Tecnologias - Matemática Semelhança de triângulos

Apresentação em tema: "Tecnologias - Matemática Semelhança de triângulos"— Transcrição da apresentação:

1 Tecnologias - Matemática Semelhança de triângulos
Matemática e suas Tecnologias - Matemática Ensino Médio, 2° Ano Semelhança de triângulos

2 Os triângulos e suas aplicações no cotidiano
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Os triângulos e suas aplicações no cotidiano Você já parou para imaginar como seria a nossa vida sem as formas triangulares? ? ? ? ? ? Já se perguntou sobre as utilidades delas para o mundo do trabalho ou já observou, nos espaços que você frequenta, onde estas formas estão presentes?

3 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos O conhecimento sobre triângulos é fundamental para diversos ramos das ciências e o domínio de suas propriedades é elemento essencial para entender suas utilidades. Como você pode notar, é comum encontrar vários exemplos práticos do cotidiano, no qual estas formas peculiares estão presentes. Imagem: Ottre / Domínio Público Imagem: John Fielding / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic Imagem: 1sttimeright / GNU Free Documentation License

4 É fácil enxergar as formas triangulares a nossa volta. Veja:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos É fácil enxergar as formas triangulares a nossa volta. Veja: Imagem: Timeroot / GNU Free Documentation License Imagem: Werewombat / GNU Free Documentation License Imagem: Sh Sharayan / Walters Art Museum / GNU Free Documentation License

5 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos
Imagem: Erik Christensen / GNU Free Documentation License Imagem: Qurren / GNU Free Documentation License Imagem: Matteo / Creative Commons Attribution 2.0 Generic

6 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos Tipos de triângulos É importante lembrar também que um triângulo pode ser classificado “simultaneamente”, de acordo com seus lados e ângulos.

7 Quanto aos lados, os triângulos podem ser classificados em:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Quanto aos lados, os triângulos podem ser classificados em: Triângulo equilátero: Quando possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais. Imagem: Img / GNU Free Documentation License Observação: Um triângulo equilátero é também um triângulo equitângulo, ou seja, possui ângulos congruentes.

8 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos Triângulo isósceles: Quando possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes. Imagem: Darsie / GNU Free Documentation License Observações: • O triângulo equilátero é também um caso especial de um triângulo isósceles, porque apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos que medem todos 60º; • num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.

9 Quando possui as medidas dos três lados diferentes.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Triângulo Escaleno: Imagem: Img / GNU Free Documentation License Quando possui as medidas dos três lados diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

10 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos É importante lembrar também que, quanto aos ângulos, os triângulos podem ser classificados em: Triângulo retângulo: Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa Imagem: E2m / Domínio Público

11 Triângulo obtusângulo:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Triângulo obtusângulo: Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso (maior que 90º) e dois ângulos agudos (menores que 90º). Imagem: E2m / GNU Free Documentation License

12 Triângulo acutângulo:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Triângulo acutângulo: Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos (formando 180°). Imagem: Darsie / GNU Free Documentation License

13 Congruência e semelhança
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Congruência e semelhança Observe as figuras abaixo: Fig.A Fig.B As figuras acima são congruentes, pois possuem mesma forma e lados correspondentes com medidas iguais, o que leva a deduzir que os ângulos correspondentes também possuem medidas iguais. Y α β 4,5m 6,2m 4,5m 6,2m 6m 6m

14 Agora observe as seguintes figuras:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Agora observe as seguintes figuras: Fig. A Fig. B Y α β 4,5m 6,2m Y α β 13,5m 18,6m 6m Note que os lados correspondentes dos triângulos A e B são proporcionais, pois as razões entre as medidas dos mesmos são iguais, ou seja: 13,5 = = ,6 = 3 4, ,2 18m Concluímos, então, que as figuras A e B são semelhantes, pois seus ângulos correspondes possuem medidas iguais e todos os seus lados são proporcionais.

