Coordenação Geral de Ensino da Faculdade

Apresentação em tema: "Coordenação Geral de Ensino da Faculdade"— Transcrição da apresentação:

1 Coordenação Geral de Ensino da Faculdade
Profa. Esp. Sheila Melo Coordenação Geral de Ensino da Faculdade Limites infinito e no infinito

2 Limites infinitos

3 Votemos ao exemplo da nossa empresa
Votemos ao exemplo da nossa empresa. Deste vez, você observa que seu lucro aumenta à medida que suas despesas diminuem (quando se aproximando de um determinado valor). Assim, podemos chamar de x a despesa e de f(x) (“f de x”: função de x) o lucro pois este depende da despesa.

4 Considere agora, nesta situação, que seu lucro se relaciona com suas despesas da seguinte forma: o lucro (f(x)) é igual ao inverso da despesa (x). Assim: f(x) = 1 x

5 O que está acontecendo com os valores referente às despesas? E com os valores referente ao lucro?

6 Os valores de suas despesas (x) diminuem tendendo a se aproximar de zero.
Seu lucro tende a assumir valores infinitamente grandes f(x) →∞

7 Podemos escrever então:
lim x→0 1 = ∞ x

8 Generalizando (Definição)
Seja a um número real e considere f uma função que não está definida em a, ou seja, se x = a => f(x) = E

9 Se quando x se aproxima de a, f(x) cresce infinitamente, então escrevemos:
lim x→a f(x)= +∞

10 Analogamente, considere uma função g que também não está definida em a, ou seja se
x = a => g(x) = E

11 Se quando x se aproxima de a, f(x) decresce infinitamente, então escrevemos:
lim x→a f(x)= -∞

12 Exemplo 5 3x + 2 lim = +∞ (x – 1) Tende a valores Bem pequenos e
Próximos de zero

13 -1 1 – x lim = - ∞ (x – 2) Tende a valores Bem pequenos e
Próximos de zero

14 Exercícios 3x – 4 lim = (x – 2) 2x + 3 lim = (x – 1) 1 – 3x lim =
Respostas: + ∞; + ∞; - ∞

15 lim = x→0 3x - 5x + 2 2 x lim = x→2 1 – x (x – 2) 2 Respostas: +∞; -∞

16 LIMITES NO INFINITO

17 Considere, agora, que suas despesas estão relacionadas à quantidade de produtos vendidos, de forma que as despesas dependam da quantidade de produtos vendidos. Assim, pode-se representar por x a quantidade de produtos vendidos e por f(x) o valor de suas despesas.

18 Considere, ainda, que estes se relacionam de forma inversa ou seja, à medida que suas vendas aumentam, suas despesas diminuem. Logo, podemos escrever: f(x) = 1 x

19 O que está acontecendo com os valores referente às despesas?
E com os valores referente ao lucro?

20 Suas vendas atinjam valores infinitamente grandes
x→∞ Suas despesas tenderão a valores bem pequenos, próximos de zero f(x) →0

21 Podemos escrever então:
lim x→∞ 1 = 0 x

22 Generalizando (Definição)
Seja x pertencente a uma intervalo aberto ]a, +∞ [ , isto é, x pode assumir qualquer valor desde muito próximo de um número a qualquer até +∞; e seja f uma função definida neste intervalo, isto é, todo x deste intervalo gera um imagem (y) correspondente.

23 Dizemos que, quando x cresce infinitamente, f(x) aproxima-se de um L e escrevemos:
lim x→+∞ f(x)= L

24 De modo análogo, seja x pertencente a um intervalo aberto ]-∞, a[ , isto é, x pode assumir qualquer valor desde -∞ até um valor muito próximo de um número a qualquer; e seja f uma função definida neste intervalo, isto é, todo x deste intervalo gera um imagem (y) correspondente

25 Dizemos que, quando x decresce infinitamente, f(x) aproxima-se de um L e escrevemos:
lim x→-∞ f(x)= L

26 Exemplos lim 4x – 7x + 3 = 4.∞ – 7.∞ + 3 = ∞ lim 5x - 4x – 3x + 2 =
5.(-∞) - 4.(-∞) – 3.(-∞) + 2 3 2 = -∞

27 Respostas: +∞; +∞; +∞; -∞; -∞; +∞
Exercícios: 4) lim x→+∞ 4 - x = 2 1) lim x→+∞ 2x + 5 = 5) lim x→-∞ 3x – 4 = 3 2)lim x→-∞ 4 – 5x = 3) lim x→+∞ 5x – 4x + 3 = 2 6)lim x→-∞ 8 – x = 2 Respostas: +∞; +∞; +∞; -∞; -∞; +∞

28 Temos uma indeterminação! O que fazer?
Calcule o limite: lim = x→+∞ 6x + 2x - 1 2 3x + x + 2 6.∞ + 2.∞ - 1 2 3.∞ + ∞ + 2 ∞ = = ? Temos uma indeterminação! O que fazer?

29 Em alguns casos pode acontecer de tal substituição levar a uma indeterminação da forma
∞ Para contornar esta situação, deve-se dividir o numerador e o denominador pela maior potência de x presente na função.

30 lim + 6x x 2x 1 3x lim = 6x + 2x - 1 3x + x + 2 = lim + 6 2 x 1 3 6 3
= lim x→+∞ + 6 2 x 1 3 6 3 = lim x→+∞ = 2

31 Exercícios 2x - 3x + 4 1) lim = -7x - x + +5x 3x + x - 7 2) lim =
Respostas: - 2; 3 7 5

32 2x - 6x + 8 3) lim = 7x - x + 1 x – x 4) lim = x + x + 10 2x - 3x + 5
Respostas: 2; - 1; 0 7