Capítulo 2.

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1 Capítulo 2

2 Flambagem Primária

3 Flambagem Primária

4 Flambagem Secundária

5 Flambagem Secundária

6 O Método do Equilíbrio Neutro

7 A Coluna Simplesmente Apoiada - Hipóteses

8 A Coluna Simplesmente Apoiada
z, w P x P L P w My x

9 Coluna Simplesmente Apoiada - Solução
w My x

10 O Comportamento da Coluna de Euler
dmax Equilíbrio Estável Equilíbrio Instável Equilíbrio Neutro

11 Coluna Bi-Engastada P M0 w x L z , w -EIw”

12 Coluna Bi-Engastada - Solução
P M0 w x -EIw”

13 Coluna Equivalente de Euler

14 Coluna em Balanço L P x z, w d 2L Coluna Equivalente de Euler Pd

15 Coluna em Balanço - Solução
w P Pd EIw” x -EIw”

16 Coluna com Restrições Elásticas
q M P M / L z, w kq L x M = kqq

17 Coluna com Restrições Elásticas - Solução
P M / L w x -EIw”

18 Restrição Elástica – Casos Particulares

19 Coluna em Pórtico P L x z, w EI q M

20 Comprimento Efetivo

21 Coeficientes de Fixação
Restrições de Rotação nas Extremidades: Numa Extremidade Iguais, em Ambas as Extremidades

22 Coeficientes de Fixação
Restrições de Rotação Distintas nas Extremidades

23 Coluna Carregada Excentricamente

24 Coluna Carregada Excentricamente
Curva Carga-Deflexão para Coluna Carregada Excentricamente

25 Coluna com Forma Imperfeita

26 Coluna com Forma Imperfeita

27 Coluna com Forma Imperfeita
P/PE A1 A2 A3 0,0 0,4 0,8 0,9 0,95 1,0 0,667 4,00 9,50 20,0 0,111 0,25 0,29 0,33 0,047 0,08 0,11 0,12 0,13

28 Curva Carga-Deslocamento (Teoria Linear)

29 Forma Imperfeita – Teoria Não-Linear

30 Colunas Imperfeitas - Observações
1)       A posição reta é a única configuração de equilíbrio possível para colunas com imperfeições tendendo a zero, até que P = PE ; 2)       Em P = PE as deflexões, para a coluna com imperfeições tendendo a zero, crescem rapidamente até que as fibras do lado côncavo excedem o limite de proporcionalidade; 3)       Colunas com imperfeições usuais (relativamente pequenas) não fletem apreciavel-mente até que P se aproxime de PE. As deflexões crescem rapidamente à medida que P se aproxima de PE , seguindo de perto a curva para colunas com imperfeições tendendo a zero; 4)       As deformações que crescem rapidamente logo atingem a tensão de escoamento e a coluna prática (pequenas imperfeições) entra em colapso quando P  PE ; 5)       As deflexões no colapso são pequenas o suficiente para permitir o uso da teoria linear, na qual a curvatura é aproximada por d2w/dx2 ; 6)     Colunas de manufatura pobre, com imperfeições sensíveis, entram em colapso sob cargas sensivelmente menores do que a de Euler.

31 Colunas Imperfeitas - Conclusões
A coincidência física de que a capacidade última de absorção de carga de uma coluna com pequenas imperfeições, como aquelas manufaturadas para uso aeronáutico, pode ser prevista pela teoria linear para a coluna perfeita é afortunada. Significa que colunas que falham numa tensão média no regime elástico podem ser projetadas através da fórmula simples de Euler, não sendo necessária uma análise não-linear relativamente complicada. Um critério alternativo de estabilidade que pode ser enunciado como “a carga crítica é aquela sob a qual as deformações de um sistema levemente imperfeito tendem a infinito”. Desta forma, a carga crítica pode ser obtida através da análise linear de um sistema com qualquer tipo de imperfeição (deformação inicial, cargas excêntricas ou cargas laterais). Em placas e cascas a carga de colapso pode ser sensivelmente diferente daquela prevista pela análise da condição de equilíbrio neutro sob pequenas deformações.

32 Flambagem Inelástica de Colunas

33 Comportamento Mecânico de Materiais
Aço Doce Material Aeronáutico Típico

34 Curva Tensão-Deformação (Ligas Clad)

35 Propriedades dos Materiais - Definições
Fp Fy Fu e e ruptura 0,002 0,0001

36 Módulos de Elasticidade
f 1 E Es Et

37 Razão de Poisson D b/2 b f f L D L

38 Idealização de Material Aeronáutico Típico
Fpr eP f eE e

39 Representação por Funções de Três Parâmetros

40 Representação de Ramberg-Osgood
F0.85 E F0.7 f e 0.7E 0.85E

41 Teoria do Módulo Tangente
O devido cuidado deve ser tomado nos casos em que o comprimento efetivo depender do módulo: Et deve ser utilizado ao invés de E.

42 Módulo Tangente: Uso de Ramberg-Osgood

43 Uso do Modelo de Ramberg-Osgood
Função de

44 Flambagem Inelástica – Formulas Empíricas
Fórmula da Reta Parábola de Johnson

45 Exemplo 1

46 Exemplo 1 Cálculo de Ix: Considere inicialmente considerada um retângulo de dimensão 2,5” x 2,75” e subtraia as contribuições das porções (1) e (2): (no cálculo acima foram desprezados os momentos de inércia dos triângulos em torno de seus eixos centroidais)

47 Exemplo 1 Cálculo de Iy: Para falha em torno do eixo
Portanto, a falha é crítica para flexão em torno do eixo y, com L’/r = 41.

48 Exemplo 1 Caso 1: Fc=50,5 ksi, donde P = 220 kips Caso 2:
sujeitando este membro a uma temperatura de 600o F durante ½ hora reduz a sua resistência de 220 kips à 26,7 kips, o que significa que a liga de alumínio é um material muito pobre para suportar cargas sob tais temperaturas, uma vez que a redução em resistência é muito grande.