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Cap. 3. Tensão 1. Existência das forças internas 2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy 3. Vector das tensões no ponto P 3.1 Componentes cartesianas.

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1 Cap. 3. Tensão 1. Existência das forças internas 2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy 3. Vector das tensões no ponto P 3.1 Componentes cartesianas 3.2 Componentes intrínsecas 4. Tensor das tensões no ponto P 4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões 4.2 Componentes de tensão 4.3 Prova da simetria de componentes em 2D 5. Equações de equilíbrio 5.1 Prova em 2D 6. Cálculo das componentes do vector das tensões 7. Carácter tensorial das tensões 7.1 Prova da lei de transformação em 2D 8. Notas sobre 3D 9. Tensões principais 10. Estados de tensão 11. Outras designações 12. Outras representações 12.1 Elipse de Lamé 12.2 Quadricas de Cauchy

2 sistema 1 A Tensão é uma das repostas do MC ao carregamento Conjunto (sistema 1 & sistema 2) está em equilíbrio sistema 1 sistema 2 B forças internas = sistema 3 1. Existência das forças internas Conjunto (sistema 2 & (- sistema 3)) está em equilíbrio sistema 1 e – sistema 3 são equivalentes - sistema 3 exprime o efeito da parte retirada A carregada com o sistema 1 Forças externas = carregamento corte A B Conjunto (sistema 1 & sistema 3) está em equilíbrio sistema 2 e sistema 3 são equivalentes sistema 3 exprime o efeito da parte retirada B, carregada com o sistema 2 forças internas = - sistema 3

3 Augustin Cauchy ( ) Leonhard Euler ( ) 2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy Densidade das forças internas no ponto P, efeito de Densidade das forças internas no ponto P, efeito de = normal exterior unitária em vez de forças internas usa-se a densidade das forças internas

4 3. Vector das tensões no ponto P Unidade N/m 2 =Pa 10 6 Pa=MPa Define-se à volta do P um elemento infinitesimal de área A faceta é sempre ligada ao resto do MC A faceta ligada a parte A com a normal exterior unitária A faceta ligada a parte B com a normal exterior unitária Escolha-se um ponto P, que pertence à superfície de corte O vector da densidade das forças internas no ponto P chama-se que pertence à superfície de corte e que corresponde a duas facetas corte A B P Força interna elementar Densidade das forças internas, ou seja o vector das tensões

5 t x, t y, t z : componentes cartesianas do vector das tensões O vector das tensões no ponto P é unicamente definido para uma dada normal, o sentido é sempre relacionado com a faceta onde actua é indiferente do modo que ΔA tende para zero é indiferente da superfície de corte, desde que a normal no P é igual 2 componentes em 2D, 3 em 3D 3.1 Componentes cartesianas Verifica-se que o sinal das componentes cartesianas é oposto O sentido do vector das tensões relacionado às duas facetas no mesmo ponto com a normal da mesma direcção é sempre oposto

6 t n, t t : componentes intrínsecas do vector das tensões 2 componentes em 2D e em 3D t n : com sentido da normal tracção, positiva t n : contra sentido da normalcompressão, negativa t n : componente normal t t : componente tangencial ou de corte 3.2 Componentes intrínsecas Nota: Pontos da circunferência Mohr = componentes intrínsecas das facetas Verifica-se que o sinal da componente intrínseca normal é igual nas duas facetas. Verifica-se que as intensidades de ambas componentes não dependem do referencial Pode-se atribuir o sinal à componente tangencial, mas apenas em 2D. Este sinal depende do referencial e segue as regras das facetas positivas e negativas (explicação mais tarde). Se o referencial for igual nas duas facetas, o sinal seria também igual.

7 Pode-se provar, que para isso tem que se saber vector das tensões relacionado: - em 3D a 3 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P - em 2D a 2 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P Mantém-se o ponto P mas escolha-se uma faceta com normal diferente as componentes do vector das tensões serão diferentes É preciso determinar o número dos valores necessários para poder unicamente exprimir componentes do vector das tensões a qualquer faceta 4. Tensor das tensões no ponto P Diz-se que se conhece o estado das tensões no ponto P, quando se conhecem as componentes do vector das tensões em qualquer faceta que nele passa 4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões Devido a simetria do tensor das tensões (provada mais tarde) as componentes destes vectores das tensões devem finalizar 3 dados não contraditórios em 2D e 6 dados não contraditórios em 3D

8 Marque-se uma vizinhança infinitesimal em torno do ponto P Prova em 2D Lados da vizinhança são infinitesimais, por isso a distribuição das componentes do vector das tensões pode ser considerada uniforme As forças de volume não foram consideradas, porque contribuem com o termo de ordem maior (área versus aresta) Sabendo componentes cartesianas nas facetas (x) e (y) é possível determinar as componentes cartesianas na faceta inclinada Nota: as condições de equilíbrio escrevem-se para forças e momentos, nunca para componentes de tensão

9 Comprovando, que o conhecimento de vector das tensões nas duas facetas é suficiente para determinar o vector das tensões a qualquer faceta, ou seja é suficiente para definir o estado das tensões no ponto P, costumam-se escolher facetas do referencial original e em vez de componentes cartesianas marcam-se nelas componentes intrínsecas. Mais ainda, cada faceta representa-se nas suas duas formas e assim de facto recorta-se um rectângulo elementar do MC. Representação geométrica das componentes de tensão em 2D no rectângulo elementar 4.2 Componentes de tensão Quando o sentido da normal coincide com o sentido do eixo coordenado Convenciona-se Faceta positiva : o sentido da componente positiva coincide com o sentido do eixo coordenado Faceta negativa : o sentido da componente positiva é oposto ao sentido do eixo coordenado Quando o sentido da normal é oposto ao sentido do eixo coordenado

