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Álgebra Linear Dependência Linear e Base Unidade 2. Dependência Linear e Base • Dependência Linear • Base no Espaço • Vetores no Plano • Vetor definido.

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1 Álgebra Linear Dependência Linear e Base Unidade 2. Dependência Linear e Base • Dependência Linear • Base no Espaço • Vetores no Plano • Vetor definido por dois pontos • Vetor Posição • Soma de vetores da base • Ponto médio • Módulo de um vetor • Distância entre dois pontos • Vetor unitário • Vetores no Espaço

2 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Dependência Linear uvuvuv 1.Dado {u,v} onde u=-2v  u//v uv Então {u,v} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de uv au+bv=0 Onde a=1 e b=2 u0 2. Dado {u,0} caso particular de 1 u0 Então {u,0} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de u0 au+b0=0 Onde a=0 e b Portanto se uv au+bv=0 a=0 e b=0 uvvu 3. Dado {u,v} l  v  u uv Então {u,v} é linearmente independente (LI) uvwuvw uvw Dados os vetores u, v e w e os coeficientes reais a, b, c, onde au+bv+cw=0. O conjunto dos vetores {u,v,w} é linearmente independente se e somente se a=b=c=0 simultaneamente. Analisando os detalhes.

3 Álgebra Linear Dependência Linear e Base uv,wwuv uvw 4. Dado {u,v,w} onde w=u+v  u+v-w=0 uv,w Então {u,v,w} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de uvw au+bv-cw=0 Onde a=1, b=1 e c=-1 uv,0 5. Dado {u,v,0} Caso particular de 4 uv,0 Então {u,v,0} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de uv0 au+bv+c0=0 a=b=0 c uv,wuv uvw 6. Dado {u,v,w} sendo u=2v então u-2v+0w=0 uv,w Então {u,v,w} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de uvw au+bv+cw=0 Onde a=1, b=-2 e c=0 uv,w 7. Dado {u,v,w} no espaço uv,w Então {u,v,w} é linearmente independente (LI) uvw au+bv+cw=0 Implica que a=b=c=0

4 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Base no Espaço vvv vvv vvv vvvvv Uma base no espaço é uma terna ordenada (v 1,v 2,v 3 ), se o conjunto de vetores {v 1,v 2,v 3 } é linearmente independente (LI) isto é v 1,v 2,v 3 não são nulos e nem coplanares, então existe uma terna de números reais a, b, c tais que v=av 1 +bv 2 +c v 3, qualquer que seja v no espaço.

5 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Vetores no Plano Sejam e, não paralelos com a mesma origem conforme vemos a seguir: Os vetores representados: São combinação linear de e u uuu Em geral, para cada u no plano há apenas dois números a 1 e a 2 tal que: u=a 1 u 1 +a 2 u 2 uu Nestas condições {u 1,u 2 } é chamado de base no plano se os vetores NÃO são paralelos NEM nulos. Consequentemente, todos os vetores do plano são expressos como combinação linear dos vetores da base. u u a 1 e a 2 são chamados de coordenadas e u pode ser também representado como u=(a 1,a 2 ) s1s1 s2s2

6 Álgebra Linear Dependência Linear e Base Na prática utiliza-se as bases ortonormais se os vetores são perpendiculares entre si. A base ou é chamada de base canônica no plano. x y uuuu O vetor u é uma soma de dois vetores: u=u x +u y Onde: Coeficientes ou coordenadas do espaço abscissa Ordenada (afastamento) Desta forma o vetor u na base pode também ser escrito como: Exemplo:

7 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Vetor definido por dois pontos Dados dois pontos no espaço A e B: o vetor pode ser definido através da soma dos vetores que definidos a partir da origem dos sistema de coordenadas Exemplo: Dados os pontos no espaço, A(1,5) e B(3,2), determine o vetor. Este vetor nada mais é do que o vetor representado a partir da origem do sistema de coordenadas. É chamado de vetor posição ou representante natural de. x y o A(x 1,y 1 ) B(x 2,y 2 ) y1y1 y2y2 x2x2 x1x1

8 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Vetor Posição x y o A(x 1,y 1 ) B(x 2,y 2 ) y1y1 y2y2 x2x2 x1x1 P(x 2 -x 1,y 2 -y 1 ) v O vetor v que liga a origem do sistema de coordenadas ao ponto P é o vetor posição ou o representante natural do vetor original.

9 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Soma de vetores da base x y Dados os vetores na base ortonormal. A soma dos vetores: x y Graficamente Genericamente:

10 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Ponto médio x y o A(x 1,y 1 ) B(x 2,y 2 ) y1y1 y2y2 x2x2 x1x1 x y M(x,y) Observando-se o gráfico pode-se verificar: Se Então: Portanto: Exemplo: Dados dois pontos A(3,8) e B(7,4) encontre o ponto médio entre A e B.

11 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Módulo de um vetor x y x y y Dado o vetor u=xi+yj definido na origem do sistema de coordenadas ortonormal. O módulo deste vetor está relacionado com a hipotenusa do triângulo retângulo formado. Portanto: Exemplo: Dado o vetor na base ortonormal, determine o seu modulo.

12 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Distância entre dois pontos Com base no cálculo do módulo de um vetor é possível definir-se a distância entre dois pontos no espaço conforme demonstrado abaixo. x y o A(x 1,y 1 ) B(x 2,y 2 ) y1y1 y2y2 x2x2 x1x1 Exemplo: Dados os pontos A(1,7) e B(-3,-2). Determine a distância entre A e B.

13 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Vetor unitário É um vetor de módulo 1: O vetor unitário é o representante da direção do vetor que o originou. v v Exemplo: Dado o vetor v=(2,4), na base ortonormal, determine o vetor unitário da direção de v.

14 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Vetores no Espaço No espaço (tridimensional) todas as equações apresentadas no plano são equivalentes acrescentando-se o termo referente à terceira coordenada. Desta forma, não é necessário uma apresentação detalhada. x y o z É a base canônica no espaço

15 Álgebra Linear Dependência Linear e Base 7 3 x y o z • Vetores no Espaço: Dividido em 8 octantes

16 Álgebra Linear Dependência Linear e Base x y o z Representação de um vetor na base ortonormal canônica no espaço.

17 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Vetor definido por dois pontos e vetor Posição • Soma de vetores da base • Ponto médio

18 Álgebra Linear Dependência Linear e Base • Módulo de um vetor • Distância entre dois pontos • Vetor unitário

19 Álgebra Linear Dependência Linear e Base


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