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23 mar 2009. 14:45 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de sistemas não lineares Método de Newton.

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1 23 mar :45 Cálculo Numérico / Métodos Numéricos Solução de sistemas não lineares Método de Newton

2 23 mar :14 Várias equações, várias incógnitas f 1 (x 1, x 2,..., x m ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x m ) = 0... f m (x 1, x 2,..., x m ) = 0 Queremos resolver:

3 23 mar :14 Exemplo (2x2) – 2 variáveis, 2 incógnitas y x raízes x 2 + y 2 = 4 x 2 -y 2 = 1 Escrevendo na forma do slide anterior f(x,y) = x 2 + y =0 g(x,y) = x 2 -y 2 -1

4 23 mar :14 Tomando duas funções quaisquer f(x,y) = 0 g(x,y) = 0 Suponha que (x 0, y 0 ) é uma aproximação de uma solução do sistema. Vamos usar o desenvolvimento de Taylor em torno deste ponto: f(x,y) f(x 0,y 0 ) + f x (x 0,y 0 )(x-x 0 ) + f y (x 0,y 0 )(y-y 0 ) g(x,y) g(x 0,y 0 ) + g x (x 0,y 0 )(x-x 0 ) + g y (x 0,y 0 )(y-y 0 )

5 23 mar :14 Exemplo - Taylor (1/2) f x = 2x, f y = 2y, g x = 2x, g y = -2y Pelo teorema de Taylor, sabemos que perto do ponto (x,y) = (1.5,1.5), podemos escrever: f(x,y) = x 2 + y =0 g(x,y) = x 2 -y 2 -1 f(x,y) em torno de (x,y)=(1.5,1.5) f(x 0,y 0 ) + 3(x-x 0 ) + 3(y-y 0 ) g(x,y) em torno de (x,y)=(1.5,1.5) g(x 0,y 0 ) + 3(x-x 0 ) - 3(y-y 0 )

6 23 mar :14 Exemplo - Taylor (2/2) f(x,y) = x 2 + y g(x,y) = x 2 -y 2 -1 f(x,y) (em torno de (x,y)=(1.5,1.5) f(x 0,y 0 ) + 3(x-x 0 ) + 3(y-y 0 ) g(x,y) (em torno de (x,y)=(1.5,1.5) g(x 0,y 0 ) + 3(x-x 0 ) - 3(y-y 0 ) No ponto (1.6,1.6): f(x,y) = 1.12 g(x,y) = -1 f(x,y) * *0.1 = 1.1 g(x,y) * *0.1 = -1

7 23 mar :14 Como queremos obter uma raiz: 0 = f(x,y) f(x 0,y 0 ) + f x (x 0,y 0 )(x-x 0 ) + f y (x 0,y 0 )(y-y 0 ) 0 = g(x,y) g(x 0,y 0 ) + g x (x 0,y 0 )(x-x 0 ) + g y (x 0,y 0 )(y-y 0 ) 0 f(x 0,y 0 ) + f x (x 0,y 0 )(x-x 0 ) + f y (x 0,y 0 )(y-y 0 ) 0 g(x 0,y 0 ) + g x (x 0,y 0 )(x-x 0 ) + g y (x 0,y 0 )(y-y 0 ) -f(x 0,y 0 ) f x (x 0,y 0 )(x-x 0 ) + f y (x 0,y 0 )(y-y 0 ) -g(x 0,y 0 ) g x (x 0,y 0 )(x-x 0 ) + g y (x 0,y 0 )(y-y 0 )

8 23 mar :14 Em forma matricial: -f(x 0,y 0 ) f x (x 0,y 0 )(x-x 0 ) + f y (x 0,y 0 )(y-y 0 ) -g(x 0,y 0 ) g x (x 0,y 0 )(x-x 0 ) + g y (x 0,y 0 )(y-y 0 ) J(x 0,y 0 ) = Matriz Jacobiana no ponto (x 0,y 0 )

9 23 mar :14 Resolvendo Problema: Custoso calcular J -1

10 23 mar :14 Resolvendo um sistema linear Em vez de calcular J -1, vamos chamar (x-x 0 ) de r e (y-y 0 ) de s: Matriz conhecidaVetor conhecidoVariáveis Sistema linear

11 23 mar :14 Processo iterativo Ao resolvermos o sistema, teremos s e r e poderemos facilmente obter os novos valores de x 0 e y 0 x = r + x 0 y = s + y 0 Lembre que x, y não são os valores de x, y, mas os valo- res de uma nova aproximação, ou seja: x 1 = r + x 0 y 1 = s + y 0

12 23 mar :14 Método de Newton Repetindo o processo, temos o processo iterativo de Newton:

13 23 mar :14 Método de Newton Podemos generalizar o processo iterativo de Newton para sistemas lineares de dimensão n: Precisaremos de métodos eficientes para resolver os sistemas lineares

14 23 mar :14 Método de Newton Convergência Quando o método converge, a convergência é quadrática. O método de Newton converge se: As funções f i (x,y,...,z) para i = 1,..., n e suas derivadas parciais ate segunda ordem sejam continuas e limitadas numa vizinhança V contendo a raiz (x*,y*,...,z*). o determinante do Jacobiano é diferente de zero em V. A solução inicial deve ser suficientemente próxima da raiz.

15 23 mar :14 Método de Newton - Algoritmo resolva o sistema linear determine a nova solução

16 23 mar :14 Método de Newton - Algoritmo calcule o erro_atual norma infinito

17 23 mar :14 Voltando ao exemplo f(x,y) = x 2 + y =0 g(x,y) = x 2 -y 2 -1 = 0 Iteração de Newton: f x = 2x, f y = 2y g x = 2x, g y = -2y

18 23 mar :14 Voltando ao exemplo y x Tome (x 0,y 0 ) = (1.2, 0.7), Calcule (x,y) com erro menor que 10 -3


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