10 Neste caso as componentes intrínsecas do vector das tensões chamam-se componentes do tensor das tensões Componente normal Componente tangencial ou componente de corte o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção Neste caso as direcções das componentes cartesianas e intrínsecas do vector das tensões em cada faceta coincidem, contudo o sentido positivo satisfaz as regras definidas no slide anterior Facetas positivas Facetas negativas Representação das componentes na forma matricial

11 força momento 4.3 Prova da simetria de componentes em 2D Representação das componentes na forma matricial Equilíbrio dos binários Escolha-se vizinhança elementar rectangular em torno do ponto P, mergulhada no MC e escreve-se o equilíbrio dos binários As forças de volume e as variações de tensão não foram consideradas, porque contribuem com o termo de ordem maior

12 Nota: o equilíbrio dos momentos dava a relação de simetria, agora com a prova mais rigorosa do que no slide anterior 5. Equações de equilíbrio Vizinhança elementar rectangular em torno do ponto P, mergulhada no MC Interior Augustin Cauchy ( ) 5.1 Prova em 2D 2 equações de equilíbrio não são suficientes para resolver 3 incógnitas

13 6. Cálculo das componentes do vector das tensões Fronteira Carga cartesiana distribuída na superfície, valores dados Componentes cartesianas de analogia: P: ponto interior, a normal {n} tem que ser exterior e unitária 2D3D Condições de fronteira Vizinhança elementar triangular do ponto de superfície P

14 Componentes intrínsecas O sentido da componente tangencial não está definido pela esta expressão Componente normal e tangencial calculam-se como escalares A componente normal é positiva quando o sentido dela coincide com o sentido da normal: tracção Alternativamente, em 2D apenas!!! Tensão normal na direcção {n} Tensão tangencial na faceta {n}

15 7.1 A prova da lei de transformação em 2D Equações de equilíbrio em 2D Analogamente: Tensão é tensor da 2ª ordem 7. Carácter tensorial das tensões

16 Representação geométrica das componentes no paralelepípedo elementar (facetas positivas) Tensão é tensor simétrico 6 componentes em 3D Representação das componentes na forma matricial Equações de equilíbrio (de Cauchy) no interior 8. Notas sobre 3D 3 equações de equilíbrio não são suficientes para resolver 6 incógnitas Condições de fronteira

17 9. Tensões principais Para o ângulo de rotação θ p, que satisfaz a tensão de corte anula-se e as tensões normais atingem os seus máximos e mínimos; estas componentes normais chamam-se tensões principais, onde qualquer componente normal Tensão de corte máxima: acompanhada de

18 Notas sobre a circunferência de Mohr Os pontos da circunferência correspondem às componentes intrínsecas do vector das tensões nas facetas correspondentes As facetas positivas e negativas diferem de 180º, o que representa a rotação de 360º na circunferência, por isso as componentes são iguais, como era de esperar Orientação das componentes de corte determina a posição do ponto na circunferência de Mohr indiferentemente do referencial

19 10. Estados de tensão Tracção pura Compressão pura Pressão hidrostática Estado tangencial puro as componentes do tensor das tensões não variam com a posição Homogéneo ou uniforme:

20 Isostáticas Tangentes às direcções principais Tracção pura Estado tangencial puro Compressão pura Pressão hidrostática Qualquer direcção é principal, isostáticas não fazem sentido analogamente

21 11. Outras designações Tensor esférico e tensor desviador de tensão onde σ m é a tensão média Tensão octaédrica são as componentes intrínsecas do vector tensão no plano cuja normal é importante para teoria Tensão de von Mises 2D 3D consequentemente de plasticidade Importante para teoria de plasticidade Richard von Mises ( ) importante para a energia de deformação

22 12. Outras representações 12.1 Elipse de Lamé Gabriel Lamé ( ) em 2D Elipsóide de Lamé em 3D correspondem às componentes do vector das tensões numa faceta com a normal {n} de componentes n x, n y, n z no referencial principal Assume-se, que

23 Em 2D

24 em 2D A curva não depende do referencial, porque o determinante de [σ] é invariante 12.2 Quádricas de Cauchy Positivo para v.p. positivos Negativo para v.p. negativos Quádrica = superfície que se pode representar por uma equação algébrica do segundo grau Quádrica de Cauchy = coeficientes desta equação coincidem com as componentes do tensor das tensões Quando ou seja quando os valores próprios têm o mesmo sinal, a curva corresponde a elipse

25 Real para +1 Imag. para -1 Real para +1 Imag. para -1 Assimptotas com declives Real para -1 Imag. para +1 Real para -1 Imag. para +1 Real para +1 Imag. para -1 Real para -1 Imag. para +1 No referencial principal Hipérboles

26 em 3D Todos v.p. positivos e +1 no lado direito Todos v.p. negativos e -1 no lado direito Elipsóide Vamos analisar superfícies reais 2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica 2 valores positivos 1 negativo De duas folhas, real para -1De uma folha, real para +1 como em 2D

27 1 valor positivo 2 negativos De uma folha, real para -1 2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica De duas folhas, real para +1 As rotações são apenas consequências da ordenação dos valores próprios, no slide anterior o eixo foi formado pelo (3), neste slide o eixo coincide com (1)


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