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UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período Professor:

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO POLITÉCNICO Graduação em Engenharia Mecânica Disciplina: Mecânica dos Materiais 1 – 5º Período Professor: Dr. Damiano da Silva Militão.

2 Tema de aula 4: Carga Axial SEQUÊNCIA DE ABORDAGENS: 4.1 Princípio de Saint-Venant 4.2 Deslocamento e deformação Elástica de um Elemento com Carregamento Axial 4.3 Princípio da Superposição 4.4 Membro com Carga Axial Estaticamente Indeterminado 4.5 Método das Forças para Analisar Membros com Carga Axial 4.6 Tensão Térmica 4.7 Concentrações de Tensão 4.8 Deformação Axial Inelástica 4.9 Tensão Residual “Não é conhecer muito, mas o que é útil, que torna um homem sábio.” THOMAS FULLER, M.D. Objetivos: Determinar a deformação de elementos carregados axialmente. Desenvolver método para encontrar as reações dos apoios indeterminados, usando as equações de equilíbrio. Analisar os efeitos da tensão térmica, das concentrações de tensão e das deformações inelásticas.

3 4.1-Principio de Saint Venant “a tensão e a deformação produzidas em pts suficientemente distantes da região de aplicação da carga serão as mesmas para quaisquer cargas aplicadas na mesma região e que tenham mesma resultante” 4.2-Deslocamento e deformação elástica de elemento com carga axial δ é o deslocamento relativo. δ =L-L 0 Logo no elemento; e pela L. Hooke; Então; Se P e A forem constantes; Convenção de Sinais: força axial interna e deslocamento positivos se provocarem, respectivamente, tração e alongamento; ou

4 Exemplo: S Sol: Obtemos as forças internas pelo método das seções: Graficamente ; Pela convenção de sinais, em AB e BC temos deslocamento positivo, e em CD negativo. Para o deslocamento de A somamos todos os deslocamentos; para BC fazemos apenas o deslocamento, positivo neste trecho:

5 4.3-Princípio da superposição 4.4-Membro com carga axial estaticamente indeterminado Ocorre quando as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as reações no membro. Ex: D.C.L: Estaticamente indeterminada pois; (não podemos obter FA nem FB). Usamos como equação de compatibilidade os deslocamentos δ, que neste caso será; δ A/B =0 (barra fixa em A e B), então secionamos a barra e somamos os deslocamentos através das forças obtidas em cada trecho. a eq. da compatibilidade fica; e o sistema agora é determinado. 4.5-Método das forças para analisar membros com carga axial Trata-se também de resolver problemas indeterminados, porém usando a superposição para escrever as equações de compatibilidade. Ao invés de secionar, somamos os deslocamentos de forças atuando independentemente no membro (eliminamos momentaneamente a reação de um apoio considerado redundante, depois consideramos apenas ele agindo) a eq. da compatibilidade fica; e o mesmo sistema agora é determinado.

6 Exemplo: A barra uniforme está submetida a uma carga P no colar B. Determinar as reações nos pinos A e C. Desprezar as dimensões do colar. Sol: Façamos o D.C.L ; As eq. de equilíbrio mostram ser indeterminado. Resolvendo pelo método das forças, fazemos a superposição. Inicialmente consideramos Fc redundante, P causaria deslocamento +; Depois consideramos apenas Fc que causaria deslocamento -; As Eq.s de compatibilidade ficam então: Usando a eq. de equilibrio temos:

7 Fazer: A carga de lb deve ser suportada por dois arames verticais de aço A-36. Se, inicialmente, o arame AB tiver 50pol de comprimento e o arame AC tiver 50,1 pol de comprimento, determinar a força desenvolvida em cada arame depois que a carga estiver suspensa. Cada arame tem área da seção transversal de 0,02 pol 2.

8 Fazer: Um tubo de aço A-36 tem um núcleo de alumínio 6061-T6. Submetidos à força resultante de tração 200kN, se deslocam igualmente. Determinar a tensão normal média no alumínio e no aço devido a esse carregamento. O tubo tem diâmetro externo de 80 mm e diâmetro interno de 70 mm.

