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Eleições em Portugal. Método de Hondt Apura-se o número de votos recebidos por cada lista, no círculo eleitoral respectivo; Apura-se o número de votos.

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1 Eleições em Portugal

2 Método de Hondt Apura-se o número de votos recebidos por cada lista, no círculo eleitoral respectivo; Apura-se o número de votos recebidos por cada lista, no círculo eleitoral respectivo; O número de votos respectivos são divididos, sucessivamente, por 1, 2, 3, etc., sendo os quocientes alinhados por ordem decrescente de grandeza numa série com tantos membros quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo; O número de votos respectivos são divididos, sucessivamente, por 1, 2, 3, etc., sendo os quocientes alinhados por ordem decrescente de grandeza numa série com tantos membros quantos os mandatos atribuídos ao círculo eleitoral respectivo;

3 Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada lista tantos mandatos quantos os seus termos na série; Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da série estabelecida pela regra anterior, recebendo cada lista tantos mandatos quantos os seus termos na série; No caso de restar um só mandato para distribuir, e dos termos seguintes da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato caberá à lista que tiver obtido menos votos. No caso de restar um só mandato para distribuir, e dos termos seguintes da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato caberá à lista que tiver obtido menos votos.

4 Exemplo No distrito de Leiria existem dez mandatos a atribuir. Nas últimas eleições legislativas registou-se a seguinte distribuição de votos:ListaVotosPSD PS70384 CDSCDSCDSCDS23482 PCP9810

5 Apliquemos o método de Hondt: DivisoresPSDPS CDSCDSCDSCDSPCP ,37827, , ,52452, ,84696, ,73913, ,7

6 Distribuição de mandatos: ListasMandatos PSD6 PS3 CDSCDSCDSCDS1 PCP0

7 Sistemas de Votação Ponderada

8 Numa sociedade diversificada os eleitores, sejam eles indivíduos ou instituições, não são iguais e é por vezes recomendável reconhecer as suas diferenças, atribuindo diferentes pesos a cada um dos seus votos. A todo método no qual os eleitores não estejam em igualdade, em termos dos votos que controlam, dá-se o nome de sistema de votação ponderada.

9 Questão: Dado um eleitor com determinado número de votos, que poder detém sobre a eleição ? A resposta a esta pergunta baseia-se em ideias matemáticas que vamos abordar de seguida. Iremos abordar o caso em que a votação apenas incide sobre duas alternativas ou candidatos - moção.

10 Terminologia Todo o sistema de votação ponderada é caracterizado por três elementos: Jogadores ( P 1, P 2, …, P N ); Jogadores ( P 1, P 2, …, P N ); Pesos dos jogadores ( w 1, w 2, …, w N ); Pesos dos jogadores ( w 1, w 2, …, w N ); Quota (q). Quota (q). N – número de participantes

11 Quota: Número mínimo de votos necessário para aprovar uma moção. Qualquer número superior a metade da totalidade dos votos é um valor aceitável para o valor da quota. Formalmente:

12 Notação: Uma forma conveniente de descrever um sistema de votação ponderada é, [ q : w 1, w 2, …, w N ] a quota surge em primeiro lugar seguida dos pesos dos participantes.

13 Exemplos: Consideremos uma corporação com quatro elementos, com a distribuição de votos da tabela. Consideremos uma corporação com quatro elementos, com a distribuição de votos da tabela. São necessários 14 votos para aprovar uma moção. São necessários 14 votos para aprovar uma moção. [ 14 : 8, 6, 5, 1 ] MembrosVotos P1P1P1P18 P2P2P2P26 P3P3P3P35 P4P4P4P41

14 Seja [ 11: 12, 5, 4 ] um sistema de votação ponderada. Neste caso o jogador P1 controla um número suficiente de votos para aprovar qualquer moção. Seja [ 11: 12, 5, 4 ] um sistema de votação ponderada. Neste caso o jogador P1 controla um número suficiente de votos para aprovar qualquer moção. A um jogador que detenha um número de votos igual ou superior ao valor da quota chamamos ditador.

15 1 No sistema de votação ponderada [ 12: 9, 5, 4, 2] o jogador P 1 não é um ditador mas pode impedir uma moção de ser aprovada. No sistema de votação ponderada [ 12: 9, 5, 4, 2] o jogador P 1 não é um ditador mas pode impedir uma moção de ser aprovada. Nestas condições dizemos que um jogador tem poder de veto.

16 Analisemos o sistema de votação ponderada [ 101 : 99, 98, 3 ]. À primeira vista parece que os participantes P 1 e P 2 têm muito poder em relação ao P 3. Contudo só é possível aprovar uma moção com dois participantes a favor. Mais, quaisquer dois participantes juntos têm uma coligação vencedora!! Vamos então introduzir a primeira interpretação matemática de poder nos sistemas de votação ponderada para estudar o poder de cada jogador do exemplo anterior.

