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Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento rectilíneo equação do movimento pode ser obtida uma equação mais simples, recorrendo.

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2 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento rectilíneo equação do movimento pode ser obtida uma equação mais simples, recorrendo à expressão da energia mecânica que se conserva referencial do CM de M distância do CM de m ao CM de M

3 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento rectilíneo referencial do CM de M vector constante equação do movimento + : movimento de afastamento, distância aumenta com o tempo - : movimento de aproximação, distância diminui com o tempo

4 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento rectilíneo integral com solução analítica, embora complicada expressão analítica para o vector posição: conhecida a posição de m constante m atinge distância máxima e reaproxima-se, não escapa ao campo gravítico m atinge o com velocidade = 0, escapa ao campo gravítico m atinge o com velocidade > 0, escapa ao campo gravítico

5 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo referencial do CM de M distância e direcção variam com o tempo derivando em ordem ao tempo obtem-se (E e L são constantes)

6 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtem-se a equação referencial do CM de M equação do movimento que não tem solução analítica é sempre possível resolução numérica-computacional MAS é possivel obter uma equação para a trajectória com solução analítica trajectória plana : posição determinada apenas por 2 coordenadas : r e obtem-se expressão analítica para a função r ( )

7 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r( ) defina-se a variável pelo que que inserindo na equação do movimento conduz a:

8 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r( ) inserindo na equação do movimento constante equação diferencial já conhecida equação do oscilador harmónico com W=1 solução analítica muito simples = 0 por ajuste do sistema de eixos a determinar em função das constantes do movimento E e L

9 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r( ) definindo relembrando cáculo de d=1/A e =A/ 0 em função de E e L

10 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r( ) assim introduzindo na equação da energia conduz a dividindo por e relembrando que

11 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r( ) assim parâmetros da cónica expressos em função das quantidades do movimento E e L equação geral da cónica – excentricidade d - distância do foco F à directriz D o que define uma cónica: a razão das distâncias de qualquer ponto P ao foco e à directriz é igual à excentricidade cónica distância de P ao foco distância de P à directriz

12 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: obtenção da função r( ) as 3 cónicas < 1 – cónica é uma elipse: m não tem energia para escapar ao campo gravítico de M trajectória fechada = 1 – cónica é uma parábola: m tem energia (mínima) para escapar ao campo gravítico de M trajectória aberta > 1 – cónica é uma hipérbole: m tem energia para escapar ao campo gravítico de M trajectória aberta foco da cónica encontra-se na origem do referencial origem do referencial é o CM de M, a massa que cria o campo gravítico a que m está sujeita : centro da força foco da cónica está no CM de M

13 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo:reconhecendo as cónicas: parábola = 1 equação cartesiana de uma parábola com vértice V em (d/2,0) no vértice V tem-se: relaciona as distâncias do foco ao vértice e do foco à directriz O foco é o centro da força

14 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: elipse < 1 equação cartesiana de uma elipse com centro O em (-c,0) a - semieixo maior b - semieixo menor = 0 (a = b) : circunferência O foco é o centro da força

15 Material de apoio: interacção gravítica Equação do Movimento movimento curvilíneo: reconhecendo as cónicas: hipérbole > 1 equação cartesiana de uma hipérbole com centro O em (c,0) Nota: o ramo direito da hipérbole seria a trajectória se no foco estivesse o centro de uma força repulsiva O foco é o centro da força

16 Material de apoio: interacção gravítica Leis de Kepler 1ª Lei : todos os planetas do sistema solar descrevem órbitas elípticas com o sol num dos focos planetas não escaparam ao campo gravítico do sol descrevem trajectórias fechadas com elipses são as únicas soluções da equação do movimento com Sol no foco: centro da força V 1 - periélio: ponto de menor distância do planeta ao Sol, (a-c), menor E p, maior velocidade V 2 - afélio: ponto de maior distância do planeta ao Sol, (a+c), maior E p, menor velocidade

17 Material de apoio: interacção gravítica Leis de Kepler 2ª Lei : o vector, definido pelo sol e planeta, varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais área varrida por em dt área do triângulo rectângulo: ângulo recto em P constante do movimento taxa de varrimento é constante porque d é infinitesimal planeta

18 Material de apoio: interacção gravítica Leis de Kepler 3ª Lei : o quadrado do período de revolução em torno do sol é proporcional ao cubo do semieixo maior da elipse a área total varrida num período = área da elipse constante de proporcionalidade

19 Material de apoio: interacção gravítica Leis de Kepler 3ª Lei numa órbita circular sol força gravítica é puramente normal

20 Material de apoio: interacção gravítica parábola de vértice em (a-c,0) Superfície da Terra (planeta) movimento curvilíneo dum grave é parabólico elipse tem que se confundir com uma parábola na vizinhança do eixo: F- foco: CM da Terra origem do referencial superfície da Terra troço de elipse que se confude com uma parábola O- centro da elipse

21 Material de apoio: interacção gravítica parábola de vértice em (c-a,0) Superfície da Terra (planeta) movimento curvilíneo dum grave é parabólico hipérbole tem que se confundir com uma parábola na vizinhança do eixo: F- foco: CM da Terra origem do referencial superfície da Terra troço de hipérbole que se confude com uma parábola


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