Fractais Os fractais são conjuntos cuja forma é extremamente irregular ou fragmentada: e que têm essencialmente a mesma estrutura em todas as escalas.

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1 Fractais Os fractais são conjuntos cuja forma é extremamente irregular ou fragmentada: e que têm essencialmente a mesma estrutura em todas as escalas. A origem do termo fractal, introduzido por Mandelbrot, está no radical fractus, proveniente do verbo latino frangere, que quer dizer quebrar, produzir pedaços irregulares; vem da mesma raiz a palavra fragmentar, em português.

2 Fractais: características
As principais propriedades que caracterizam e que permitem definir os conjuntos fractais são as seguintes: a auto-similaridade, que pode ser exata ou estatística, ou seja, o sistema é invariante (mantém a mesma forma e estrutura) sob uma transformação de escala (transformação que reduz ou amplia o objeto ou parte dele); 2) a extrema 'irregularidade' no sentido de rugosidade (não-suavidade) ou fragmentação; 3) possuir, em geral, uma dimensão fractal não-inteira. A dimensão fractal, como veremos adiante, quantifica, de certo modo, o grau de irregularidade ou fragmentação do conjunto considerado.

3 Fractais – existem? Mas existem objetos ou estruturas naturais que são fractais? Os fractais são conjuntos definidos por certas propriedades matemáticas e, portanto, têm legitimidade como um conceito matemático coerentemente definido e correlacionado com outros. Mas o que se nota é que muitas estruturas ou processos naturais têm propriedades similares às dos fractais, em particular a simetria de escala, e que podem, portanto, ser descritos por eles, pelo menos em determinados domínios. Não custa lembrar também o ponto de vista otimista, expresso por, entre outros, Pascal e Dirac, para os quais os produtos da nossa imaginação (equações, por exemplo), quando dotados de beleza matemática, sempre encontrarão algum uso na modelagem física da natureza.

4 Dimensão Fractal Duas idéias próximas, mas diversas, estão ligadas ao termo dimensão usualmente empregado: o número de informações (no caso, dadas pelas coordenadas) necessárias para se localizar um ponto no espaço: falamos que o espaço possui três dimensões. Após a teoria da relatividade, a idéia de um espaço quadridimensional se firmou na física, com a introdução também da dimensão temporal para a caracterização de um evento que ocorre no espaço-tempo; 2) a noção de medida de comprimento. Assim, dizemos, por exemplo, que a dimensão de um objeto é 50cm.

5 Dimensão fractal Dimensão topológica, relacionada à primeira idéia, foi discutida por Poincaré em 1911 e por Brouwer, em 1913: Um contínuo tem n dimensões quando podemos dividi-lo por meio de cortes que sejam eles próprios contínuos de (n-1) dimensões. Considera-se que o ponto possui dimensão zero. Por essa definição, a reta terá dimensão 1 (porque pode ser separada por um ponto), o plano terá dimensão 2 (porque pode ser separado por uma reta), o espaço usual terá três dimensões (porque pode ser separado por um plano: as paredes de uma casa, por exemplo), e assim, sucessivamente, podemos imaginar conjuntos contínuos com um número crescente de dimensões.

6 Dimensão fractal Considerando o aspecto métrico ligado à noção de dimensão, temos a capacidade, definida por Kolmogorov, que mede o quanto o conjunto ou objeto considerado preenche o espaço em que está imerso. Por ser, talvez, a definição de dimensão mais simples que permite caracterizar os fractais, é usualmente chamada de dimensão fractal. Essa definição de capacidade é bastante próxima da noção de dimensão introduzida por Hausdorff, em 1919. Existem vários outros tipos de dimensões métricas utilizadas para caracterizar os graus de 'fractalidade' de um conjunto. A definição da capacidade dcap de um conjunto é a seguinte: dcap = lim ε→∞[] [ log N(ε) / log (1/ε) ] onde N(ε) é o número mínimo de cubos elementares necessários para cobrir o conjunto considerado e ε é a dimensão linear do cubo elementar.

