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EDO de 2ª ordem Linear Cálculo 2 A – Turma H1 2014.1.

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1 EDO de 2ª ordem Linear Cálculo 2 A – Turma H

2 EDO de 2ª ordem linear Uma equação diferencial de segunda ordem tem a forma onde f é alguma função dada. A equação (1) é dita linear se a função f tem a forma Ou seja, onde p,q e g:(a,b)→IR. (1) (2)

3 Um P.V.I é constituido por (2) e uma par de condições y(t 0 )=y 0 e y’(t 0 )=y’ 0 onde y 0 e y 0 ’ são números dados. Uma equação linear de segunda ordem é dita homogênea se a função g(t) é igual a zero para todo t. EDO de 2ª ordem linear

4 EDO de 2ª ordem linear homogênea Então uma EDO 2ª ordem linear homogênea é da forma: y’’+p(t)y’+q(t)y=0 (3) Vamos estudar as soluções de (3) com as funções p e q constantes. Exemplo 1: Resolva a equação y” – y = 0. Temos neste caso p = 0 e q = - 1. Isto significa procurar uma função cuja derivada segunda é igual a ela mesma.

5 EDO de 2ª ordem linear homogênea Facilmente identificamos que y 1 (t) = e t e y 2 (t) = e -t servem. Também servem c 1 y 1 (t) = c 1 e t e c 2 y 2 (t) = c 2 e - t E mais y = c 1 y 1 (t)+c 2 y 2 (t) = c 1 e t + c 2 e –t, para c 1 e c 2 quaisquer.

6 Teorema: (Princípio da Superposição) Se y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0, então a combinação linear c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) também é solução, quaisquer que sejam os valores das constantes c 1 e c 2. EDO de 2ª ordem linear homogênea

7 Wronskiano Vamos verificar as condições para que uma solução da forma c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) satisfaça o P.V.I. y(t 0 )=y 0 e y’(t 0 )=y’ 0 (quadro)

8 O Wronskiano e a independência linear das soluções Definição: Duas funções y 1, y 2 :(a,b)→IR são L. D. se existe uma constante k tal que y 2 (t)=k y 1 (t). Duas funções y 1, y 2 :(a,b)→IR são L. I. se a condição c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t)=0 implicar que c 1 =c 2 =0. Teorema: Se y 1 e y 2 são soluções da equação diferencial y’’ + p(t) y’ + q(t) y = 0 num intervalo (a,b) e se W[y 1,y 2 ](t 0 )≠0 num ponto do intervalo então y 1 e y 2 são L. I. sobre (a,b). De outra forma, se y 1 e y 2 forem L. D. sobre (a,b) então W[y 1,y 2 ](t)=0 para todo t em (a,b).

9 Pode-se concluir que o espaço das soluções das EDO’s de 2ª ordem lineares homogêneas tem dimensão.... EDO de 2ª ordem linear homogênea

10 EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes Vamos reescrever (3) da seguinte forma: y’’+p y’+q y=0 (3’) Candidato a solução: y(t)=e λt. Vamos testar! Substituindo em (3’) obtemos λ 2 e λt +p λ e λt +q e λt =0 e λt (λ 2 +p λ+q)=0 Derivada de 2ª ordem Derivada de 1ª ordem Derivada de ordem zero (a própria função)

11 EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes Para que y(t)=e λt seja solução devemos λ 2 +p λ+q=0 (4) que é conhecida como equação característica auxiliar da EDO (3’). Como (4) é uma equação do 2º grau temos três possibilidades para suas raízes

12 EDO de 2ª ordem linear homogênea com coeficientes constantes Caso 1: (p 2 -4q>0) Duas raízes reais distintas: λ 1 e λ 2. Candidatos a solução: Calculando o Wronskiano dessas soluções temos que: Portanto as soluções y 1 e y 2 dadas são L.I. e neste caso a solução geral é da forma Exemplo: Encontre a solução geral da equação ordinária y’’ – 5y’ +6 y = 0.


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