A probabilidade de X tomar um dado valor é zero. Calcula-se a probabilidade de X estar dentro de um intervalo. Função de densidade 1. f(x) ≥ 0 +  2. 

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1 A probabilidade de X tomar um dado valor é zero. Calcula-se a probabilidade de X estar dentro de um intervalo. Função de densidade 1. f(x) ≥ 0 +  2.  f(x) dx = 1 -   b P(a < X < b) =  f(x) dx a Função de distribuição x F(x) = P(X < x) = P(-  < X < x) =  f(u)du -  dF(x)/dx = f(x) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

2 Independência Duas variáveis aleatórias contínuas X e Y são independentes se os acontecimentos X ≤ x e Y ≤ y são independentes. F(x, y) = F 1 (x). F 2 (y) ESPERANÇA MATEMÁTICA +  E(X) =  x. f(x) dx -  VARIÂNCIA +  E[(X-  ) 2 ] =  (x-  ) 2. f(x) dx -  COVARIÂNCIA +  +  Cov (X, Y) =   (x-  x )(y-  y ) f(x,y) d x d y -  -  VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

3 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL X  n ( ,  ) - X é uma variável aleatória normal com média  e desvio padrão . Função densidade de probabilidade f(x) = f(x, ,  ) = __ = 1/(  √2  ). e -1/2[(x-  )/  2 para:-  0 E (X) =  Var (X) =  2 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

4 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

5 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

6 A DISTRIBUIÇÃO NORMAL Para o cálculo de probabilidades as distribuições normais são transformadas na normal-padrão, que se encontra tabelada. X tem distribuição normal, então Z tem uma distribuição normal padrão: X –  Z = ———  n (  )  Função densidade de probabilidade __  (z) = 1/√2 . e -z 2 /2 Função de distribuição  (z) = P(Z ≤ z) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

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8 A distribuição normal como aproximação da distribuição binomial SeX  b (x; n; p) com n  e p próximo de 0,5 Na prática n > 20e0,1 < p < 0,9 Então ___ X  n (  np;  √npq ) ___ (X - np)/√npq  n (0; 1) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

9 A distribuição normal como aproximação da distribuição de Poisson Se X  p (x, ) Com  Na prática  > 20 Então _ X  n (  ;  √ ) _ (X - ) / √  n (0, 1) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

10 Aproximação da distribuição binomial à Poisson A distribuição binomial converge para a distribuição de Poisson, quando: n  e p  mantendo-se = np constante. Na prática: n > 20 ep ≤ 0,05 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

11 Coeficiente de assimetria Terceiro momento em relação à média: _ k 3 = n.  (X i - X) 3 ] / [(n-1)(n-2)] g 1 = k 3 / s 3 Simétrica g 1 = 0 Assimétrica à esquerda g 1 < 0 Assimétrica à direita g 1 > 0 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

12 Assimetria Normal típica Bimodal g1>0; Assimétrica à direita g1>0; Assimétrica à esquerda

13 Coeficiente de achatamento (curtose) k 4 = _ {n  (X i - X) 4. n(n+1)(n-1)] - 3 [  (X i - X) 2 ] 2 } / [(n-3)(n-2)] g 2 = k 4 / s 4 Mesocúrtica g 2 = 0 Platicúrtica g 2 < 0 Leptocúrtica g 2 > 0 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS

14 Achatamento Mesocúrtica Platicúrtica g2<0 Leptocúrtica g2>0