Cap. 4. Deformação 1. Deslocamento 2. Gradiente de deformação

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1 Cap. 4. Deformação 1. Deslocamento 2. Gradiente de deformação
2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar 2.2 Significado físico da rotação pura 3. Tensor de deformação de Lagrange 4. Tensor das pequenas deformações 4.1 Caracter tensorial das deformações 4.2 Teoria geometricamente linear 4.3 Significado físico das pequenas deformações 4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão) 4.3.2 Variação do ângulo 4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção) 4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário 5. Deformação volúmica 6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas 7. Equações de compatibilidade 8. Forma matricial das equações introduzidas 9. Estados de deformação 10. Vector das deformações

2 Deformação é outra das repostas do MC ao carregamento
Cada vizinhança dos pontos interiores do MC depois da aplicação do carregamento muda: a sua posição (translação e rotação) o seu volume (parte volúmica do tensor da deformação) a sua forma (parte desviatórica do tensor da deformação) 1. Deslocamento vector que liga a posição inicial com a posição final, de cada ponto do MC não é preciso definir uma vizinhança para poder definir o vector de deslocamento Deslocamento é “visível”, pode-se medir, pelo menos na superfície, ao contrário de tensão, que é a nossa ficção

3 2. Gradiente de deformação
Os dois pontos têm as coordenadas no referencial 0xyz, assim o vector que os liga tem as componentes: Escolhe-se ponto P, e Q na vizinhança elementar de P analogamente Não há deformação, comportamento do corpo rígido

4 2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar
Para definir a deformação precisa-se apenas a variação de forma e de volume, por isso tem que se eliminar de {Δs’} a translação e a rotação do corpo rígido expansão de Taylor Posição Forma e volume p. desviatórica Translação p. volúmica Rotação Deformação

5 Translação pura Rotação pura Deformação pura

6 2.2 Significado físico da rotação pura
Plano (x,y) DCR

7 As componentes do tensor de rotação têm significado físico da rotação
do corpo rígido, quando as componentes << 1 Desprezando a condição Recorda-se que a matriz [B] corresponde a rotação de base de um referencial. Das relações em cima: Rotação finita tem que usar funções trigonométricas

8 3. Tensor de deformação de Lagrange
Alternativamente, exprimindo a diferença entre os quadrados das normas dos comprimentos novos e originais, obtém-se directamente a deformação, ou seja já com a translação e a rotação do corpo rígido eliminadas Tensor de deformação de Lagrange

9 Quando componentes do gradiente de deformação
4. Tensor das pequenas deformações Quando componentes do gradiente de deformação Joseph Lagrange ( ) Termo de ordem maior, ou seja desprezável chama-se tensor das pequenas deformações 4.1 Caracter tensorial das deformações Lei do quociente: derivando o vector (tensor da 1ª ordem) obtém-se um tensor da 2ª ordem são tensores simétricos, como se viu da definição Pode-se usar toda a teoria desenvolvida para tensores simétricos: Deformações principais, direcções principais, circunferência de Mohr, quádricas, ... A rotação [ω] é tensor da 2ª ordem, antissimétrico

10 As componentes de deformação não têm unidade, às vezes usa-se μ=10-6
4.2 Teoria geometricamente linear Teoria das pequenas deformações quando , usa-se então A teoria das pequenas deformações não impede deslocamentos grandes a limitação de grandeza é aplicada apenas para as derivadas Exemplos: translação pura, rotação pura Teoria dos pequenos deslocamentos pequenas deformações Não se distingue a posição inicial e a final do MC, superfície do MC assume-se igual antes a depois da aplicação da carga, as equações de equilíbrio escrevem-se para a forma não-deformada. Chama-se teoria geometricamente linear Igualmente teoria da I ordem Teoria da II ordem Estabilidade As equações de equilíbrio (e distribuição dos esforços internos) escrevem-se na forma deformada