17 Índice de Poder Banzhaf Chama-se a todo o conjunto de jogadores, que unam forças para votar em conjunto, coligação. Ao número total de votos controlado por uma coligação chamamos peso da coligação. Às coligações que reúnam um número suficiente de votos para aprovar uma moção chamamos coligações vencedoras. A uma coligação formada por todos os elementos chama-se a grande coligação. A um jogador cuja deserção de uma coligação vencedora a transforme numa coligação perdedora chamamos jogador crítico.

18 Determinação do índice de Poder Banzhaf de um jogador: Passo 1 – Fazer a lista de todas as coligações possíveis. Passo 1 – Fazer a lista de todas as coligações possíveis. Coligações {P 1 } {P 2 } {P 3 } {P 1, P 2 } {P 1, P 3 } {P 2, P 3 } {P 1, P 2, P 3 }

19 Passo 2 – Determinar as coligações vencedoras Passo 2 – Determinar as coligações vencedoras Coligação Peso da coligação Ganha ou perde {P 1 } 99Perde {P 2 } 98Perde {P 3 } 3Perde {P 1, P 2 } 197Ganha {P 1, P 3 } 102Ganha {P 2, P 3 } 101Ganha {P 1, P 2, P 3 } 200Ganha

20 Passo 3 – Em cada coligação coligação identificar os participantes críticos. Passo 3 – Em cada coligação coligação identificar os participantes críticos. Coligação Peso da coligação Ganha ou perde {P 1 } 99Perde {P 2 } 98Perde {P 3 } 3Perde {P 1, P 2 } 197Ganha {P 1, P 3 } 102Ganha {P2, P3}{P2, P3}{P2, P3}{P2, P3}101Ganha {P 1, P 2, P 3 } 200Ganha

21 Passo 4 – Contar o número de vezes que um jogador é crítico ( B N ). Passo 4 – Contar o número de vezes que um jogador é crítico ( B N ). P 1 – é critico duas vezes B 1 =2 P 2 – é crítico duas vezes B 2 =2 P 3 – é crítico duas vezes B 3 =2

22 Passo 5 – Contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos ( T ). Passo 5 – Contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos ( T ).T=6 O índice de poder de P N é dado por B N /T. P 1 : 2/6 33,(3)%Distribuição P 2 : 2/6 33,(3)% de Poder P 3 : 2/6 33,(3)%Banzhaf

23 Exemplo: No que toca à contratação de jogadores a equipa do Hoquei de Barcelos tem a seguinte distribuição de votos: JogadoresPeso dos Jogadores Treinador4 Presidente3 Treinador Adjunto 2 Equipa Médica 1

24 São necessários 6 votos para contratar um jogador (q = 6). Estamos então na presença de um sistema de votação ponderada [ 6: 4, 3, 2, 1 ]. Vamos então encontrar a distribuição de poder Banzhaf deste sistema de votação ponderada.

25 Coligações:

26 Distribuição de Poder Banzhaf: Treinador : 5/12 41,(6)% Presidente : 3/12 25% T. Adjunto : 3/12 25% Eq. Médica : 1/12 8,(3)%

27 O ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK

28 Coligação Sequencial: Coligação Sequencial: começa com um jogador, que se pode aliar a um segundo, seguidamente a um terceiro e assim sucessivamente. começa com um jogador, que se pode aliar a um segundo, seguidamente a um terceiro e assim sucessivamente. Será que a ordem interessa? Será que a ordem interessa? Vejamos que sim. {P 1, P 2, P 3 } P 1, P 2 e P 3 juntaram-se e vão votar juntos P 1, P 2, P 3 P 1 iniciou a coligação à qual se juntou P 2 e por ultimo P 3 P 1, P 3, P 2 P 2, P 1, P 3 P 2, P 3, P 1 P 3, P 1, P 2 P 3, P 2, P 1 Notação: indica que a coligação é sequencial Notação: indica que a coligação é sequencial Coligações Sequenciais com 3 jogadores

29 Com 3 jogadores temos 3! Coligações Sequenciais O que acontecerá se tivermos 4 jogadores? Teremos 4! Coligações Sequenciais.... Com N jogadores teremos N! Coligações Sequenciais. J Jogador Pivotal

30 O Jogador Pivotal Coligação Sequencial GANHA PERDE … 1º2º…PivotalRestantes

31 Cálculo do Índice de Poder de Shapley-Shubik para o Jogador P Passo 1: Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais contendo N jogadores. Há N! destas coligações. Passo 1: Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais contendo N jogadores. Há N! destas coligações. Passo 2: Em cada coligação sequencial determinar o jogador pivotal. Há um em cada coligação sequencial. Passo 2: Em cada coligação sequencial determinar o jogador pivotal. Há um em cada coligação sequencial.