15 Como reconhecer triângulos semelhantes?
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Como reconhecer triângulos semelhantes? Para saber se dois triângulos são semelhantes, basta observar se eles obedecem a um dos seguintes casos:

16 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos 1º CASO: ÂNGULO/ÂNGULO “Dois triângulos são semelhantes quando dois ângulos que se correspondem são respectivamente congruentes.” B ^ ^ ABC ~ PQR ^ ^ Q A C P R

17 2º CASO: LADO/ÂNGULO/LADO
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 2º CASO: LADO/ÂNGULO/LADO “Dois triângulos são semelhantes quando dois lados que se correspondem são proporcionais e quando os ângulos determinados por estes lados são congruentes.” B Q ^ ^ ABC ~ PQR A C P R

18 3º CASO: Relação LADO/LADO/LADO
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 3º CASO: Relação LADO/LADO/LADO “Dois triângulos são semelhantes quando os três lados que se correspondem são proporcionais.” B Q ABC ~ PQR A P C R

19 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos Teorema de Tales: Cortando-se um feixe de retas paralelas por duas retas transversais, os segmentos determinados sobre uma transversal são proporcionais aos correspondentes determinados sobre a outra. Observe a situação abaixo: Analisando a figura ao lado pelo teorema mencionado acima, conclui-se que: Ou também que:

20 Desafio: MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos
As redes de água e esgoto da Rua do Funil, na cidade de Tacaratu/PE, estão distribuídas conforme mostra a figura abaixo: Se as linhas azuis (transversais) representam passarelas para pedestres, paralelas entre si, e as linhas pontilhadas representam as tubulações de esgoto e água,respectivamente, qual das duas redes é a maior? Calçada Início da rua x 250m Esgoto/Água 200m 300m Calçada Fim da rua

21 Pelo Teorema de Tales, deduzimos que:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Pelo Teorema de Tales, deduzimos que: 200 = 250 X 200 . X = 200 X = X = 200 X = 375 metros A rede de água mede 500 metros, pois: = 500 Já a rede de esgoto mede 625 metros, porque: = 625 Resposta: a rede de esgoto, pois, mede 125 metros a mais que a rede de água.

22 Segmentos proporcionais determinados num triângulo
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Segmentos proporcionais determinados num triângulo 1º Caso: Uma reta paralela a um dos lados de um triângulo, de modo que intercepte os outros dois lados em pontos distintos, determina, nesses dois lados, segmentos proporcionais. Sendo assim: B r//AC BP, PA, BQ E QC são proporcionais. Q P r C A

23 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos 2º Caso: a bissetriz de um ângulo interno de um triângulo determina, no lado oposto a este ângulo, dois segmentos proporcionais aos outros dois lados deste triângulo. Desta forma: B BD é bissetriz AD, DC, AB E BC são proporcionais. x x A D C

24 Vamos ver como estas propriedades funcionam:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Vamos ver como estas propriedades funcionam: 1°) Sabendo que no triângulo abaixo r//AC, calcule o valor de X. B Solução: x 3cm Q P r 12cm 9cm C A

25 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos
2°) Sabendo que BD é bissetriz do ângulo B do triângulo abaixo, determine a medida do segmento DC B Solução: 5cm 6cm A D C 3cm X

26 Relações métricas no triângulo retângulo:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Relações métricas no triângulo retângulo: Imagem: E2m / Domínio Público Em um triângulo qualquer: a2 = b2 + c2 b2 = ma c2 = na h2 = mn ah = bc a = m + n

27 Sendo assim, por semelhança de triângulos, temos:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Note que, do triângulo anterior, derivam dois outros triângulos que determinam as relações métricas: A A’ A’’ c b b c h h h n m m n C D B a B C C D Sendo assim, por semelhança de triângulos, temos: b2 = ma h2 = mn Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 c2 = na ah = bc

28 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos Conhecendo apenas duas medidas no triângulo retângulo, é possível descobrir as outras quatro aplicando as relações métricas vistas anteriormente. Veja: Exemplo: Use as relações métricas do triângulo retângulo para encontrar as medidas desconhecidas da figura abaixo: A b2 = ma a = m + n c 12m 122 = 9,6a 15 = 9,6 + n h a = 144/9,6 n = ,6 n 9,6m a = 15m n = 5,4m C D B a c2 = na h2 = mn Note que todas as medidas desconhecidas foram encontradas por meio das relações métricas demonstradas anteriormente. c2 = 15.5,4 h2 = 9,6.5.4 c2 = 81 c2 = 9m h2 = 7,2n