11 4.3 Significado físico das pequenas deformações
4.3.1 Variação relativa do comprimento (Extensão) Extensão, ou seja Componente normal L infinitesimal A definição corresponde à variação do comprimento projectado na direcção original ângulo é pequeno Extensão tem significado físico de variação relativa do comprimento Positiva quando aumenta o comprimento

12 Assume-se uma fibra alinhada com eixo coordenado x
Prova Assume-se uma fibra alinhada com eixo coordenado x de comprimento original Δx, ou seja Queremos provar, que: Para as pequenas deformações temos: Voltando a relação anterior: pequeno

13 4.3.2 Variação do ângulo Não depende do referencial Assume-se ângulo formado pelas duas fibras definidas pelos versores , Pode-se provar que Exprime-se o produto interno dos versores depois da deformação

14 Exprime-se novamente o produto interno dos versores depois da deformação
Comparando Ângulo originalmente recto

15 4.3.3 Variação do ângulo originalmente recto (Distorção)
Componente tangencial, angular Pode-se provar, que Na figura é importante introduzir todas as variações nos sentidos positivos, assim os dois ângulos são positivos e somam-se A distorção é positiva, quando o ângulo diminui-se Já foi provado, que Introduzindo ,

16 Assim a componente tensorial corresponde à média dos dois ângulos
Distorção “de engenharia” tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto Assim a componente tensorial corresponde à média dos dois ângulos A representação da deformação angular “pura” tem que ser de modo que cada um dos ângulos correspondesse a esta média, ou seja tem que se retirar a rotação do corpo rígido Roda o eixo azul do ângulo que fazem os braços depois da deformação (azuis) pelo positivamente, até atingir o eixo do ângulo recto (vermelho)

17 4.3 Representação geométrica no quadrado elementar unitário
deformação Ajustar os ângulos rotação C’ B’ C inicial A’ translação Rectângulo elementar A B Retira-se a translação e a rotação, dimensões unitárias elementares (infinitesimais)

18 Campo do deslocamento linear
Campo de deformações uniforme Planos transformam-se para planos, rectas para rectas 5. Deformação volúmica Referencial principal Paralelepípedo elementar: volume inicial: Ângulos rectos transformam-se para ângulos rectos (distorções são nulas) Volume depois da deformação: Variação do volume: Deformação volúmica: Separação em parte volúmica e desviatórica, parte desviatórica tem o 1. invariante=0, ou seja a parte desviatórica não causa uma alteração de volume As distorções não causam alterações de volume, apenas de forma

19 6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas
As medições têm que corresponder a 1 ponto ou a distribuição das deformações têm que ser uniforme Base de medição: L Comprimento novo: L+ΔL Podem-se medir apenas as extensões Sabemos: incógnitas: Devido ao sistema de coordenadas introduzido:

20 Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, 1797 - 1886
7. Equações de compatibilidade Equações de integrabilidade 6 componentes da deformação versus 3 componentes do deslocamento deslocamentos deformações ??? Verificação da possibilidade física Meio contínuo é contínuo após deformação, ou seja, juntando cada paralelepípedo deformado não haverá espaços vazios Mais duas equações pela “permutação” positiva Mais duas equações pela “permutação” positiva Em 2D Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant,

21 8. Forma matricial das equações introduzidas
Componentes de tensão e deformação na forma vectorial introduzindo Equações deformações - deslocamento Equações de equilíbrio Equações de compatibilidade introduzindo

22 Vector das tensões introduzindo Equações de equilíbrio

23 9. Estados de deformação Homogéneo ou uniforme: as componentes do tensor das deformações não variam com a posição são constantes, por isso o campo dos deslocamentos é linear deformação volúmica pura distorção pura mas com a rotação extensão pura distorção pura 10. Vector das deformações Componentes cartesianas não se usam muito Componentes intrínsecas Componente normal equivale a extensão da fibra na direcção definida por {n} Não dependem do referencial Não se usa a componente tangencial, mas a variação do ângulo entre as fibras originalmente rectas definidas pelos versores ,