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Profa. Esp. Sheila Melo Coordenação Geral de Ensino da Faculdade Limites infinito e no infinito.

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1 Profa. Esp. Sheila Melo Coordenação Geral de Ensino da Faculdade Limites infinito e no infinito

2 Limites infinitos

3 Votemos ao exemplo da nossa empresa. Deste vez, você observa que seu lucro aumenta à medida que suas despesas diminuem (quando se aproximando de um determinado valor). Assim, podemos chamar de x a despesa e de f(x) (f de x: função de x) o lucro pois este depende da despesa.

4 Considere agora, nesta situação, que seu lucro se relaciona com suas despesas da seguinte forma: o lucro (f(x)) é igual ao inverso da despesa (x). Assim: f(x) = 1 x

5 O que está acontecendo com os valores referente às despesas? E com os valores referente ao lucro?

6 Os valores de suas despesas (x) diminuem tendendo a se aproximar de zero. Seu lucro tende a assumir valores infinitamente grandes x0 f(x)

7 Podemos escrever então: lim x0 1 = x

8 Generalizando (Definição) Seja a um número real e considere f uma função que não está definida em a, ou seja, se x = a => f(x) = E

9 Se quando x se aproxima de a, f(x) cresce infinitamente, então escrevemos: lim xa f(x)= +

10 Analogamente, considere uma função g que também não está definida em a, ou seja se x = a => g(x) = E

11 Se quando x se aproxima de a, f(x) decresce infinitamente, então escrevemos: lim xa f(x)= -

12 Exemplo lim = x1 3x + 2 (x – 1) 2 5 Tende a valores Bem pequenos e Próximos de zero +

13 Tende a valores Bem pequenos e Próximos de zero lim = x2 1 – x (x – 2) 2 -

14 Respostas: + ; + ; - lim = x2 3x – 4 (x – 2) 2 lim = x1 2x + 3 (x – 1) 2 Exercícios lim = x1 1 – 3x (x – 1) 2

15 Respostas: +; - lim = x0 3x - 5x x 2 lim = x2 1 – x (x – 2) 2

16 LIMITES NO INFINITO

17 Considere, agora, que suas despesas estão relacionadas à quantidade de produtos vendidos, de forma que as despesas dependam da quantidade de produtos vendidos. Assim, pode-se representar por x a quantidade de produtos vendidos e por f(x) o valor de suas despesas.

18 Considere, ainda, que estes se relacionam de forma inversa ou seja, à medida que suas vendas aumentam, suas despesas diminuem. Logo, podemos escrever: f(x) = 1 x

19 O que está acontecendo com os valores referente às despesas? E com os valores referente ao lucro?

20 Suas vendas atinjam valores infinitamente grandes Suas despesas tenderão a valores bem pequenos, próximos de zero f(x) 0 x

21 Podemos escrever então: lim x 1 = 0 x

22 Generalizando (Definição) Seja x pertencente a uma intervalo aberto ]a, + [, isto é, x pode assumir qualquer valor desde muito próximo de um número a qualquer até +; e seja f uma função definida neste intervalo, isto é, todo x deste intervalo gera um imagem (y) correspondente.

23 Dizemos que, quando x cresce infinitamente, f(x) aproxima-se de um L e escrevemos: lim x+ f(x)= L

24 De modo análogo, seja x pertencente a um intervalo aberto ]-, a[, isto é, x pode assumir qualquer valor desde - até um valor muito próximo de um número a qualquer; e seja f uma função definida neste intervalo, isto é, todo x deste intervalo gera um imagem (y) correspondente

25 Dizemos que, quando x decresce infinitamente, f(x) aproxima-se de um L e escrevemos: lim x- f(x)= L

26 Exemplos lim x+ 4x – 7x + 3 = 2 4. – = 2 = - lim x- 5x - 4x – 3x + 2 = 32 5.(-) - 4.(-) – 3.(-)

27 Exercícios: 1) lim x+ 2x + 5 = 2)lim x- 4 – 5x = 3) lim x+ 5x – 4x + 3 = 2 4) lim x+ 4 - x = 2 5) lim x- 3x – 4 = 3 6)lim x- 8 – x = 2 Respostas: +; +; +; -; -; +

28 Calcule o limite: lim = x+ 6x + 2x x + x = = ? Temos uma indeterminação! O que fazer?

29 Em alguns casos pode acontecer de tal substituição levar a uma indeterminação da forma Para contornar esta situação, deve-se dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x presente na função.

30 lim = x+ 6x + 2x x + x lim x x 2 x 2 2x x 2 1 x x 2 x 2 x x 2 2 x 2 = lim x x 1 x x 2 x = lim x+ 6 3 = 2

31 Exercícios 1) lim = x+ 2x - 3x x - x + +5x ) lim = x+ 3x + x x - x Respostas: - 2; 3 7 5

32 3) lim = x+ 2x - 6x x - x ) lim = x+ x – x 5 x + x ) lim = x+ 2x - 3x x - x Respostas: 2; - 1; 0 7


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