9 4.6-Tensão térmica A mudança no comprimento de um elemento estaticamente determinado devido à ΔT é calculada por: α =coef. Linear de dilatação térmica (tabela). se a temperatura varia em x; Se elemento for estaticamente indeterminado, limitado por apoios, produz tensões térmicas calculadas pelos métodos descritos anteriormente. Exemplo: Três barras feitas de materiais diferentes estão acopladas e colocadas entre duas paredes sob uma temperatura T 1 = 12°C. Determinar a força exercida sobre os apoios (rígidos) quando a temperatura muda para T 2 = 18°C. As propriedades dos materiais e a área das seções transversais são dadas na figura. Sol: Resolveremos pelo método das forças, com a superposição dos deslocamentos; Inicialmente consideramos F apoio redundante, a F tensão térmica causaria deslocamento + (δ T ); Depois consideramos apenas F apoio que causaria deslocamento – (δ); As Eqs. de compatibilidade ficam então: 0= δ T - δ

10 4.7-Concentrações de tensão Ocorrem em mudanças súbitas de áreas da seção. Ex: Em projetos precisamos estimar a tensão máxima verdadeira (σ máx ) que atua na menor área: Isso será feito baseado na tensão média (σ méd =P/A ) que atua na menor área, e no fator de concentração de tensão (K); K é tabelado em função da geometria do corpo. Ex: Na região elástica, concentrações de tensão são mais importantes em materiais frágeis que rompem logo após esta região, dúcteis ainda teriam escoamento.

11 Fazer: Determinar a tensão normal máxima desenvolvida na barra quando esta é submetida a uma tração P = 2 kip.

12 4.8-Deformação axial inelástica. Um material perfeitamente plástico (ou elastoplástico) tem o seguinte comportamento gráfico; Aplicando numa barra uma carga P que provoca tensão elástica σ=σ1 e deformação ε1; A carga sempre poderá ser obtida pelo volume da tensão Aumentando para uma carga P’ que inicie escoamento parcial com σ =σE (aumenta volume); Aumentando para a carga plástica Pp, esta causará escoamento total σ =σE (volume máximo), até que o encruamento (endurecimento por deformação) solicite carga extra;

13 Exemplo: A barra é feita de aço e supõe-se que seja elástica perfeitamente plástica, com σE = 250 MPa. Determinar (a) o valor máximo da carga P E que pode ser aplicada sem provocar escoamento do aço e (b) o valor máximo de Pp que a barra pode suportar. Esquematizar a distribuição de tensão na seção crítica para cada caso. Sol: (a) Na região elástica precisamos do fator de com- centração de tensão (K) para obter o pico máx: K=1.75(tabela) Logo: (b)A carga máxima é a carga plástica Pp quando toda área está sob tensão uniforme de escoamento σE:

14 Se um elemento estaticamente indeterminado escoa devido ao carregamento externo, quando retirada esta carga aparecerão tensões residuais dos apoios. Ex: Um elastoplástico sob tensão axial σ E se deforma plasticamente ε c ; Retirando sua carga ele retorna elasticamente até o’; E se ele for estaticamente indeterminado? Retirando sua carga, ele ainda sofrerá um tensão residual elástica extra do apoio retornando até D; Trata-se de uma superposição (soma) da tensão causada pelo carregamento OC plástico na ‘ida’, com a tensão causada pelo descarregamento CD elástico (de sinal contrário) na ‘volta’. (a diferença entre as tensões na ‘ida’ e na ‘volta’, será a tensão residual permanente) 4.9-Tensão Residual.

15 Exemplo: A haste tem raio de 5 mm e é feita de um material elastoplástico de σE= 420 MPa e E=70GPa. Aplicando P=60 kN à haste e depois retirando, determine (a) a tensão residual na haste e (b) o deslocamento permanente do colar em C. Sol; (a) Da análise elástica feita em 4.5 teríamos F A =45KN e F B =15KN, com (são as tensões das descargas elásticas causadas pelos apoios na ‘volta’ (em sentidos contrários) Calcularemos os carregamentos na ‘ida’; AC torna-se plástico em 420MPa, antes de CB; Logo, para que as cargas se anulem, teremos; consequentemente Portanto e na ‘ida’, que levam aos pts B’(-420) e A’(344) do gráfico; -Nota: p/obter em B’, fariamos com Logo as tensões residuais são; que retornando elasticamente levam aos pts C’ e D’; (b) Precisamos da deformação residual (poderia ser em AC), para obter o deslocamento Logo; finalmente;

16  MUITO OBRIGADO PELA ATENÇÃO! – Bibliografia: – R. C. Hibbeler – Resistência dos materiais – 5º Edição.


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