7 Dimensão fractal: Conjunto de Cantor
É um conjunto construído da seguinte maneira: tomamos um segmento de reta e o partimos em três segmentos iguais. Em seguida, o pedaço intermediário é retirado. Os dois segmentos restantes são de novo repartidos em três segmentos iguais e os segmentos intermediários são retirados. O processo de repartir os segmentos e de retirar o pedaço intermediário prossegue ad infinitum. O Conjunto de Cantor é o conjunto de pontos restantes, após infinitas operações terem sido realizadas.

8 Dimensão Fractal: Conjunto de Cantor
A capacidade, ou dimensão fractal, desse conjunto, é: dcap = log(2)/log(3) ≈ 0,6. Isto porque, em cada etapa do processo de construção do conjunto, utilizamos dois segmentos (cubos elementares) para cobrir a figura, sendo que cada segmento elementar tinha comprimento de 1/3. Observe-se que esse conjunto tem comprimento zero, porque, a cada etapa do processo, seu comprimento é reduzido por um fator 2/3. Logo, seu comprimento, no limite em que n → ∞, será L = (2/3)n → 0.

9 Dimensão fractal: Conjunto de Koch
Em vez de retirarmos o pedaço intermediário do segmento inicial, nós o substituímos por mais dois segmentos iguais, como indicado. A dimensão fractal desse conjunto será dada por dcap= log(4)/log(3) ≈ 1,26. O comprimento desse conjunto tende para infinito, valendo em cada etapa do processo de construção (4/3)n.

10 Dimensão fractal a do plano  2 e
Pelo uso da definição de capacidade, que a dimensão fractal de uma reta  1, a do plano  2 e a do espaço  3, coincidentes com a dimensão topológica. A figura exibe um fractal, chamado de esponja de Menger, que tem dimensão fractal maior que 2: dcap = log 19/ log 3 ≈ 2,727

11 Dimensão fractal x dimensão topológica
As dimensões fractais muitas vezes não são números inteiros. Isso ocorre em aparente contradição com nossa 'intuição', que espera que os objetos tenham dimensão inteira n = 1, 2, 3, etc.; a dimensão topológica, por sua definição exposta acima, satisfaz essa propriedade 'intuitiva'. A dimensão (capacidade) dos conjuntos fractais é maior ou igual à sua dimensão topológica. Uma dimensão não-inteira pode fornecer informações interessantes sobre o grau de 'fractalidade' e de ocupação, pela estrutura analisada, do espaço no qual está imersa.

12 Exemplo: linha costeira de um país
Um exemplo concreto bem simples: a medida do comprimento da linha costeira de um país. Richardson chamou a atenção, em 1961, para o fato de que esse comprimento não é uma quantidade bem definida como em geral se imagina: seu valor depende do comprimento da 'régua' (unidade de medida) que é escolhida para medi-la. Assim, se tomamos unidades de medida cada vez menores (primeiro 10km, depois 1 km, em seguida 100m, e assim sucessivamente), o comprimento da linha costeira, em função de suas inúmeras reentrâncias, cresce proporcionalmente na medida em que ε (comprimento da 'régua' utilizada) decresce: L(ε) ~ ε1-d, onde d é a dimensão fractal. Esse tipo de dependência de uma quantidade, no caso L, em relação a outra, ε neste caso, é chamada de lei de potência.

13 Dimensão fractal de objetos naturais
O procedimento básico é o seguinte: divide-se a área (ou volume) do conjunto analisado em um certo número de caixas (cubos elementares) iguais. Desenha-se o gráfico do logaritmo de N (número de caixas ocupadas) em função do logaritmo de (1/ε), onde ε é a dimensão linear da caixa, em cada etapa. A dimensão fractal do conjunto é dada pelo valor da inclinação do gráfico. Limite inferior: determinado pelo tamanho dos constituintes elementares do objeto (ou pela precisão das medidas), ou seja, chega-se a um ponto onde não se pode mais ampliar as partes do objeto e ainda se obter uma estrutura similar. Limite superior: dado pelo tamanho finito do objeto considerado.

