Revisão do conceito de vetores

Apresentação em tema: "Revisão do conceito de vetores"— Transcrição da apresentação:

1 Revisão do conceito de vetores
Pesquisa Operacional

2 Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de vetores.
Tema da aula 02 Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de vetores.

3 Vetores - conceituação
elementos p p1 p2 p3 pn índice do elemento do vetor nome do vetor p é um vetor de dimensão n (possui n elementos). pi indica o i-ésimo elemento do vetor.

4 r = p + q ri = pi + qi, para todo i.
Soma de vetores Dois vetores podem ser adicionados se e somente se, eles tiverem a mesma dimensão. Soma de vetores = somar seus elementos. O resultado da soma será um vetor com a mesma dimensão dos vetores originais. r = p + q ri = pi + qi, para todo i.

5 Exemplo: p + q = p + q = Soma de vetores
p ( 4, 5, 1, 7) q (1, -2, 3, -4) r (1, 5, 4) p 4 5 1 7 q 1 -2 3 -4 p + q = p + q = 5 3 4 3 (p + r) e (q + r) não podem ser somados, pois possuem dimensões diferentes. p e q possuem dimensão 4 e r possui dimensão 3.

6 r = p - q ri = pi - qi, para todo i.
Subtração de vetores Dois vetores podem ser subtraídos se e somente se, eles tiverem a mesma dimensão. Subtração de vetores = subtrair seus elementos. O resultado da subtração será um vetor com a mesma dimensão dos vetores originais. r = p - q ri = pi - qi, para todo i.

7 Exemplo: p - q = p - q = Subtração de vetores
1 4 3 q 2 -1 p - q = p - q = 1 2 4

8 Subtração de vetores – utilizando escalar
Um vetor pode ser multiplicado por um escalar, multiplicando-se cada elemento do vetor por este escalar. Exemplo: p (1, 3, -2) e escalar = x p 2 (1, 3, -2) Resultado = (2, 6, -4)

9 Subtração de vetores – utilizando escalar
Podemos na subtração somar o primeiro vetor com o produto do segundo vetor pelo escalar -1. Exemplo: p (1, 4, 3) q (0, 2 -1) escalar = -1 -q = -1 (0, 2, -1) (0, -2, 1) p – q = (1, 4, 3) + (0, -2, 1) Resultado = (1, 2, 4)

10 Vetores linearmente independentes (LI)
Definição informal de independência linear: Um grupo de vetores é dito linearmente independente se não for possível escrever qualquer deles como combinação linear dos outros. Um conjunto de vetores p1, p pn é dito linearmente independente se e somente se, para todo Өj real n ∑ Өjpj = 0 implica que todo Өj = 0, onde Өj são J=1 quantidades escalares.

11 Vetores linearmente independentes (LI)
Exemplo: Sejam os vetores a, b e c a ( 2, 1) b (5, 2) c (1, 1) para que: ( 2, 1).Ө1 + (5, 2).Ө2 + (1, 1).Ө3 = (0, 0) temos que: Ө1 = Ө2 = Ө3 = 0 Assim, o conjunto (a, b e c) é linearmente independente

12 Vetores linearmente dependentes (LD)
Dois vetores a e b são linearmente dependentes se e somente se, forem colineares ou paralelos. Caso contrário, são linearmente independentes Se, n ∑ Өjpj = 0 para alguns Өj ≠ 0, os vetores são ditos linearmente dependentes.

13 Vetores linearmente dependentes (LD)
Exemplo: Sejam os vetores a, b e c a ( 2, 1) b (4, 2) c (1, 1) para que: ( 2, 1).Ө1 + (4, 2).Ө2 + (1, 1).Ө3 = (0, 0) com Ө1 = -2, Ө2 = 1 e Ө3 = 0 Assim, o conjunto (a, b e c) é linearmente dependente

14 Exercícios propostos Sejam os vetores a, b, c, p e q a ( 2, 1, 4, -1) b (4, 2, -3, 5) c (1, 1, -1, 4) p (2, 3, -5) q (-2, 4, -2) Efetue as seguintes operações: a + b c + b a + b + c p + q + a q + p

15 Exercícios propostos Sejam os vetores a, b, c, p e q a ( -3, 1, 4, 6) b (-1, 2, -3, 1) c (2, 1, -2, 2) p (1, 3, -5) q (-2, 4, -6) Efetue as seguintes operações: a - b - c a - c + b a + b - c p + q - p q - p

16 Exercícios propostos Sejam os vetores p1 e p2 p1 (1, 2) p2 (2, 4) Estes vetores são linearmente dependentes? Comprove.

17 Memória de aula Conceitue um vetor. Quais são regras para adição de vetores? Dados os vetores x (1, 4, 5, 7) e y (2, 4, 8). Eles podem ser somados ou subtraídos? Justifique sua resposta. Como podemos subtrair dois vetores utilizando um produto escalar? Defina e dê exemplo de um vetor linearmente dependente. Defina e dê exemplo de um vetor linearmente independente.

18 Bibliografia indicada
ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. Rio de Janeiro: Editora LTC, pg. 239 a 242 LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, versão digital disponível na Internet (