Estatística Aula 16 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves

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1 Estatística Aula 16 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 16 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

2 Aula 17 Distribuição Uniforme Distribuição Normal Aplicações

3 Distribuição Contínua de Probabilidade
Revisão A área (isto é, a integral) sob a função de densidade de probabilidade em um determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse intervalo

4 Esperança de uma v.a. contínua
v.a. discreta  Para uma variável aleatória contínua

5 Variância e Desvio Padrão de uma v.a. Contínua
- v.a. discreta Para uma variável aleatória contínua

6 Distribuição Uniforme
Definição 1 2 … n f(x) área = 1 Sempre positiva Área abaixo da curva exatamente igual a 1

7 Distribuição Uniforme
Definição A área sob a curva e acima de qualquer intervalo de valores é a probabilidade (proporção) de todas as observações que se enquadram naquele intervalo. 0 caso contrário a b f(x) área =

8 Distribuição Uniforme
Demonstração f(x) X ? X = [a, b]  a  X  b h a b f(x) = ? 1 (área do retângulo)

9 Distribuição Uniforme
Esperança e Variância f(x) X 1/(b - a) X = [a, b]  a  X  b a b

10 Distribuição Uniforme
Esperança e Variância f(x) X X = [a, b]  a  X  b 1/(b - a) a b continua ...

11 Distribuição Uniforme
Esperança e Variância f(x) X 1/(b - a) X = [a, b]  a  X  b a b

12 Distribuição Uniforme
Esperança e Variância f(x) X 1/(b - a) a b a  X  b

13 Distribuição Normal (Gaussiana)
Introdução A Distribuição Normal é o modelo mais usado para expressar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória Esta distribuição também é conhecida como Curva de Gauss, e apresenta um gráfico em forma de sino, com média  determinando o centro da função e com desvio padrão  determinando a largura da função

14 Distribuição Normal (Gaussiana)
É a mais usada e mais famosa distribuição de probabilidade para v.a. contínuas Uma Distribuição de frequência pode ter o seguinte formato Gráfico simétrico em relação à: média, mediana,.... ocorrendo isto, provavelmente os dados de origem se comportam segundo a distribuição normal

15 Parâmetros da distribuição
Distribuição Normal (Gaussiana) Parâmetros da distribuição   média da população  desvio padrão da população Notação: X ~ N (  ; 2 ) ~ significa segue  X ~ significa que a v.a. segue uma distribuição ...

16 Distribuição Normal (Gaussiana)
média Desvio padrão Equação: f(x) X   -   x  

17 Distribuição Normal (Gaussiana)
Propriedades da curva normal suave, unimodal e simétrica em relação à média b) aproxima-se do eixo das abscissas à medida que x se afasta da média  curva muda a concavidade nos pontos m – s e m + s c) a área total sob a curva representa 100% de probabilidade d) por causa da simetria, à esquerda da média 50% e à direita da média também 50% média Também a moda e a mediana

18 Distribuição Normal Médias diferentes e desvios padrão iguais
Médias iguais e desvios padrão diferentes

19 Distribuição Normal Como calcularemos probabilidades?
média m = 100 e desvio padrão s = 50 X ~ N (100, 502) A probabilidade entre 150 e 200

20 Distribuição Normal Toda vez que um no estiver Afastado da média
1s  área corresponde a 68,26% da área total O mesmo raciocínio para: 2s  95,5%, 2,575s  99% ...

21 Distribuição Normal z vezes o desvio padrão Para direita Para esquerda
P(µ-σ < X < µ-σ ) = 0,6826 P(µ-2σ < X < µ-2σ ) = 0,9545 P(µ-3σ < X < µ-3σ ) = 0,9973

22 Distribuição Normal Exemplo 1
Se a distribuição do consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega segue uma distribuição normal, podemos utilizar a curva abaixo X = consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega X ~ N (15, 62)   = 15 sacos  = 6 sacos

23 Distribuição Normal Exemplo 1
Proporções e probabilidades do consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega 15 21 27 9 3 68% 95%  = 15 sacos  = 6 sacos probabilidade de consumir entre 9 e 21 sacos no período é de 0,68 probabilidade de consumir entre 3 e 27 sacos no período é de 0,95 Em 2,5% das vezes o consumo é superior a 27 sacos Em 50% das vezes o consumo é superior a 15 sacos

24 Distribuição Normal Exemplo 1
Proporções e probabilidades do consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega  Portanto, em mais de 16% das vezes necessitou-se de mais cimento do que o disponível no estoque.