14 Dimensão fractal de objetos naturais
Pulmão  ~2,2 Cérebro dos mamíferos  ~2,62 Ramificação de plantas  2 < d < 2,81 Linhas costeiras  1,2 < d < 1,4 Meandros de rios  1 < d < 1,2 Contornos topográficos de montanhas  1,1 < d < 1,3  Objetos fragmentados(granito, carvão, basalto, quartzo etc.)  2,1 < d < 2,6 Distribuição de galáxias no Universo~1,2

15 Aplicação 1: antenas utilizando a curva fractal de Koch
Referência: Miniaturização de Antenas tipo Patch retangular em Microfita utilizando a curva fractal de Koch Elder Eldervitch C. de Oliveira, Paulo H. da F. Silva e Sandro G. da Silva III Congresso de Pesquisa e Inovação de Rede Norte Nordeste de Reducação Tecnológica (2008)

16 Aplicação 1: antenas utilizando a curva fractal de Koch

17 Aplicação 1: antenas utilizando a curva fractal de Koch

18 Aplicação 1: antenas utilizando a curva fractal de Koch

19 Resultados: antenas utilizando a curva fractal de Koch

20 Resultados: antenas utilizando a curva fractal de Koch

21 Resultados: antenas utilizando a curva fractal de Koch

22 Resultados: antenas utilizando a curva fractal de Koch

23 Aplicação 2: Antenas Monopolo de Sierpinski
Referência: Uma Contribuição ao Estudo de Filtros e Antenas de Microondas Usando os Fractais de Sierpinski Tarcílio Cavalcanti, Marcelo Ribeiro, Paulo H. da F. Silva III Congresso de Pesquisa e Inovação de Rede Norte Nordeste de Reducação Tecnológica (2008)

24 Aplicação 2: Antenas Monopolo de Sierpinski

25 Resultados: Antenas Monopolo de Sierpinski

26 Resultados: Antenas Monopolo de Sierpinski

27 Aplicação 3: Auto-similaridade de uma rede Ethernet
Referências: 1) On the self similarity nature of Ethernet Will E. Leland, Murad S. Taqqu, Walter Willlinger e Daniel V. Wilson IEEE/ACM Transactions on Networking, vol. 2, Feb 1994 2) Predição de Tráfego Auto-Similar em Redes de Faixa Larga Marcelo Menezes de Carvalho Dissertação de Mestrado da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Universidade Estadual de Campinas (1998) (Capítulo 4)

28 Aplicação 3: Auto-similaridade de uma rede Ethernet
Análise de um tráfego de rede: dezenas de milhões de pacotes de Ethernet sem perda e capturados com intervalos temporais de 100 μs. Os dados foram coletados entre Agosto de 1989 e Fevereiro de 1992 na rede do “Bellcore Morristown Research and Engineering Center”. O comportamento desta rede é bem diferente do tráfego telefônico convencional e dos modelos usualmente considerados para descrever o tráfego: modelo de Poisson e modelos markovianos de modo geral.

29 Aplicação 3: Auto-similaridade de uma rede Ethernet

30 Aplicação 3: Auto-similaridade de uma rede Ethernet
O parâmetro utilizado para caracterizar a auto-similaridade de uma série temporal é o parâmetro de Hurst (H). A correta estimação deste parâmetro permite uma melhor caracterização do tráfego, levando a uma alocação mais racional dos recursos da rede e, consequentemente, uma maior garantia de QoS para os usuários. Existem algumas maneiras de se calcular o parâmetro H. Estaremos vendo duas delas: 1) Método da estatística R/S; 2) Método da Variância Amostral.

31 Método da Estatística R/S

32 Método da Estatística R/S
H pode assumir valores entre 0,5 e 1.

33 Método da Estatística R/S
Tráfego externo. Valor do parâmetro de Hurst  H ≈ 0,8322.

34 Método da Estatística R/S
Tráfego interno. Valor do parâmetro de Hurst  H ≈ 0,6605.

35 Método da Variância Amostral

36 Método da Variância Amostral

37 Método da Variância Amostral

38 Método da Variância Amostral