Limite e Continuidade Profa. Marli.

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1 Limite e Continuidade Profa. Marli

2 Noção Intuitiva Sucessões numéricas Dizemos que: 1, 2, 3, 4, 5, ....
Os termos torna-se cada vez maior sem atingir um limite x  + Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor x  1 1, 0, -1, -2, -3, ... Os termos torna-se cada vez menor sem atingir um limite x  - Os termos oscilam sem tender a um limite

3 Limites Intuitivos <  = < >

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5 Definição de Limites Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de a (um número real), exceto talvez em a. c a d Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a a e escrevemos

6 Figures 1: Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5 estará dentro do intervalo aberto (2, 10). Figures 1.13: Um

7 se para todo  > 0, existe um número correspondente  > 0 , tal que
|x-a|<   |f(x)-L|< , para todos os valores de x.

8 Figura 1.11: Relação entre  e  na definição de limite.

9 Propriedades dos Limites
Se L, M, a, c são números reais e n inteiro e

10 Regra da soma(subtração):
Regra do Produto: Regra da multiplicação por escalar: Regra do quociente:

11 Regra da potencia: Regra da raíz se é impar.

12 Regra do logaritmo: Regra do seno(o mesmo vale para o cosseno) Regra da exponencial:

13 Limites de Funções Polinomiais
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser obtidos por Substituição: Se então

14 Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial

15 Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser obtidos por Substituição, caso o limite do denominador não seja zero: Se e são polinômios e , então

16 Exemplo – Limite de Uma Função Racional

17 Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este também é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator (x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1) resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores da original para x : Se x

18 Usando a fração simplificada, obtemos o limite desses valores quando x 1 por substituição:

19 Fator comum de h. Cancelar h para h Então,