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1 Exponential Random Graph Models Deive Ciro de Oliveira Unifal-mg.

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1 1 Exponential Random Graph Models Deive Ciro de Oliveira Unifal-mg

2 2 Sumário Modelos Probabilísticos Inferência Estimação Testes de Hipóteses Modelos Lineares Generalizados Modelos Exponenciais para Grafos Aleatórios Aplicação

3 3 Modelos Probabilísticos Espaço Amostral e de Eventos Espaço Amostral (S): Conjunto de resultados Espaço de Eventos (E): Conjunto de Subconjuntos dos resultados

4 4 Modelos Probabilísticos Exemplos: Lançamento de uma moeda S={H,T}, E={Ø,{H},{T},{H,T}} Lançamento de um dado S={1,2,3,4,5,6} E={Ø,{1},{2},..{1,2},{1,3}...,{1,2,3},{1,2,4},...{1,2,3, 4},{1,2,3,5},..{1,2,3,4,5,6}}

5 5 Modelos Probabilísticos Probabilidade (definida sobre eventos)

6 6 Modelos Probabilísticos Exemplos Experimento: Lançamento de Moeda i) P(Ø)=0, P({H})=0.5, P({T})=0.5, P({H,T})=1 ii) P({H,T})=1 iii) P({H}U{T})=P({H})+P({T})= =1

7 7 Modelos Probabilísticos Probabilidade Condicional Dados os eventos E e F:

8 8 Modelos Probabilísticos Probabilidade Condicional Exemplo: Cartas embaralhadas e numeradas de 1 a 10. Retirada uma carta, que é ao menos 5, qual a probabilidade de desta ser um 10?

9 9 Modelos Probabilísticos Independência Dois eventos E e F, onde P(E)>0 e P(F)>0, são independentes se:

10 10 Modelos Probabilísticos Independência Lançamento de dois dados, com os eventos: E1: soma dos dados é 6 E2: soma dos dados é 7 F: o primeiro dados é 4 Eventos Independentes Eventos dependentes

11 11 Modelos Probabilísticos Teorema de Bayes Teoria dos conjuntos

12 12 Modelos Probabilísticos Teorema de Bayes Jogo das Portas (Monty Hall)

13 13 Modelos Probabilísticos

14 14 Modelos Probabilísticos Teorema de Bayes Solução C=Porta do carro S=Porta do jogador H=Porta do apresentador

15 15 Modelos Probabilísticos Variável Aleatória Definição: é uma função CD Espaço de Eventos (S) V.A.

16 16 Modelos Probabilísticos Variável Aleatória Exemplo: Seja X (Variável Aleatória) a soma do resultado do lançamento de dois dados

17 17 Modelos Probabilísticos Variável Aleatória Importante: Estudos de Variáveis Aleatórias se desvincula dos eventos. Não preciso saber a natureza do evento para estudar a Variável Aleatória Notação X representa a V.A. (Maiúsculo) x representa um valor de V.A. (Minúsculo)

18 18 Modelos Probabilísticos Tipos de Variável Aleatória De acordo com sua imagem Quantitativas vs Qualitativas (Quantitativas) Discretas vs. Contínuas (Qualitativas) Nominal vs Ordinal

19 19 Modelos Probabilísticos Variáveis Aleatórias admitem: – Probabilidade Função Acumulada F(x)=P(X x) Massa (Discretas) p(x)=P(X = x) * ERGM

20 20 Modelos Probabilísticos Variáveis Aleatórias admitem: – Probabilidade Massa (Discretas paramétricas) Bernoulli Binomial Geométrica Poisson

21 21 Modelos Probabilísticos Variáveis Aleatórias admitem: – Probabilidade Densidade (f(x))

22 22 Modelos Probabilísticos Variáveis Aleatórias admitem: – Probabilidade Densidade (Paramétricas) Uniforme Exponencial Gama

23 23 Modelos Probabilísticos Variáveis Aleatórias admitem: – Probabilidade Distribuição Normal OUTRAS DISTRIBUIÇÕES

24 24 Modelos Probabilísticos Resumo – Variável Aleatória – Distribuição de Probabilidade – Parâmetros ( θ ) Distribuição Normal ( θ = (μ,σ)) Distribuição Gamma ( θ = (λ,α)) Distribuição Binomial ( θ = (n,p)) Distribuição Bernoulli ( θ = (p)) Distribuição Poisson (θ = (λ))

25 25 Modelos Probabilísticos Função de VEROSSIMILHANÇA Probabilidade: f ( X | θ ) Função de X dado θ Verossimilhança (likehood): L ( X | θ ) Função de θ dado Log-Verossimilhança (log-likehood): log(L ( X | θ )) Função de θ dado

26 26 Inferência (Estimação) Objetivo: Dada uma amostra (conjunto de observações) de uma variável aleatória, obter estimadores (função das observações) do parâmetro θ do modelo probabilístico adotado. Tipos: Pontual Intervalar

27 27 Inferência (Estimação) Métodos (Pontual): Mínimos Quadrados Momentos Máxima Verossimilhança Inferência Bayesiana

28 28 Inferência (Estimação) Máxima Verossimilhança: O que acontece é o mais verossímil = arg max Θ

29 29 Inferência (Estimação) = arg max Θ Maximizando Log-Verossimilhança

30 30 Inferência (Teste de Hipótese) Dados: Ho: Hipótese sobre θ H1: Hipótese alternativa sobre θ Teste de hipótese: i - Quando (valores amostrais) aceitar Ho como verdadeira ii – Quando (valores amostrais) rejeitar Ho como verdadeira assumindo H1 como verdadeira.

31 31 Inferência (Teste de Hipótese)

32 32 Inferência (Teste de Hipótese) Teste de razão de Verossimilhança:

33 33 Inferência (Teste de Hipótese) Avaliando o Teste: – Probabilidade de Erro Tipo I (Rejeitar Ho verdadeira) – Probabilidade de Erro Tipo II (Aceitar Ho falsa)

34 34 Inferência (Teste de Hipótese) Podemos avaliar um teste: – P(Erro I) e P (Erro II) -2log(λ(x)) assintoticamente tem uma distribuição qui-quadrado!

35 35 Inferência (Teste de Hipótese) Exemplo: A Moeda é Viciada? – 10 lançamentos (H,T,H,H,H,H,H,T,H,H) (Xi resultado de cada lançamento). – Ho: p=0.5 – H1: P0.5 – Teste de razão de verossimilhança:

36 36 Modelos Exponenciais para Grafos Aleatórios (ERGM) X: Grafo com número de nós fixo Zi(x): variável explanatória i do grafo x número de arestas, numero de triângulos de tamanho 3. Θi: Valor real (Θ é um vetor)

37 37 Modelos Exponenciais para Grafos Aleatórios (ERGM) K(Θ) é uma constante normalizadora Aplicando exponencial

38 38 Modelos Exponenciais para Grafos Aleatórios (ERGM) Roteiro (R statistical software): Cálculo de Probabilidade Métodos de Estimação Pseudo Máxima Verossimilhança (MPLE) MCMC Máxima Verossimilhança (MLE Qualidade de Ajuste (gof) Teste de Razão de Verossimilhança Agrupamento


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