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Semanas 3 e 4: Sistemas e sua Classificação
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DEFINIÇÃO Um sistema é um modelo matemático de um processo físico que relaciona o sinal de entrada (excitação) com o sinal de saída (resposta). Usaremos, como exemplo, x(t) como o sinal de entrada de um sistema e y(t) como a resposta do sistema a esse sinal. Assim, a representação matemática desse sistema será: Onde T é a representação da regra que transforma x em y. Sabendo que um sinal é a representação de um valor que muda no tempo, e que um sinal carrega consigo informação, podemos também dizer que um sistema é a abstração de um processo ou objeto que coloca um número de sinais dentro de algum relacionamento. PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Sistemas com Uma ou Múltiplas entradas e saídas
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Sistemas Contínuos e Discretos no Tempo
Quando os sinais de entrada e saída do sistema são sinais contínuos, isto é, tem valores contínuos de amplitude e de tempo, dizemos que o sistema é contínuo no tempo. Por outro lado, os sinais de entrada e saída podem ser discretos. Quando isso ocorre, o sistema é dito como discreto no tempo. PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Representação de Sistemas Contínuos e Sistemas Discretos
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Sistemas Com Memória e Sem Memória
Um sistema é dito ser um sistema sem memória quando a saída em qualquer tempo depende somente da entrada naquele mesmo tempo. Um exemplo de sistema sem memória é um resistor R onde o sinal de entrada x(t) é a corrente e de saída y(t) é a tensão no resistor. O relacionamento de entrada e saída no Resistor é: y(t)=Rx(t) (Lei de Ohm). Sistemas que dependam de fatores anteriores são ditos sistemas com memória. Um exemplo de sistema com memória é um capacitor C que possui a corrente x(t) como entrada e a tensão y(t) como sinal de saída. PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Exemplo de Sistema com Memória
Sistema discreto onde a entrada e a saída estão relacionados. PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Sistemas com memória Sistemas sem memória SISTEMAS
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Sistema Causal e Não Causal
Um sistema é chamado de causal se sua saída y(t) em qualquer tempo arbitrário t=t0 depende somente da entrada x(t) para t t0.. Isto é, a saída de um sistema causal no tempo presente depende somente dos valores presentes ou passados da entrada, não de valores futuros. Ou seja, nunca poderemos ter uma saída se não for aplicado uma entrada! Um sistema é chamado de não causal se não for causal. Ex.: y(t)=x(t +1) p/ t=-1 ; y[n]=x[-n] p/ n=-1 PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Exemplos de Sistemas não Causais
A saída de um sistema causal no tempo presente depende somente dos valores presentes ou passados da entrada, não de valores futuros. Note que todos os sistemas sem memória são causais. Más o inverso não é verdadeiro. PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Sistemas Lineares e Não Lineares
Se o operador T satisfaz as condições (1) e (2) então ele é dito ser um sistema linear e o operador é chamado de operador linear. (1) Aditividade => Tx1=y1 e Tx2=y2 então T{x1+ x2} = y1+ y2 para qualquer sinais x1 e x2 . (2) Homogeneidade ou Escalar T{x} = y para qualquer sinal de x e escalar . Qualquer sistema que não satisfaz as condições (1) e (2) é chamado de sistema não linear. PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Sistemas Lineares e Não Lineares
As condições anteriores podem ser combinadas numa única condição: Exemplo de sistemas não lineares: y = x2 ; y =cos x. Note que como consequencia da propriedade de homogeneidade de sistemas lineares é que uma entrada zero produz uma saída zero. Ou se =0 então a saída também será zero. PC-Semana 3e4 - RCBetini 12
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Sistemas Variantes e Invariantes no Tempo.
O deslocamento do sinal representa o que ocorre com o sinal de saída em relação ao sinal de entrada. Definindo o deslocamento como T, o deslocamento é dado por: PC-Semana 3e4 - RCBetini 13
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Sistemas Variantes e Invariantes no Tempo.
No domínio da frequência, o deslocamento do sinal é chamado de H(s), onde s é a frequência, e H(s) é a relação do sinal de saída com o sinal de entrada, estando a saída e a resposta também no domínio da frequência. Neste caso, chamamos H(s) de função de transferência do sistema (FT). Para o cálculo e estudo de sistemas, é particularmente interessante estudarmos sistemas no qual o deslocamento do sinal não seja variável no tempo, pois assim podemos trabalhar com um sistema no qual apenas uma função será sua característica. Desta forma a FT é constante! PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Sistema Invariante no Tempo
Um sitema é invariante no tempo se para um deslocamento no tempo (atraso ou avanço) do sinal de entrada houver o mesmo deslocamento de tempo no sinal de saída. Para sistemas contínuos teremos: E para sistemas discretos teremos: Um sistema que não satisfaz as equações acima é chamado de variante no tempo. PC-Semana 3e4 - RCBetini 15
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Sistemas Lineares Invarintes no Tempo (Sistemas LTI)
Sistemas lineares que também são invariantes no tempo são ditos sistemas Lineares Invariantes no Tempo ou Sistemas LTI (Linear Time Invariant). PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Sistemas Estáveis Um sistema é dito ser um sistema estável se ele satisfaz a condição de que um sinal de entrada x(t) produz uma resposta também limitada y(t), de forma que: Note que K1 e K2 são constantes reais e finitas! PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Sistemas com Realimentação ou Feedback
Sistemas com retroalimentação, também chamados de sistemas de feedback ou retorno, são sistemas cuja saída é controlada pela entrada. Um exemplo bastante prático de sistema retroalimentado é uma estufa que tenha um sensor de temperatura. Desejando manter a temperatura constante, um sensor é instalado, junto com um ventilador ou um ar condicionado. Caso a temperatura lida esteja mais alta que a especificada, o sistema irá atuar para corrigir a saída. PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Sistemas com Realimentação ou Feedback
Num sistema de Feedback o sinal de saída retorna e é adicionado a entrada do sistema. PC-Semana 3e4 - RCBetini
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RELAÇÕES IMPORTANTES:
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Identidades Trigonométricas
Fórmula de Euler Identidades Trigonométricas PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Identidades Trigonométricas
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Expanção em Séries de Potências
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Funções Logarítmicas e Exponenciais
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Revisão sobre Números Complexos
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Revisão sobre Números Complexos
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Revisão sobre Números Complexos
Onde j é o número complexo, x é a frequência e C a defasagem do sinal. Normalmente trabalhamos com a defasagem inicial sendo 0, para simplificar os cálculos. PC-Semana 3e4 - RCBetini
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Exercícios Sobre Sinais e Sistemas
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1) Um sinal contínuo x(t) é mostrado na figura abaixo, desenhe e rotule cada um dos seguintes sinais: PC-Semana 3e4 - RCBetini 29
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Resolução do exercício 1
Sinal atrasado de 2 unidades! Sinal comprimido! Sinal expandido de 2 unidades! Sinal transladado de 180 graus! PC-Semana 3e4 - RCBetini
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1) SINAL COMPRIMIDO EM RELAÇÃO A T E AMPLITUDE AMPLIFICADA EM RELAÇÃO A T
t’ = 2t t’ = 0 → t = 0 t’ = 1 → t = 1/2 t’ = 2 → t = 1 t’ = 3 → t = 3/2 t’ = 4 → t = 2 PC-Semana 3e4 - RCBetini 31
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1) SINAL EXPANDIDO EM RELAÇÃO A T E AMPLITUDE COMPRIMIDA EM RELAÇÃO A T
t’ = t/2 t’ = 0 → t = 0 t’ = 1 → t = 2 t’ = 2 → t = 4 t’ = 3 → t = 6 t’ = 4 → t = 8 PC-Semana 3e4 - RCBetini 32
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1) SINAL ROTACIONADO EM 180°
t’ = -t t’ = 0 → t = 0 t’ = 1 → t = -1 t’ = 2 → t = -2 t’ = 3 → t = -3 t’ = 4 → t = -4 PC-Semana 3e4 - RCBetini 33
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2) SINAL DESLOCADO E ATRASADO EM RELAÇÃO A REFERÊNCIA
n’ = n-2 n’ = -2 → n = 0 n’ = -1 → n = 1 n’ = 0 → n = 2 n’ = 1 → n = 3 n’ = 2 → n = 4 n’ = 3 → n = 5 n’ = 4 → n = 6 n’ = 5 → n = 7 n’ = 6 → n = 8 PC-Semana 3e4 - RCBetini 34
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2) SINAL COMPRIMIDO EM RELAÇÃO A N
n’ = 2n n’ = -2 → n = -1 n’ = -1 → n = -1/2 n’ = 0 → n = 0 n’ = 1 → n = 1/2 n’ = 2 → n = 1 n’ = 3 → n = 3/2 n’ = 4 → n = 2 n’ = 5 → n = 5/2 n’ = 6 → n = 3 PC-Semana 3e4 - RCBetini 35
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2) SINAL ROTACIONADO EM 180°
n’ = -n n’ = -2 → n = 2 n’ = -1 → n = 1 n’ = 0 → n = 0 n’ = 1 → n = -1 n’ = 2 → n = -2 n’ = 3 → n = -3 n’ = 4 → n = -4 n’ = 5 → n = -5 n’ = 6 → n = -6 PC-Semana 3e4 - RCBetini 36
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2) SINAL ROTACIONADO EM 180° E DESLOCADO EM RELAÇÃO A N
n’ = -n+2 n’ = -2 → n = 4 n’ = -1 → n = 3 n’ = 0 → n = 2 n’ = 1 → n = 1 n’ = 2 → n = 0 n’ = 3 → n = -1 n’ = 4 → n = -2 n’ = 5 → n = -3 n’ = 6 → n = -4 PC-Semana 3e4 - RCBetini 37
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3) DADO O SINAL CONTÍNUO NO TEMPO ESPECIFICADO POR:
a) Determine a sequência discreta no tempo obtida pela amostragem uniforme de x(t), com um intervalo de amostragem de 0,25s: PC-Semana 3e4 - RCBetini 38
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3) DADO O SINAL CONTÍNUO NO TEMPO ESPECIFICADO POR:
b) Determine a sequência discreta no tempo obtida pela amostragem uniforme de x(t), com um intervalo de amostragem de 0,50s: PC-Semana 3e4 - RCBetini 39
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3) DADO O SINAL CONTÍNUO NO TEMPO ESPECIFICADO POR:
c) Determine a sequência discreta no tempo obtida pela amostragem uniforme de x(t), com um intervalo de amostragem de 1,00s: PC-Semana 3e4 - RCBetini 40
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4) OS SEGUINTES SINAIS POSSUEM AMPLITUDE DISCRETA, TEMPO DISCRETO E/OU SÃO DIGITAIS?
Número de dias de chuva por mês. Amplitude e tempo discretos. Média de temperatura alta por mês. Amplitude contínua e tempo discreto. Temperatura atual. Amplitude e tempo contínuos. População atual da china. Amplitude discreta e tempo contínuo. Produção diária de leite de uma vaca. Tempo discreto e amplitude contínua. Brilho de um pixel sobre uma tela de tv. PC-Semana 3e4 - RCBetini 41
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Semanas 3 e 4: Sistemas e sua Classificação
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