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Métodos Matemáticos Lineares - MML Prof. Emilson Rocha de Oliveira Primeiro Semestre de 2014 www.emc.ufg.br/~emilson/public.

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1 Métodos Matemáticos Lineares - MML Prof. Emilson Rocha de Oliveira Primeiro Semestre de 2014

2 DADOS GERAIS Disciplina: Métodos Matemáticos Lineares Período: 3 o Curso: Engenharia Elétrica Carga horária: 4 horas semanais Nome do Professor: Emilson Rocha de Oliveira - Bloco G (Sala de Professores – acesso PG3) Dias/Horário: Segunda (sala 110) e Quarta (sala 210) das 10:50 as 12:30 Semestre/Ano: primeiro/2014

3 OBJETIVOS 1.Familiarizar o aluno com a teoria de sistemas a tempo discreto, sua representação através de equações a diferença e técnicas para sua solução. 2.Propiciar ao aluno bagagem matemática adequada, através de transformações matemáticas que levam funções ou sinais do domínio do tempo para o domínio da frequência.

4 OBJETIVOS 3.permitir que, em disciplinas subsequentes, técnicas para análize de sistemas lineares invariantes no tempo, discretos ou contínuos, possam ser apresentadas e compreendidas pelos alunos do curso.

5 EMENTA - Equações de Diferenças. - Transformada Z. - Transformada de Laplace. - Séries de Fourier. - Transformada de Fourier.

6 PROGRAMA - Solução de Equações a Diferença: Sistemas a Tempo Discreto Solução Homogênea. Solução Particular - Transformada Z: Definição. Propriedades da Transformada Z. Transformada Z de Funções Elementares. Transformada Z Inversa. Solução de Equação a Diferença utilizando a Transformada Z.

7 - Transformada de Laplace: Definição. Propriedades da Transformada de Laplace. Transformada de Laplace de Funções Elementares. Transformada Laplace Inversa. Solução de Equação Diferencial utilizando a Transformada de Laplace.

8 - Transformada de Fourier: Representação em Série de Fourier de Sinais Periódicos. Definição da Transformada de Fourier. Propriedades da Transformada de Fourier.

9 METODOLOGIA DE ENSINO O programa da disciplina é apresentado em aulas expositivas do conteúdo teórico, sempre seguido da resolução de exemplos relativos aquele conteúdo em sala de aula. Em determinadas situações, após a resolução dos exemplos os alunos são solicitados a, na própria sala de aula, resolver exemplos semelhantes aos apresentados. Listas de exercícios acompanhadas das respostas são fornecidas para que o aluno os resolva fora da sala de aula. As listas de exercício e outros materias de apoio didático serão disponibilizados no endereço Contato com o professor pode ser mantido também pelo

10 AVALIAÇÃO Primeira Prova (peso de 20%): 02 de abril Segunda Prova (peso de 25%): 12 de maio Terceira Prova (peso de 25%): 02 de junho Quarta Prova (peso de 30%): 14 de julho Substitutiva: 16 de julho

11 BIBLIOGRAFIA: 1.Bibliografia Básica: 1. R. A. Gabel e R. A. Roberts. Signals and Linear systems, 3ª edição. John Wiley, H. P. Hsu. Sinais e Sistemas. Coleção Schaum. Bookman, Porto Alegre, B. P. Lathi Sinais e Sistemas Lineres, Bookman, Porto Alegre, Bibliografia Complementar: 1. M. J. Roberts. Fundamentos em Sinais e Sistemas, McGrawHill, A. Oppenheim e A. S. Willsky. Sinais e Sistemas. Pearson Education do Brasil, S. S. Soliman. Continous and Discrete Signals and Systems. Prentice-Hall, B. Girod, R. Rabenstein e A. Stenger. Sinais e Sistemas. LTC, H. P. Hsu. Fourier Analysis. Simonand Scuster, E. I. Butkov. Física Matemática. LTC, 1988.

12 Caracterização de Sistemas Lineares Não Linearidade versus Linearidade dos sistemas físicos. – Linearidade permite cálculos matemáticos mais simples. – Utilização de sinais com facilidade de geração e tratamento matemático; Degrau, rampa, exponencial, senos e cossenos Análise e Projeto (Síntese) – Como engenheiros estamos interessados em projetar. Mas como interferir em um sistema sem saber seu comportamento? – A análise precede o projeto.

