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1 Sistemas Lineares Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães

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Apresentação em tema: "1 Sistemas Lineares Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães"— Transcrição da apresentação:

1 1 Sistemas Lineares Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães

2 2 Tema da aula 07 Pesquisa Operacional: Sistemas de equações lineares

3 3 Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan Consiste da derivação de um sistema específico de equações lineares que tenha a mesma solução que o sistema original. Este novo sistema deverá ter o formato de uma matriz identidade, o que pode ser obtido através de combinações lineares das equações originais. Assim, pretende-se que:

4 4 Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan

5 5 Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan São permitidas as seguintes transformações: Troca de linhas; Ln Lm – troca das linhas n por m Multiplicação da linha por um escalar; Ln KLn – multiplicação da linha n pelo escalar K Soma de uma linha multiplicada por um escalar a uma outra linha. Ln Ln + KLn – soma da linha n multiplicada pelo escalar K à linha n

6 6 Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan 1) Transformação do coeficiente de X 1 na equação 1 para 1 Solução: dividir a 1ª equação por 4 para achar o coeficiente de X 1 igual a 1. L 1 L 1 / 4

7 7 Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan 2) Transformação do coeficiente de X 1 na equação 2 para 0 Solução: subtrair a 2ª equação pela 1ª equação multiplicada por 6. L 2 L 2 – 6L 1

8 8 Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan 3) Transformação do coeficiente de X 2 na equação 2 para 1 Solução: divisão da 2ª equação por -8. L 2 L 2 / - 8

9 9 Resolução de sistemas de equações Método Gauss-Jordan 4) Transformação do coeficiente de X 2 na equação 1 para 0 Solução: subtração da 1ª equação pela 2ª equação multiplicada por 2. L 1 L 1 – 2L 2 -

10 10 Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Utiliza o estudo de determinantes para obtenção de sistemas lineares, onde o número de equações coincide com o número de incógnitas. a 11 a 12 a 13 a 1n b1b1 a 21 a 22 a 23 a 2n b2b2 a 31 a 32 a 33 a 3n b3b3 B = Matriz incompleta Matriz completa Matriz incompleta Matriz completa Matriz incompleta

11 11 Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Matriz completaMatriz incompleta

12 12 Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Seja S um sistema linear com n equações e n incógnitas. A solução (α 1, α 2, α α n ) do sistema é obtida por: αiαi i =1,2,3.... n

13 13 Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Seja S um sistema linear com n equações e n incógnitas. A solução (α 1, α 2, α α n ) do sistema é obtida por: αiαi i =1,2,3.... n

14 14 Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER D = determinante da matriz incompleta. D i = determinante obtido pela substituição da coluna i da matriz incompleta pela coluna de termos independentes das equações do sistema.

15 15 Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Calcular determinante de D usando Sarrus. D =D = 27

16 16 Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Escolher a coluna para cálculo de D i. D = Cálculo de D 1, D 2 e D 3 Coluna escolhida

17 17 Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Para cálculo de D1 substituir a 1ª coluna pela coluna de termos independentes. D = Cálculo do determinante D 1, usando Sarrus. D 1 = -54

18 18 Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Para cálculo de D2 substituir a 2ª coluna pela coluna de termos independentes. D = Cálculo do determinante D 2, usando Sarrus. D 2 = 81

19 19 Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER Para cálculo de D3 substituir a 3ª coluna pela coluna de termos independentes. D = Cálculo do determinante D 3, usando Sarrus. D 3 = 0

20 20 Resolução de sistemas de equações Regra de CRAMER X = D1 / D Y = D2 / D Z = D3 / D O vetor solução será (-2, 3, 0). X = -54 / 27 Y = 81 / 27 Z = 0 / 27 X = -2 Y = 3 Z = 0 Substituir os valores nas equações para conferir

21 21 Memória de aula 1.Como se deve resolver um sistema de equações utilizando o método de Gauss-Jordan? 2.Como se deve resolver um sistema de equações utilizando a regra de Cramer? 3.Determine o vetor solução para a seguinte equação:

22 22 Bibliografia indicada LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, versão digital disponível na Internet (http://www.ericolisboa.eng.br).http://www.ericolisboa.eng.br


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