de Cauchy) no interior Representação geométrica das componentes no paralelepípedo elementar (facetas positivas) 3 equações de equilíbrio não são suficientes para resolver 6 incógnitas Representação das componentes na forma matricial Condições de fronteira Tensão é tensor simétrico  6 componentes em 3D

17 Para o ângulo de rotação θp, que satisfaz
9. Tensões principais Para o ângulo de rotação θp, que satisfaz a tensão de corte anula-se e as tensões normais atingem os seus máximos e mínimos; estas componentes normais chamam-se tensões principais onde qualquer componente normal Tensão de corte máxima: acompanhada de ,

18 Notas sobre a circunferência de Mohr
Os pontos da circunferência correspondem às componentes intrínsecas do vector das tensões nas facetas correspondentes As facetas positivas e negativas diferem de 180º, o que representa a rotação de 360º na circunferência, por isso as componentes são iguais, como era de esperar Orientação das componentes de corte determina a posição do ponto na circunferência de Mohr indiferentemente do referencial

19 10. Estados de tensão Homogéneo ou uniforme: as componentes do tensor das tensões não variam com a posição Pressão hidrostática Tracção pura Compressão pura Estado tangencial puro

20 Isostáticas Tangentes às direcções principais Tracção pura Estado tangencial puro analogamente Compressão pura Pressão hidrostática Qualquer direcção é principal, isostáticas não fazem sentido

21 teoria de plasticidade
11. Outras designações Tensor esférico e tensor desviador de tensão importante para a energia de deformação onde σm é a tensão média consequentemente Tensão octaédrica são as componentes intrínsecas do vector tensão no plano cuja normal é importante para teoria de plasticidade Tensão de von Mises Importante para teoria de plasticidade 2D 3D Richard von Mises ( )

22 12. Outras representações
12.1 Elipse de Lamé em 2D Elipsóide de Lamé em 3D Gabriel Lamé ( ) correspondem às componentes do vector das tensões numa faceta com a normal {n} de componentes nx, ny, nz no referencial principal Assume-se, que

23 Em 2D

24 12.2 Quádricas de Cauchy Quádrica = superfície que se pode representar por uma equação algébrica do segundo grau Quádrica de Cauchy = coeficientes desta equação coincidem com as componentes do tensor das tensões em 2D A curva não depende do referencial, porque o determinante de [σ] é invariante Quando Positivo para v.p. positivos ou seja quando os valores próprios têm o mesmo sinal, a curva corresponde a elipse Negativo para v.p. negativos

25 No referencial principal
Real para +1 Imag. para -1 Real para -1 Imag. para +1 Real para +1 Imag. para -1 Real para -1 Imag. para +1 Real para +1 Imag. para -1 Hipérboles Assimptotas com declives Real para -1 Imag. para +1 No referencial principal

26 Vamos analisar superfícies reais
em 3D como em 2D Vamos analisar superfícies reais Todos v.p. positivos e +1 no lado direito Todos v.p. negativos e -1 no lado direito Elipsóide 2 valores positivos 1 negativo 2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica De uma folha, real para +1 De duas folhas, real para -1

27 1 valor positivo 2 negativos 2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica De uma folha, real para -1 De duas folhas, real para +1 As rotações são apenas consequências da ordenação dos valores próprios, no slide anterior o “eixo” foi formado pelo (3), neste slide o “eixo” coincide com (1)