LES0407 ESTATÍSTICA APLICADA II Prof. Dr. Vitor Ozaki.

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1 LES0407 ESTATÍSTICA APLICADA II Prof. Dr. Vitor Ozaki

2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Iniciaremos a aula sobre variáveis aleatórias discretas com o exemplo das duas extrações, sem reposição, de uma urna contendo duas bolas cinzas e três verdes. Definimos a variável aleatória v.a. X como sendo número de bolas verdes obtidas nas duas extrações.

3 2/5 3/5 1/4 3/4 2/4 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

4  Extrações sem reposição de uma urna com duas bolas cinzas e três verdes. ResultadosProbabilidadesX CC2/5 x 1/4 = 2/200 CV2/5 x 3/4 = 6/201 VC3/5 x 2/4 = 6/201 VV3/5 x 2/4 = 6/202 Total1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

5 Note que cada resultado do experimento está associado a um valor da v.a. X: 0, 1 ou 2; X = 0, com probabilidade 1/10, pois X = 0 ↔ CC; X = 1, com probabilidade 6/10, pois X = 1 ↔ CV ou VC; X = 2, com probabilidade 3/10, pois X = 2 ↔ VV; VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

6 Resumindo: –P(0) = P (X = 0) = P(CC) = 1/10; –P(1) = P (X = 1) = P(VC ou CV) = 6/10; –P(2) = P (X = 2) = P(VV) = 3/10; VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

7 A distribuição de probabilidades da v.a. X será: xP(x) 01/10 16/10 23/10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

8 Outro exemplo: Lançamento de uma moeda duas vezes: Seja a v.a. Y = número de caras obtidas nos dois lançamentos. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

9 P(0) = P(Y = 0) = P(CC) = 1/4; P(1) = P(Y = 1) = P(CK ou KC) = ¼ + ¼ = 1/2; P(2) = P(Y = 2) = P(KK) = 1/4; VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

10 Lançamento de duas moedas ResultadosProbabilidadesY CC¼2 CK¼1 KC¼1 KK¼0 Total1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

11 1/2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

12 A distribuição de probabilidades da v.a. Y será: xP(x) 0¼ 1½ 2¼ VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

13 Note que a cada ponto do espaço amostral, a variável em questão associa um valor numérico; Essa associação é chamada em Matemática de “função”; Mais precisamente, chamaremos por função de probabilidade a função definida no espaço amostral Ω e que assume valores reais; VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

14 Em outras palavras funções de probabilidade são funções que associam números reais aos eventos de um espaço amostral; –mapeiam o espaço amostral na reta real; VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

15 O uso de variáveis aleatórias equivale a descrever os resultados de um experimento aleatório por meio de números ao invés de palavras; –apresenta a vantagem de possibilitar melhor tratamento matemático; VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

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17 Ex. Um empresário pretende estabelecer uma firma para montagem de um produto composto de uma esfera e um cilindro para fins industriais. As partes são adquiridas em fábricas diferentes (F1 e F2) e a montagem consistirá em juntar as duas partes e pintá-las. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

18 O produto final deverá ter o comprimento (cilindro) e a espessura (esfera) dentro de certos limites, verificado após a montagem. Quer se verificar a viabilidade econômica desse projeto; Cada componente pode ser classificado como bom (B), longo (L) ou curto (C), com relação a medida padrão; VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

19 Ademais, o fabricante forneceu o preço de cada componente ($ 5,00) e as probabilidades de produção de cada componente com as características B, L e C. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

20 Distribuição da produção das fábricas 1 e 2. ProdutoF1 (cilindro)F2 (esfera) Dentro das especif. (B) 0,800,70 Maior que as especif. (L) 0,100,20 Menor que as especif. (C) 0,10 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

21 Caso o produto final apresente algum componente com as características C, ele será irrecuperável, e o conjunto será vendido como sucata por $ 5,00; Cada componente L será recuperado ao custo de adicional de $ 5,00; VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

22 Se o preço de venda de cada unidade for $ 25,00, qual será a distribuição de X: lucro por conjunto montado? Inicialmente, pensaremos no espaço amostral dos conjuntos de acordo com as características de cada componente e suas probabilidades; VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

23 Como os componentes vêm de fábricas diferentes, suporemos que a classificação dos cilindros e das esferas sejam independentes; A distribuição de probabilidade das possíveis composições das montagens será: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

24 Distribuição de probabilidade das possíveis composições das montagens (cilindro-esfera). ProdutoProbabilidadeLucro por montagem BB0,5615 BL0,1610 BC0,08-5 LB0,0710 LL0,025 LC0,01-5 CB0,07-5 CL0,02-5 CC0,01-5 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