13 Análise de sistemas A forma mais eficiente de análise é verificar o sinal de saída de um sistema quando este é submetido a um sinal padrão de entrada Sinal de Entrada Sinal de Saída SISTEMA

14 O que é um SINAL ? É uma função que representa uma quantidade ou variável física e contém informações sobre o comportamento ou a natureza do fenômeno. – A comunicação entre os seres humanos ocorre comumente através dos sinais de fala, seja na conversação frente a frente ou através do telefone; – Outra forma de comunicação humana é através da comunicação visual com os sinais assumindo forma de pessoas ou imagens de objetos; – A comunicação também pode ser feita através da escrita onde temos sinais gráficos que podem por exemplos serem transmitidos via internet através de correio eletrônico;

15 Outros Exemplos de Sinais Na medicina: – Batimento cardíaco, temperatura do corpo, pressão sanguínea, respiração etc. Na meteorologia: – Temperatura, umidade, velocidade e direção dos ventos etc. Na economia: – Variações nos preços de ações, taxa de juros, cotação de moedas etc.

16 Classificação dos Sinais Sinal a Tempo Contínuo e Sinal a Tempo Discreto: – O primeiro possui valor (mesmo que zero) para qualquer instante de tempo, o segundo só tem valores definidos (mesmo que zero) para instantes de tempo inteiros. – Com esta classificação nossa definição de sinal fica melhor representada por: É uma função ou sequência de valores que representa uma quantidade ou variável física e contém informações sobre o comportamento ou a natureza do fenômeno.

17 Classificação dos Sinais Sinal de Amplitude Contínua e Amplitude Discreta: – No exemplo anterior x(t) representa a variável dependente enquanto t representa a variável independente, desta forma um sinal de amplitude contínua é aquele em que a variável dependente assume valores contínuos (qualquer valor) e um sinal de amplitude discreta é aquele em que a variável dependente assume somente valores inteiros.

18 Classificação dos Sinais Sinal Analógico: – É aquele em que as variáveis dependentes e independentes tem amplitude contínua. Sinal Digital: – É aquele em que as variáveis dependentes e independentes tem amplitude discreta. Sinal Real: – Quando a variável dependente é real. Sinal Complexo: – Quando a variável dependente é complexa.

19 Classificação dos Sinais Sinal Determinístico: – Quando a variável dependente assume valores conhecidos. Sinal Estocástico: – Quando a variável dependente assume valores aleatórios.

20 Classificação dos Sinais Sinal Par:

21 Classificação dos Sinais Sinal Impar:

22 Classificação dos Sinais Sinal Periódico e Não Periódico:

23 O que é um Sistema? É um modelo matemático (abstração) de um processo físico que estabelece uma relação entre um sinal de entrada (força externa ou excitação) com um sinal de saída Onde T(.) é um operador que transforma x(.) em y(.) Sinal de Entrada Sinal de Saída SISTEMA T(.) X(.)y(.)

24

25 Classificação dos Sistemas Sistema quanto ao número de entradas e saídas: – Sistemas SISO: sistemas com uma entrada e uma saída; – Sistemas MIMO: sistemas como mais de uma entrada e mais de uma saída.

26 Classificação dos Sistemas Sistemas a Tempo Contínuo: – São aqueles em que o sinal de entrada e o sinal de saída são contínuos e o operador T(.) atua de forma contínua no sinal de entrada. T(t), onde t é um número real Sistemas a tempo Discreto: – São aqueles em que o sinal de entrada e o sinal de saída são discretos e o operador T(.) atua de forma discreta no sinal de entrada. T(k), onde k é um número inteiro

27 Classificação dos Sistemas Sistema Causal: – São aqueles em que a saída presente só depende das entradas presentes e passadas. – Isto implica que um sistema causal, com condições iniciais nulas, não gera saída diferente de zero antes que a ele seja aplicada uma entrada diferente de zero.

28 Classificação dos Sistemas Sistemas Não Causais: – São aqueles em que sua saída depende de entradas futuras. – Não existem fisicamente mas matematicamente pode ser útil idealizá-los:

29 Classificação dos Sistemas Sistemas Lineares: – São sistemas extremamente importantes para as Engenharias; – As técnicas de análise são bastante completas e consolidadas para esta classe de sistemas; – Para determinadas condições de operação os sistemas não lineares podem ser analisados pelas técnicas dos sistemas lineares.

30 Classificação dos Sistemas – Em Engenharia Elétrica a teoria de sistemas lineares é utilizada nas seguintes áreas: Análise e Projeto de Circuitos Elétricos; Processamento Digital de Sinais; Telecomunicações; Controle e Automação; Instrumentação; Etc.

31 Classificação dos Sistemas –Definição de Sistemas Lineares: – São aqueles que atendem a propriedade da SUPERPOSIÇÃO – A propriedade da superposição implica em outra propriedade a HOMOGENEIDADE

32 HOMOGENEIDADE

33 LINEARIDADE Se a resposta de um sistema a uma combinação linear de sinais de entrada implica em uma combinação linear das saídas individualmente geradas por cada uma das entradas, então a superposição se aplica e o sistema é Linear


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