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1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova de Bicondicional e Equivalência Prova de e Prova de.

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1 1 BCC101 – Matemática Discreta Demonstração de Teoremas Prova de Bicondicional e Equivalência Prova de e Prova de

2 Provas de Bicondicional Para provar uma afirmativa da forma P Q (P se, e somente se, Q) devemos provar P Q e P Q. Exemplo 1: Prove que um inteiro n é par se, e somente se, n 2 é par. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 2

3 Provas de Bicondicional Exemplo 2: Supona x,y. Então x 3 + x 2 y = y 2 + xy se, e somente se, y = x 2 ou y = -x. Suponha x 3 + x 2 y = y 2 + xy. Então x 2 (x+y) = y (x+y). Portanto y = x 2 ou y = -x Suponha y = x 2 ou y = -x Se y = x 2 : x 3 +x 2 y = x 3 +x 4 = x 4 +x 3 =y 2 +xy Se y = -x: x 3 +x 2 y=x 3 -x 3 =0 e y 2 +xy=y 2 -y 2 =0 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 3

4 Provas de Equivalência (a) (b): Suponha n impar, i.e., n=2k+1, para algum k. Então n+1=2k+2=2(k+1) ou seja, n+1 é par. (b) (c): Suponha (n+1) par, i.e, n+1=2k para algum k. Então n 2 =(n+1) 2 - (2n+1)=(2k) 2 -4k-1=4k 2 -4k-1=2(2k 2 -2k)-1, ou seja, n 2 é impar (c) (a): Suponha, por contraposição, que n é par, i.e., n=2k para algum k. Então n 2 =4k 2, ou seja, n 2 é par. Portanto, se n 2 é impar então n é impar CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 4

5 Provas de Equivalência Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: q) n é impar b) (n+1) é par c) n 2 é impar Queremos provar (a) (b) (c) Estratégia: (a) (b) (c) CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 5

6 Provas envolvendo quantificadores Para provar uma afirmativa da forma x. f(x), devemos provar que f(x) é verdadeira, para x arbitrário. Exemplo: Prove que, para quaisquer inteiros a,b,c, se a|b e b|c então a|c. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 6

7 Provas envolvendo quantificadores Prove que, para quaisquer inteiros a,b,c, se a|b e b|c então a|c. Prova: Sejam a,b,c inteiros arbitrários e suponha a|b e b|c, isto é, a = nb e b=mc, para algum n,m inteiros. Então a = nb = n(m c) = (n m) c, isto é, a|c. CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 7

8 Provas envolvendo quantificadores Para provar uma afirmativa da forma x.f(x), devemos mostrar um valor para x, digamos a, tal que f(a) seja verdadeira. Exemplo: Prove que, para todo número real x>0, existe um número real y tal que y(y+1)=x CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 8

9 Provas envolvendo quantificadores Prove que, para todo número real x>0, existe um número real y tal que y(y+1)=x Prova: Seja x real arbitrário e tome Então CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 9

10 Erros em provas Considere a seguinte afirmação incorreta: x R. y R. (xy 2 =y-x) O que está errado com a seguinte prova desta afirmação: Prova: Seja x = y/(y 2 +1). Então y-x = y- y/(y 2 +1) = y 3 /(y 2 +1) = (y/(y 2 +1)) y 2 = xy 2 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 10

11 Prova de existência - construtiva Prove que existe um número inteiro que pode ser escrito como a soma de dois cubos de diferentes maneiras CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page = =

12 Prova de existência - não construtiva Prove que existem números irracionais x e y tais que x y é racional. Prova: Considere 2 2. Temos 2 possíveis casos: 1)2 2 é racional, o que conclui a prova 2)2 2 é irracional, e então, tomando x = 2 2 e y = 2, temos x y = (2 2 ) 2 = 2 2 = 2 CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 12

13 Existência e Unicidade A prova de uma afirmativa da forma ! x. f(x) tem duas partes: Prova de existência: ! x. f(x) Prova de unicidade: ( y.f(y) y=x) Exemplo: Prove que, para todo número real x>0, existe um único número real y tal que y(y+1)=x CS 1813 Discrete Mathematics, Univ Oklahoma Copyright © 2000 by Rex Page 13


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