25 Distribuição Normal Padrão
Vimos que a curva normal possui áreas padronizadas P(µ - σ < X < µ - σ) = 0,6827  z = 1 vez o desvio padrão distante de média P(µ - 2σ < X < µ - 2σ) = 0,9545  z = 2 vezes ... P(µ - 3σ < X < µ - 3σ) = 0,9973  z = 3 vezes ... z é a chamada variável reduzida, calculada assim:

26 Distribuição Normal Padrão
Com a variável reduzida A equação original se modifica: Média = 0 e Desvio padrão = 1 Distribuição normal padrão  Z ~ N(0,1) As tabela fornecem o valores da área Entre 0 e z

27 Distribuição Normal Padrão
Muitas vezes estamos interessados em valores de probabilidade que a regra ,7 não pode nos fornecer Como calcular a área abaixo da curva (probabilidade) nestes casos? Cálculo Integral Padronização da curva Normal Tabela z

28 Distribuição Normal Padrão
N (  ; 2 )  N ( 0 ;1 ) Distância de X da média Métrica dessa distância z > 0  X maior que a média z < 0  X menor que a média  = 0  = 1

29 Distribuição Normal Padrão
A distribuição Normal Padrão é a distribuição de uma variável aleatória que possui  igual a zero e 2 igual a 1. Nesta condição esta distribuição é representada por Z.  = 0 e 2 = 1 O cálculo da probabilidade normal, usando a função, algumas vezes requer métodos não elementares, portanto, esta probabilidade é determinada usando dados tabelados representados por:  (z) = P (Z  z)

30 Distribuição Normal Padrão
Qual a probabilidade da variável aleatória z, distribuição normal padrão, estar entre 0 e 1? Regra ,7

31 Distribuição Normal Padrão
z z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586 0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535 0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409 0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173 0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793 0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240 0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490 0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524 0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327 0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891 1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214 1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298 1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147 Segunda casa decimal de z

32 Distribuição Normal Padrão

33 Distribuição Normal Padrão

34 Distribuição Normal Padrão
Exemplo 2 Calcular as seguintes probabilidades: P(Z > 1,26) = 1 – P(Z  1,26) = 1 – 0, = 0,103835 P(Z < -0,86) = 0,194894 P(Z > -1,37) = 1 – P(Z  -1,37) = 1 – 0, = 0,914657 P(-1,25 < Z < 0,37) = P(Z < 0,37)-P(Z < -1,25) = 0, – 0, = 0,538659

35 Distribuição Normal Padrão
Exemplo 3 Controle de Estoque O estoque de cimento em uma determinada obra acaba quando a demanda durante o tempo de espera (entre o pedido de compra e a entrega) é maior que 20 sacos. Qual a probabilidade de que isto aconteça?  = 15 sacos  = 6 sacos

36 Distribuição Normal Padrão
0,83 Área da tabela z z X A chance de que o estoque acabe antes do tempo de espera é de 20,33%.

