ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS REAIS

Apresentação em tema: "ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS REAIS"— Transcrição da apresentação:

1 ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS REAIS
ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS E SUBESPAÇOS VETORIAIS REAIS

2 Espaços Vetoriais Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações:, adição e multiplicação, tais que para quaisquer vetores u, v e w e escalares reais a e b, satisfazem:

3 Subespaços Vetoriais:
Subconjuntos de um espaço vetorial que também preservam as características de um espaço vetorial. (exemplo: uma reta que passa pela origem é um subespaço vetorial de IR2) Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W será um subespaço vetorial se e somente se:

4 Combinação Linear Possibilidade de escrever qualquer vetor do espaço vetorial em função de outros vetores, por exemplo: Onde: Fixado os vetores v1; v2; ... ; vn, o conjunto formado por todos os vetores de V que são combinação linear destes, é um subespaço vetorial.

5 Geradores de um Subespaço
Voltando ao exemplo anterior, dizemos que o conjunto {v1; v2; ... ; vn} é um conjunto de geradores para o subespaço S, pois tem a capacidade de gerar todos os vetores desse subespaço. Denotaremos por:

6 Dependência e independência linear
Definição: Seja V um espaço vetorial e v1; v2; ... ; vn vetores de V. Dizemos que o conjunto {v1; v2; ... ; vn} é LINEARMENTE DEPENDENTE (LI), se: Implicar necessariamente: Se existir algum escalar que possa ser não nulo dizemos que o conjunto {v1; v2; ... ; vn} é LINEARMENTE DEPENDENTE (LD).

7 Observações Importantes:
Um conjunto de vetores que possuir pelo menos um vetor que seja combinação linear dos demais é um conjunto LD. Todo conjunto de vetores LI que gerem um subespaço é um conjunto chamado de BASE do subespaço. Exemplo: Verifique se o conjunto {(1;1);(0;1)} também é uma base de V=IR2.

8 Observações Importantes:
O número de elementos de uma base de um subespaço vetorial W é chamado de dimensão de W e denotamos por: dim(W).