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Cap. 4. Deformação 1. Deslocamento 2. Gradiente de deformação 2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar 2.2 Significado físico da rotação.

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1 Cap. 4. Deformação 1. Deslocamento 2. Gradiente de deformação 2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar 2.2 Significado físico da rotação pura 3. Tensor de deformação de Lagrange 4. Tensor das pequenas deformações 4.1 Caracter tensorial das deformações 4.2 Teoria geometricamente linear 4.3 Significado físico das pequenas deformações Variação relativa do comprimento (Extensão) Variação do ângulo Variação do ângulo originalmente recto (Distorção) 4.4 Representação geométrica no quadrado elementar unitário 5. Deformação volúmica 6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas 7. Equações de compatibilidade 8. Forma matricial das equações introduzidas 9. Estados de deformação 10. Vector das deformações

2 Deformação é outra das repostas do MC ao carregamento Cada vizinhança dos pontos interiores do MC depois da aplicação do carregamento muda: a sua posição (translação e rotação) o seu volume (parte volúmica do tensor da deformação) a sua forma (parte desviatórica do tensor da deformação) vector que liga a posição inicial com a posição final, de cada ponto do MC não é preciso definir uma vizinhança para poder definir o vector de deslocamento 1. Deslocamento Deslocamento é visível, pode-se medir, pelo menos na superfície, ao contrário de tensão, que é a nossa ficção

3 Não há deformação, comportamento do corpo rígido Escolhe-se ponto P, e Q na vizinhança elementar de P 2. Gradiente de deformação analogamente Os dois pontos têm as coordenadas no referencial 0xyz, assim o vector que os liga tem as componentes:

4 Para definir a deformação precisa-se apenas a variação de forma e de volume, por isso tem que se eliminar de {Δs} a translação e a rotação do corpo rígido expansão de Taylor Translação Rotação Deformação Posição Forma e volume 2.1 Translação, rotação e deformação da vizinhança elementar p. desviatórica p. volúmica

5 Translação pura Rotação pura Deformação pura

6 2.2 Significado físico da rotação pura Plano (x,y) DCR

7 As componentes do tensor de rotação têm significado físico da rotação do corpo rígido, quando as componentes << 1 Recorda-se que a matriz [B] corresponde a rotação de base de um referencial. Desprezando a condição Das relações em cima: Rotação finita tem que usar funções trigonométricas

8 Alternativamente, exprimindo a diferença entre os quadrados das normas dos comprimentos novos e originais, obtém-se directamente a deformação, ou seja já com a translação e a rotação do corpo rígido eliminadas Tensor de deformação de Lagrange 3. Tensor de deformação de Lagrange

9 Joseph Lagrange ( ) Termo de ordem maior, ou seja desprezável 4. Tensor das pequenas deformações Quando componentes do gradiente de deformação 4.1 Caracter tensorial das deformações chama-se tensor das pequenas deformações Lei do quociente: derivando o vector (tensor da 1ª ordem) obtém-se um tensor da 2ª ordem Deformações principais, direcções principais, circunferência de Mohr, quádricas,... A rotação [ω] é tensor da 2ª ordem, antissimétrico são tensores simétricos, como se viu da definição Pode-se usar toda a teoria desenvolvida para tensores simétricos:

10 A teoria das pequenas deformações não impede deslocamentos grandes a limitação de grandeza é aplicada apenas para as derivadas Exemplos: translação pura, rotação pura 4.2 Teoria geometricamente linear Teoria das pequenas deformações Não se distingue a posição inicial e a final do MC, superfície do MC assume-se igual antes a depois da aplicação da carga, as equações de equilíbrio escrevem-se para a forma não-deformada. Teoria dos pequenos deslocamentospequenas deformações quando, usa-se então Teoria da II ordem Chama-se teoria geometricamente linear Igualmente teoria da I ordem As equações de equilíbrio (e distribuição dos esforços internos) escrevem-se na forma deformada Estabilidade As componentes de deformação não têm unidade, às vezes usa-se μ=10 -6