37 Atenção: esta tabela é um pouco diferente da anterior
Distribuição Normal Padrão z z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,00000 0,00399 0,00798 0,01197 0,01595 0,01994 0,02392 0,02790 0,03188 0,03586 0,1 0,03983 0,04380 0,04776 0,05172 0,05567 0,05962 0,06356 0,06749 0,07142 0,07535 0,2 0,07926 0,08317 0,08706 0,09095 0,09483 0,09871 0,10257 0,10642 0,11026 0,11409 0,3 0,11791 0,12172 0,12552 0,12930 0,13307 0,13683 0,14058 0,14431 0,14803 0,15173 0,4 0,15542 0,15910 0,16276 0,16640 0,17003 0,17364 0,17724 0,18082 0,18439 0,18793 0,5 0,19146 0,19497 0,19847 0,20194 0,20540 0,20884 0,21226 0,21566 0,21904 0,22240 0,6 0,22575 0,22907 0,23237 0,23565 0,23891 0,24215 0,24537 0,24857 0,25175 0,25490 0,7 0,25804 0,26115 0,26424 0,26730 0,27035 0,27337 0,27637 0,27935 0,28230 0,28524 0,8 0,28814 0,29103 0,29389 0,29673 0,29955 0,30234 0,30511 0,30785 0,31057 0,31327 0,9 0,31594 0,31859 0,32121 0,32381 0,32639 0,32894 0,33147 0,33398 0,33646 0,33891 1,0 0,34134 0,34375 0,34614 0,34849 0,35083 0,35314 0,35543 0,35769 0,35993 0,36214 1,1 0,36433 0,36650 0,36864 0,37076 0,37286 0,37493 0,37698 0,37900 0,38100 0,38298 1,2 0,38493 0,38686 0,38877 0,39065 0,39251 0,39435 0,39617 0,39796 0,39973 0,40147 Segunda casa decimal de z c zc Atenção: esta tabela é um pouco diferente da anterior

38 Distribuição Normal Padrão
Roteiro para uso da tabela Desenhar a curva com: 0 no meio, z1 e z2 z1 e z2 em lados opostos: achar a área de cada um e somar

39 Distribuição Normal Padrão
z1 e z2 no mesmo lado: diminuir: área maior – área menor

40 A mesma coisa para o lado esquerdo
Distribuição Normal Padrão Se quisermos uma área além de z? fazemos 0,5 – área de dentro A mesma coisa para o lado esquerdo

41 Distribuição Normal Padrão
O último caso é este Fazemos: 1 – área de dentro

42 0,3413 Distribuição Normal Padrão Qual a área entre z = -1 e z = 1?
0,6826 ou 68,26%

43 0,3944 Distribuição Normal Padrão
Qual a área entre z = -1,25 e z = 1,25? 0,3944 0,7888 ou 78,88%

44 Distribuição Normal Padrão
Qual a área entre z = 1 e z = 2?

45 Distribuição Normal Padrão
Qual a área para z maior que 2,25?

46 QUE TIPO DE PROBLEMA NECESSITA DA DN E COMO RESOLVÊ-LO
Distribuição Normal Padrão QUE TIPO DE PROBLEMA NECESSITA DA DN E COMO RESOLVÊ-LO

47 Quando os dados de origem se comportarem deste jeito;
Distribuição Normal Padrão Quando os dados de origem se comportarem deste jeito; Ou quando houver condições teórico-práticas obedecidas

48 Distribuição Normal Padrão
Roteiro: resolver problemas Identificar a média, o desvio padrão e a área desejada 2)Desenhar a curva do problema Valores de interesse Média no meio

49 Distribuição Normal Padrão
3) Calcular os valores de z: 4) Desenhar a curva normal padrão 5) Calcular como antes (TABELA)

50 Distribuição Normal Padrão
Exemplo – restaurante Peso médio consumido: 0,56 kg. Desvio padrão é de 0,040 kg. Admitir que esta v.a. seja distribuída normalmente e determinar: quantas pessoas comem entre 0,50 e 0,70 kg; (b) mais do que 0,65 kg. 1) m = 0,56 e s = 0,04 Letra a) P(0,50 < X < 0,70) = ? Letra b) P(X > 0,65) = ?

51 Distribuição Normal Padrão
Letra a) 2) Curva do problema 3) Valores de z 4) Curva normal padrão

52 Distribuição Normal Padrão
5) Área (TABELA) Área = 0,9330 93,3% dos pratos servidos estão entre 0,50 e 0,70 kg. Letra b) R.: somente 1,22% dos pratos têm peso maior que 0,65 kg.

53 Estatística Aula 16 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves
Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Estatística Aula 16 Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues