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Instrumentação 5ª. aula. Características Dinâmicas Modelo Matemático generalizado de um sistema de medida O modelo matemático mais usado é a “Equação.

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1 Instrumentação 5ª. aula

2 Características Dinâmicas Modelo Matemático generalizado de um sistema de medida O modelo matemático mais usado é a “Equação diferencial linear ordinária com coeficientes constantes” Assume-se que a relação entre qq entrada q i e a saída q 0 pode, sob adequadas hipóteses simplificadoras, ser colocado na forma:

3 Modelo Matemático O modelo proposto é amplo pois uma eq. diferencial permite descrever qq. função. No entanto podemos usar uma simplificação mantendo a funcionalidade: Em que: q 0 é a variável para a qual se quer a solução q i é a variável independente, usualmente o tempo t (s) a n são os coeficientes e representam parâmetros do sistema ou relações entre eles. f(t) é a função que faz o sistema reagir e é denominada função perturbadora

4 Método clássico de solução da Equação diferencial Solução: q 0 = q p + q h Em que: q p = Solução particular ou regime permanente, depende da função perturbadora. q h = Solução homogênea ou transiente, não depende da função perturbadora e sempre pode ser encontrada. Estas soluções são encontradas de forma independente.

5 Solução transiente É a solução da equação: Fisicamente corresponde à reação livre do sistema quando recebe algum estímulo externo. A solução terá n constantes a determinar, e inicia- se pela solução da equação característica:

6 Solução transiente Polinômio de ordem n terá n raízes (r i, i=1,n) que podem ser reais ou complexas. Cada raiz real não repetida colabora com uma parcela da solução homogênea: Cada raiz real repetida p vezes, colabora com p parcelas da solução homogênea:

7 Solução transiente Cada par de raízes complexas, r ci = a ± b.i, não repetidas, colabora com uma parcela da solução homogênea: Em que C i e Φ são constantes a determinar, e b sempre positivo Cada par de raízes complexas repetidas p vezes, colabora com p parcelas da solução homogênea:

8 Solução transiente A solução transiente será a soma de todas as soluções parciais devidas a cada raiz obtida.

9 Solução de Regime Permanente Quando a função perturbadora tiver número finito de derivadas, por ex.: f(t) = 3x 2 + 5x + 4 D f(t) = 6x + 5 D 2 f(t) = 6 D 3 f(t) = 0 portanto 2 derivadas (finito) Ou f(t) = 3.sen(5 x) D f(t) = 15.cos(5 x) D 2 f(t) = -75.sen(5 x) portanto 1 derivada(finito)

10 Solução de Regime Permanente A solução particular será uma combinação linear da função perturbadora e suas derivadas. Do 1º exemplo: q p = A.x 2 + Bx + C Do 2º exemplo: q p = A.sen(5x) + B.cos(5x) Em que A, B, C etc. são constantes a determinar.

11 Exemplo Encontrar uma solução completa para um sistema sujeito às condições de contorno: t = 0  y = 0 t = 2  y = 10 Solução transiente: Raízes da equação característica: r 1 = 2 e r 2 = 3

12 Solução de regime permanente: f(t) = 3.t 3 ┐ Df(t) = 9.t 2 │ y p = At 3 + Bt 2 + Ct + D D 2 f(t) = 18.t │ D 3 f(t) = 18 ┘ Substituindo na equação completa:

13 Da igualdade de polinômios 6.A = A + 6.B = 0 6.A -10.B + 6.C = 0 2.B – 5.C + 6D = 0 e então: A = ½, B = 5/4, C = 19/12 e D = 65/72 então:

14 Solução Geral É a soma das duas soluções parciais obtidas: Os valores de C1 e C2 são obtidos pelas condições de contorno: t = 0  y = 0 C 1 + C 2 = -0, t = 2  y = 10 54,598 C ,429 C 2 = -3,06944 C 1 = -1,03526 C 2 = 0,1325

15 Solução

16 Sistema mecânico de medida de nível Verificar as características dinâmica de um sistema de medida de nível com bóia cilíndrica de área A b.

17 Hipóteses simplificadoras Amortecedor F am = - B. V Boia Força na bóia é a força de empuxo Fb = .A b.(h - x) Transdutor não oferece resistência

18 Equacionamento 2ª Lei de Newton F emp + F am = M b.a ou .A b.(h - x) - B. V = M b.a

19 Análise Como nosso sistema responde à variação do nível da água? Teste com entradas padrões Função degrau Função rampa Resposta de frequência (função senoidal)

20 Função degrau t < 0 h = h 0 t ≥ 0 h = h s x,h t hshs h0h0

21 Função t < 0 h = h 0 t ≥ 0 h s = h 0 + m.t x,h t h s = h 0 + m.t h0h0


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