32 Passo 3: Contar o número total de vezes em que P é jogador pivotal e denominar esse número por S. Passo 3: Contar o número total de vezes em que P é jogador pivotal e denominar esse número por S. O Índice de Poder de Shapley-Shubik do Jogador P é dado pela fracção

33 Exemplo Dias & Filhos é uma empresa familiar. Três gerações de Dias (Afonso I, Afonso II, Afonso III) estão envolvidas na sua gerência. No que toca a decisões, o Afonso I tem três votos, o Afonso II tem dois votos e o Afonso III um voto. Uma maioria de quatro votos é necessária para aprovar uma moção. Como está distribuído o poder pelas três gerações? Dias & Filhos é uma empresa familiar. Três gerações de Dias (Afonso I, Afonso II, Afonso III) estão envolvidas na sua gerência. No que toca a decisões, o Afonso I tem três votos, o Afonso II tem dois votos e o Afonso III um voto. Uma maioria de quatro votos é necessária para aprovar uma moção. Como está distribuído o poder pelas três gerações?

34 Cálculo do Índice de Poder de Shapley – Shubik Passo1: Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais contendo N jogadores. Há N! destas coligações. Passo1: Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais contendo N jogadores. Há N! destas coligações. Passo1: Há 3! =6 coligações sequenciais.

35 Passo 2: Passo 2: Em cada coligação sequencial determinar o Jogador Pivotal. Coligação Sequencial Jogador Pivotal A 1, A 2, A 3 A2A2 A 1, A 3, A 2 A3A3 A 2, A 1, A 3 A1A1 A 2, A 3, A 1 A1A1 A 3, A 1, A 2 A1A1 A 3, A 2, A 1 A1A1 Passo 2: Passo 2:

36 A distribuição de Poder de Shapley-Shubik é: A 1 : 4/6 66,(6)% A 2 : 1/6 16(6)% A 3 : 1/6 16(6)% A distribuição de Poder de Shapley-Shubik é: A 1 : 4/6 66,(6)% A 2 : 1/6 16(6)% A 3 : 1/6 16(6)% Passo 3: Passo 3: Contar o número de vezes em que o jogador P é pivotal e denominar esse número por S. Passo 3: A 1 é pivotal 4 vezes A 2 é pivotal 1 vez A 3 é pivotal 1 vez

37 Retomar o exemplo do Hoquei de Barcelos Temos 4 jogadores, logo 4! Coligações sequenciais

38 Distribuição de poder de Shapley-Shubik Jogador Nº de vezes que é Pivotal T10 P6 TA6 EM2 A distribuição de poder é: Treinador : 10/24( 41,(6)%) Presidente : 6/24 (25%) T. Adjunto : 6/24 (25%) Eq. Médica : 2/24 (8,(3)%)

39 Legislativas 2002

40 Legislativas 2002 Legislativas 2002 Quem saiu vencedor Quem saiu vencedor foi a coligação PSD/CDS. foi a coligação PSD/CDS. Qual o índice de poder de cada partido segundo Banzhaf e Shapley-Shubik? Qual o índice de poder de cada partido segundo Banzhaf e Shapley-Shubik?

41 QUADRO DE RESULTADOS partidosvotos%mandatos PPD/PSD ,15102 PS ,8495 CDS-PP ,7514 PCP-PEV ,9712 B.E ,753 Total226

42 Analise do poder de cada partido segundo Banzhaf [114: 102, 95, 14, 12, 3] Shapley - Shubik Há 5!= 120 coligações sequenciais

43 Contagem Partidos Nº de vezes que é pivotal PSD60 PS20 CDS20 PCP20 BE0Partidos Nº de vezes que é crítico PSD11 PS4 CDS4 PCP4 BE0 Banzhaf Shapley-Shubik

44 Distribuição de Poder BANZHAF PSD:11/23 47, 8 % PS: 4/23 17, 4 % PP: 4/23 17, 4 % PCP: 4/23 17, 4 % BE: 0 % SHAPLEY-SHUBIK PSD:60/ % PS:20/120 16, (6) % PP:20/120 16, (6) % PCP:20/120 16, (6) % BE:0 %

45 ComparaçãoPartidosBanzhafShapley-Shubik PSD47,8%50% PS17,4% 16, (6)% CDS17,4% PCP17,4% BE0%0%

46 Conclusão Índice de Poder de Banzhaf Shapley-Shubik Qual estará mais perto da realidade? Segundo Banzhaf um jogador entra e sai quando quer. Segundo Shapley-Shubik um jogador entra na coligação para assumir um compromisso de permanência.

47 Na prática a escolha do método é baseada na análise da informação que melhor se adequa às características da situação. Na prática a escolha do método é baseada na análise da informação que melhor se adequa às características da situação. No último exemplo torna-se muito mais fácil a aplicação do índice de poder de Banzhaf do que o de Shapley-Shubik. No último exemplo torna-se muito mais fácil a aplicação do índice de poder de Banzhaf do que o de Shapley-Shubik.


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