29 Agora use o que você aprendeu para resolver os seguintes desafios:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Agora use o que você aprendeu para resolver os seguintes desafios: 1º) Um prédio projeta uma sombra de 41,25m de comprimento no mesmo instante em que Juliana, que tem 1,8m de altura, projeta uma sombra de 6,75m. Qual é a altura do prédio? 2º)Uma determinada firma imobiliária resolveu lotear um terreno em 4 outros menores com duas frentes: uma para a rua 1 e outra para rua 2, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se que as divisões laterais são perpendiculares à rua 1 e que a frente total para a rua 2 é de 480m, qual a medida da frente de cada lote, para a rua 2, respectivamente? a) 40m; 80m; 120m; 160m b) 45m; 85m; 125m; 165m c) 48m; 96m; 144m; 192m d) 55m; 95m; 135m; 175m e) 60m; 100m; 140m; 180m Rua 2 30m 60m 90m 120m Rua 1

30 . MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos
3º) (UFR-RJ) Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas. A diferença de x- y é: A) 2 B) 4 C) 6 D) 10 E) 12 r 8 x s 6 y t . 4º) Na figura a seguir, AB || CD então x e y valem, respectivamente: 25cm e 13 cm 4/3 e 16/3 20 cm e 12 cm 40cm e 24 cm 40 cm e 28 cm F 24 cm 32 cm B X A 18 cm y C D 70 cm

31 SOLUÇÕES DOS DESAFIOS:
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos SOLUÇÕES DOS DESAFIOS: 1º) solução: Utilizando Hp para indicar a altura do prédio, Sp para indicar a sombra projetada pelo prédio, Hj para a altura de Juliana e Sj para indicar a sombra projetada pela mesma, temos: Lembre-se de que os raio de sol se propagam na Terra por linhas paralelas, o que faz com que a altura do prédio seja proporcional à sua sombra, assim como a Altura de Juliana é proporcional à sombra projetada pela mesma. Sp = 41,25m Hp = x Hj = 1,8m Sj = 6,75m Sendo assim, conclui-se que a altura do prédio é de 11 metros.

32 2º) solução: MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos 2º) solução: Marcando as medidas a serem conhecidas Note que o comprimento da rua 1 Na figura é R1= R1 = 300m Rua 2 w Aplicando o Teorema de Tales: z y x 30m 60m 90m 120m Rua 1 Pela proporção, conclui-se que: y= 2x = 96m z = 3x = 144m e w = 4x = 192m Portanto, a alternativa correta é a letra C.

33 3º) solução: Alternativa C. MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos 3º) solução: r Se temos x+y = 42 e 8+16 = 14, Aplicando o Teorema de Tales teremos: 8 x s 6 y t Alternativa C.

34 Portanto, a alternativa correta é a letra D.
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 4º) solução: F Note que que na figura os triângulos ABF e CDF são semelhantes e que FC = 42 cm, Desta forma: 24 cm 32 cm B X A 18 cm y C D 70 cm Portanto, a alternativa correta é a letra D.

35 EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES 1º) Calcule o valor de cada uma das variáveis dos casos de semelhança de triângulos propostos a seguir: 6cm Y 3cm 4cm X 5cm

36 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio
Semelhança de triângulos Os triângulos anteriores podem ser definidos como semelhantes a partir da relação: ÂNGULO/ ÂNGULO

37 B) MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos 5 3 Y X
9 12

38 MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos

39 Mantenha o foco nos estudos e boa sorte!
MATEMÁTICA, 2º Ano do Ensino Médio Semelhança de triângulos Como você pôde notar, há várias situações problema do cotidiano que podem ser resolvidas a partir do conhecimento de algumas propriedades dos triângulos. Agora que você já está “fera” nesse assunto, é hora de pesquisar nos livros outros exercícios para treinar o aprendeu e se dar bem no vestibular. Mantenha o foco nos estudos e boa sorte!

40 Tabela de Imagens n° do slide
direito da imagem como está ao lado da foto link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso 3a Ottre / Domínio Público 17/09/2012 3b John Fielding / Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 Generic 3c 1sttimeright / GNU Free Documentation License 4a Timeroot / GNU Free Documentation License 4b Werewombat / GNU Free Documentation License 4c Sh Sharayan / Walters Art Museum / GNU Free Documentation License 5a Erik Christensen / GNU Free Documentation License 5b Qurren / GNU Free Documentation License 5c Matteo / Creative Commons Attribution 2.0 Generic

41 Tabela de Imagens n° do slide
direito da imagem como está ao lado da foto link do site onde se consegiu a informação Data do Acesso 7 Img / GNU Free Documentation License 17/09/2012 8 Darsie / GNU Free Documentation License 9 10 E2m / Domínio Público 11 E2m / GNU Free Documentation License 12 26 18/09/2012