11 4.3 Significado físico das pequenas deformações Extensão, ou seja Componente normal Positiva quando aumenta o comprimento Extensão tem significado físico de variação relativa do comprimento L infinitesimal Variação relativa do comprimento (Extensão) A definição corresponde à variação do comprimento projectado na direcção original ângulo é pequeno

12 pequeno Queremos provar, que: Para as pequenas deformações temos: Assume-se uma fibra alinhada com eixo coordenado x de comprimento original Δx, ou seja Prova Voltando a relação anterior:

13 Pode-se provar que Variação do ângulo Assume-se ângulo formado pelas duas fibras definidas pelos versores, Exprime-se o produto interno dos versores depois da deformação Não depende do referencial

14 Ângulo originalmente recto Exprime-se novamente o produto interno dos versores depois da deformação Comparando

15 Distorção Componente tangencial, angular Na figura é importante introduzir todas as variações nos sentidos positivos, assim os dois ângulos são positivos e somam-se Variação do ângulo originalmente recto (Distorção) Pode-se provar, que Já foi provado, que A distorção é positiva, quando o ângulo diminui-se Introduzindo,

16 A representação da deformação angular pura tem que ser de modo que cada um dos ângulos correspondesse a esta média, ou seja tem que se retirar a rotação do corpo rígido Roda o eixo azul do ângulo que fazem os braços depois da deformação (azuis) pelo positivamente, até atingir o eixo do ângulo recto (vermelho) Assim a componente tensorial corresponde à média dos dois ângulos Distorção de engenharia Componente tensorial tem significado físico de variação angular do ângulo originalmente recto

17 4.3 Representação geométrica no quadrado elementar unitário Retira-se a translação e a rotação, dimensões unitárias elementares (infinitesimais) A rotação deformação Rectângulo elementar A inicial translação B B C C Ajustar os ângulos

18 5. Deformação volúmica Volume depois da deformação: Campo do deslocamento linear Campo de deformações uniforme Planos transformam-se para planos, rectas para rectas Referencial principal Ângulos rectos transformam-se para ângulos rectos (distorções são nulas) Paralelepípedo elementar: volume inicial: Variação do volume: Deformação volúmica: Separação em parte volúmica e desviatórica, parte desviatórica tem o 1. invariante=0, ou seja a parte desviatórica não causa uma alteração de volume As distorções não causam alterações de volume, apenas de forma

19 6. Medição das deformações: extensómetros, rosetas Podem-se medir apenas as extensões Devido ao sistema de coordenadas introduzido: Sabemos: incógnitas: As medições têm que corresponder a 1 ponto ou a distribuição das deformações têm que ser uniforme Base de medição: L Comprimento novo: L+ΔL

20 7. Equações de compatibilidade Em 2D Mais duas equações pela permutação positiva Equações de integrabilidade Meio contínuo é contínuo após deformação, ou seja, juntando cada paralelepípedo deformado não haverá espaços vazios deslocamentos deformações deslocamentosdeformações??? 6 componentes da deformação versus 3 componentes do deslocamento Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant, Verificação da possibilidade física Mais duas equações pela permutação positiva

21 introduzindo Equações de compatibilidade Equações deformações - deslocamentoEquações de equilíbrio introduzindo 8. Forma matricial das equações introduzidas Componentes de tensão e deformação na forma vectorial

22 Equações de equilíbrio Vector das tensões introduzindo

23 9. Estados de deformação extensão pura deformação volúmica pura distorção pura as componentes do tensor das deformações não variam com a posição são constantes, por isso o campo dos deslocamentos é linear 10. Vector das deformações Não se usa a componente tangencial, mas a variação do ângulo entre as fibras originalmente rectas definidas pelos versores, distorção pura mas com a rotação Componentes cartesianas não se usam muito Componentes intrínsecas Componente normal equivale a extensão da fibra na direcção definida por {n} Homogéneo ou uniforme: Não dependem do referencial


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