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1 Revisão do conceito de vetores Pesquisa Operacional.

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1 1 Revisão do conceito de vetores Pesquisa Operacional

2 2 Tema da aula 02 Pesquisa Operacional: Álgebra Linear – revisão de vetores.

3 3 Vetores - conceituação p é um vetor de dimensão n (possui n elementos). p i indica o i-ésimo elemento do vetor. elementos p1p1 p2p2 p3p3 pnpn p índice do elemento do vetor nome do vetor

4 4 Soma de vetores O resultado da soma será um vetor com a mesma dimensão dos vetores originais. Dois vetores podem ser adicionados se e somente se, eles tiverem a mesma dimensão. Soma de vetores = somar seus elementos. r = p + q r i = p i + q i, para todo i.

5 5 Soma de vetores Exemplo: p ( 4, 5, 1, 7) q (1, -2, 3, -4) r (1, 5, 4) p + q = p q p + q = (p + r) e (q + r) não podem ser somados, pois possuem dimensões diferentes. p e q possuem dimensão 4 e r possui dimensão 3.

6 6 Subtração de vetores O resultado da subtração será um vetor com a mesma dimensão dos vetores originais. Dois vetores podem ser subtraídos se e somente se, eles tiverem a mesma dimensão. Subtração de vetores = subtrair seus elementos. r = p - q r i = p i - q i, para todo i.

7 7 Subtração de vetores Exemplo: p ( 1, 4, 3) q (0, 2, -1) p - q = p 02 q 12 4 p - q =

8 Exemplo: p (1, 3, -2) e escalar = 2 2 x p 2 (1, 3, -2) Resultado = (2, 6, -4) 8 Subtração de vetores – utilizando escalar Um vetor pode ser multiplicado por um escalar, multiplicando-se cada elemento do vetor por este escalar.

9 Exemplo: p (1, 4, 3) q (0, 2 -1) escalar = -1 -q = -1 (0, 2, -1) (0, -2, 1) p – q = (1, 4, 3) + (0, -2, 1) Resultado = (1, 2, 4) 9 Subtração de vetores – utilizando escalar Podemos na subtração somar o primeiro vetor com o produto do segundo vetor pelo escalar -1.

10 Um conjunto de vetores p 1, p p n é dito linearmente independente se e somente se, para todo Ө j real n Ө j p j = 0 implica que todo Ө j = 0, onde Ө j são J=1 quantidades escalares. 10 Vetores linearmente independentes (LI) Definição informal de independência linear: Um grupo de vetores é dito linearmente independente se não for possível escrever qualquer deles como combinação linear dos outros.

11 11 Vetores linearmente independentes (LI) Exemplo: Sejam os vetores a, b e c a ( 2, 1) b (5, 2) c (1, 1) para que: ( 2, 1).Ө 1 + (5, 2).Ө 2 + (1, 1).Ө 3 = (0, 0) temos que: Ө 1 = Ө 2 = Ө 3 = 0 Assim, o conjunto (a, b e c) é linearmente independente

12 Se, n Ө j p j = 0 para alguns Ө j 0, os vetores são ditos linearmente dependentes. 12 Vetores linearmente dependentes (LD) Dois vetores a e b são linearmente dependentes se e somente se, forem colineares ou paralelos. Caso contrário, são linearmente independentes

13 13 Vetores linearmente dependentes (LD) Exemplo: Sejam os vetores a, b e c a ( 2, 1) b (4, 2) c (1, 1) para que: ( 2, 1).Ө 1 + (4, 2).Ө 2 + (1, 1).Ө 3 = (0, 0) com Ө 1 = -2, Ө 2 = 1 e Ө 3 = 0 Assim, o conjunto (a, b e c) é linearmente dependente

14 14 Exercícios propostos Sejam os vetores a, b, c, p e q a ( 2, 1, 4, -1) b (4, 2, -3, 5) c (1, 1, -1, 4) p (2, 3, -5) q (-2, 4, -2) Efetue as seguintes operações: 1)a + b 2)c + b 3)a + b + c 4)p + q + a 5)q + p

15 15 Exercícios propostos Sejam os vetores a, b, c, p e q a ( -3, 1, 4, 6) b (-1, 2, -3, 1) c (2, 1, -2, 2) p (1, 3, -5) q (-2, 4, -6) Efetue as seguintes operações: 1)a - b - c 2)a - c + b 3)a + b - c 4)p + q - p 5)q - p

16 16 Exercícios propostos Sejam os vetores p 1 e p 2 p 1 (1, 2) p 2 (2, 4) Estes vetores são linearmente dependentes? Comprove.

17 17 Memória de aula 1.Conceitue um vetor. 2.Quais são regras para adição de vetores? 3.Dados os vetores x (1, 4, 5, 7) e y (2, 4, 8). Eles podem ser somados ou subtraídos? Justifique sua resposta. 4.Como podemos subtrair dois vetores utilizando um produto escalar? 5.Defina e dê exemplo de um vetor linearmente dependente. 6.Defina e dê exemplo de um vetor linearmente independente.

18 18 Bibliografia indicada ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. Rio de Janeiro: Editora LTC, pg. 239 a 242 LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).http://www.ericolisboa.eng.br


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