25 Pela tabela nota-se que X pode assumir um dos seguintes valores: –15, se ocorrer o evento A 1 = {BB} –10, se ocorrer o evento A 2 = {BL, LB} –5, se ocorrer o evento A 3 = {LL} –- 5, se ocorrer o evento A 4 = {BC, LC, CB, CL, CC} Cada um dos eventos tem uma probabilidade associada; VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

26 As probabilidades são: –P(A 1 ) = 0,56; –P(A 2 ) = 0,23; (0,16 + 0,07) –P(A 3 ) = 0,02; –P(A 4 ) = 0,19; (0,08 + 0,01 + 0,07 + 0,02 + 0,01) Conhecendo as probabilidades é possível escrever a função (x, P(x)), que representa a distribuição de probabilidade da v.a. X VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

27 Distribuição da v.a. X. xP(x) 150,56 100,23 50,02 - 50,19 total1,00 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

28 Com respeito ao exemplo do empresário e sua fábrica de componentes agrícolas, uma pergunta imediata seria: qual o lucro médio (LM) por conjunto montado que ele espera conseguir? Pela tabela observamos que: LM = (0,56)(15) + (0,23)(10) + (0,02)(5) + (0,19)(-5) LM = 9,85. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

29 Definição: dada a v.a. discreta, assumindo valores x 1, x 2, …, x n, chamamos valor médio ou esperança matemática de X: Para simplificar a notação: P(X = x i ) = p i VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

30 Definição: dada a v.a. discreta, assumindo valores x 1, x 2, …, x n, chamamos de variância da v.a. X, o valor: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

31 Calcule a variância do exemplo anterior. V(X) = 57,23 DP(X) = 7,57 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

32 Dada a v.a. discreta X e a respectiva função de probabilidade p(x), a esperança matemática da função h(X) é dada por: E[h(X)] = ∑ h(x i )p(x i ) Ainda: E(aX + b) = aE(X) + b V(aX + b) = a 2 V(X) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

33 Outra forma de cálculo da variância é dada por: V(X) = E(X 2 ) – E 2 (X) Ex. Calcule a V(X) no exemplo do empresário. De forma geral, denotaremos E(X) por μ e V(X) por σ 2. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

34 Função de Distribuição Acumulada Definição: Dada a v.a. X, chamaremos de função de distribuição acumulada (f.d.a.), ou simplesmente, função de distribuição (f.d.) F(x) à função: F(x) = P(X ≤ x) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

35 Note que o domínio de F é todo o conjunto dos números reais, ao passo que o contradomínio é o intervalo [0,1]. Voltando ao exemplo do empresário e usando a função de probabilidade de X, a f.d.a. de X será dada por: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

36 xP(x) 150,56 100,23 50,02 - 50,19 total1,00 Figura 6.8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

37 Ex. 3.5 (ML, pg. 63): uma população de 1000 crianças foi analisada em um estudo para determinar a efetividade de uma vacina contra HPV; No estudo, as adolescentes recebiam as doses de vacina e, após um mês, passavam por um novo teste; VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

38 Caso ainda tivessem tido alguma reação alérgica, recebiam outra dose da vacina; Ao fim de 5 doses todas foram consideradas imunizadas. Os resultados completos estão mostrados abaixo: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS Doses12345 Freq.24528825614566

39 Supondo que uma adolescente dessa população é sorteada ao acaso, qual será a probabilidade dela ter recebido 2 doses? A função de probabilidade da variável aleatória “número de doses recebidas” é: Doses12345 pipi 0,2450,2880,2560,1450,066 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

40 A resposta da pregunta é: p 2 = 0,288. Suponha que agora desejemos calcular a probabilidade da criança ter recebido até duas vacinas. Note que o que precisamos saber é a função de distribuição no ponto 2, ou seja, calculamos a probabilidade acumulada de ocorrência de valores menores ou iguais a 2. Assim: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

41 F(2) = P(X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0,533 Observe que a variável só assume valores inteiros. Portanto, F(2) fica inalterado no intervalo [2,3). Ou seja, F(2,1), F(2,65) tem todos os mesmos valores. Por essa razão escrevemos: F(x) = P(X ≤ 2) = 0,533, para 2 ≤ x < 3. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

42 Os valores completos da função de distribuição são os seguintes: Figura 3.2 (ML, pg 65) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS

43 Exercícios: ex. 3.6 (ML, pg65) ex. 10, 11 (BM, pg 139) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS