Aula 09 Regras de derivação: constante, potência, multiplicação por uma constante, soma e diferença, exponencial.

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1 Aula 09 Regras de derivação: constante, potência, multiplicação por uma constante, soma e diferença, exponencial

2 Introdução Se tivéssemos que usar a definição de derivada toda vez que quiséssemos calcular uma derivada, o cálculo seria uma disciplina extremamente difícil e tediosa. Felizmente isto não é necessário; nesta aula e na próxima, apresentaremos algumas regras que facilitam grandemente o processo de derivação.

3 Derivadas de Funções Polinomiais e Exponenciais
O gráfico da função constante é a reta horizontal , cuja inclinação é zero; logo devemos ter Função constante DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE

4 REGRA DA POTÊNCIA ( VERSÃO GERAL)
Função Potência REGRA DA POTÊNCIA ( VERSÃO GERAL) Se n for um número real qualquer, então:

5 Exemplos Exemplo 1

6 Derive: Exemplo 2

7 Ache as equações da reta tangente e da reta normal
Exemplo 3 Ache as equações da reta tangente e da reta normal à curva no ponto (1,1). Solução.

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10 REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE
Se k for uma constante e f uma função derivável, então: Demonstração:

11 Exemplos Exemplo 4 Determine:

12 Se f e g forem ambas deriváveis, então:
REGRA DA SOMA Se f e g forem ambas deriváveis, então: Demonstração:

13 Exemplos Exemplo 5 Determine:

14 Funções Exponenciais Definição do número e
Geometricamente, isso significa que, de todas as possíveis funções exponenciais y=ax, a função f(x)=ex é aquela cuja reta tangente em (0,1) tem inclinação f´(0) = 1 .

15 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
A função exponencial f(x)=ex tem como propriedade o fato de que sua derivada é ela mesma. O significado geométrico desse fato é que a inclinação da reta tangente à curva y=ex é igual à coordenada y do ponto.

16 Exemplos Exemplo 8

17 Em que ponto da curva y=ex sua reta tangente é paralela à reta y=2x ?
Exemplo 9 Em que ponto da curva y=ex sua reta tangente é paralela à reta y=2x ?

18 Problemas de Aplicação (Opcional)

19 Circulação de um Jornal
Estima-se que daqui a t anos a circulação de um jornal será C(t)=100t²+400t+5000. Encontre uma expressão para a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a t anos. (b)Qual será a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a 5 anos? A circulação estará aumentando ou diminuindo nesta ocasião?

20 Solução

21 Poluição do Ar Um estudo ambiental realizado em um certo bairro revela que daqui a t anos a concentração de monóxido de carbono no ar será Q(t)=0,05t²+0,1t+3,4 partes por milhão. Encontre a expressão para a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono no ar com o tempo daqui a t anos? (b) Qual será a taxa de variação da concentração de monóxido de carbono no ar com o tempo daqui a 2 anos?

22 Solução

23 RECEITA ANUAL A receita anual bruta de uma certa empresa foi R(t)=0,1t²+10t+20 milhares de reais t anos após a empresa ter sido fundada no ano de 200. A que taxa a receita anual bruta da empresa estava variando com o tempo em 2004? A receita estava aumentando ou diminuindo naquele momento?

24 Solução

25 FÍSICO-QUÍMICA De acordo com a fórmula de Debye da físico-química, a polarização orientacional P de um gás é dada pela equação onde ,k e N são constantes positivas e T é a temperatura do gás. Determine a taxa de variação de P com T.

26 Solução

27 LISTA DE EXERCÍCIOS Sugestão: Mostrar para os alunos os exercícios da lista correspondentes a esta aula.