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Estatística Aula 16 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado.

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1 Estatística Aula 16 Universidade Federal de Alagoas Centro de Tecnologia Prof. Marllus Gustavo Ferreira Passos das Neves Adaptado do material elaborado pelos Prof. Wayne Santos de Assis e Christiano Cantarelli Rodrigues

2 Aula 17 Distribuição Normal Distribuição Normal Aplicações Aplicações Distribuição Uniforme Distribuição Uniforme

3 A área (isto é, a integral) sob a função de densidade de probabilidade em um determinado intervalo fornece a probabilidade de ocorrência de um valor dentro desse intervalo Distribuição Contínua de Probabilidade Revisão

4 Para uma variável aleatória contínua Esperança de uma v.a. contínua v.a. discreta

5 Para uma variável aleatória contínua Variância e Desvio Padrão de uma v.a. Contínua - v.a. discreta

6 Distribuição Uniforme Definição 12…n f(x) área = 1 1. Sempre positiva 2.Área abaixo da curva exatamente igual a 1

7 Distribuição Uniforme Definição 3. A área sob a curva e acima de qualquer intervalo de valores é a probabilidade (proporção) de todas as observações que se enquadram naquele intervalo. 0 caso contrário a b f(x) área =

8 Distribuição Uniforme Demonstração f(x)f(x) X a b X = [a, b] a X b f(x) = ? ? 1 (área do retângulo) h

9 Distribuição Uniforme Esperança e Variância X = [a, b] a X b f(x)f(x) X a b 1/(b - a)

10 Distribuição Uniforme Esperança e Variância X = [a, b] a X b f(x)f(x) X a b 1/(b - a) continua...

11 Distribuição Uniforme Esperança e Variância f(x)f(x) X a b 1/(b - a) X = [a, b] a X b

12 Distribuição Uniforme Esperança e Variância a X b f(x)f(x) X a b 1/(b - a)

13 A Distribuição Normal é o modelo mais usado para expressar a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória Esta distribuição também é conhecida como Curva de Gauss, e apresenta um gráfico em forma de sino, com média determinando o centro da função e com desvio padrão determinando a largura da função Distribuição Normal (Gaussiana) Introdução

14 É a mais usada e mais famosa distribuição de probabilidade para v.a. contínuas Uma Distribuição de frequência pode ter o seguinte formato Gráfico simétrico em relação à: média, mediana,.... ocorrendo isto, provavelmente os dados de origem se comportam segundo a distribuição normal Distribuição Normal (Gaussiana)

15 Parâmetros da distribuição média da população desvio padrão da população Notação: X ~ N ( ; 2 ) Distribuição Normal (Gaussiana) ~ significa segue X ~ significa que a v.a. segue uma distribuição...

16 Equação: média Desvio padrão Distribuição Normal (Gaussiana) - x X f(x)

17 a) suave, unimodal e simétrica em relação à média Propriedades da curva normal b) aproxima-se do eixo das abscissas à medida que x se afasta da média curva muda a concavidade nos pontos – e + c) a área total sob a curva representa 100% de probabilidade d) por causa da simetria, à esquerda da média 50% e à direita da média também 50% média Também a moda e a mediana Distribuição Normal (Gaussiana)

18 Distribuição Normal Médias diferentes e desvios padrão iguais Médias iguais e desvios padrão diferentes

19 Como calcularemos probabilidades? A probabilidade entre 150 e 200 média = 100 e desvio padrão 50 X ~ N (100, 50 2 ) Distribuição Normal

20 Toda vez que um n o estiver Afastado da média 1 área corresponde a 68,26% da área total O mesmo raciocínio para: 2 95,5%, 2,575 99%...

21 z vezes o desvio padrão Para direita Para esquerda Distribuição Normal P(µ-σ < X < µ-σ ) = 0,6826 P(µ-2σ < X < µ-2σ ) = 0,9545 P(µ-3σ < X < µ-3σ ) = 0,9973

22 Distribuição Normal Exemplo 1 Se a distribuição do consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega segue uma distribuição normal, podemos utilizar a curva abaixo = 15 sacos = 6 sacos X = consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega X ~ N (15, 6 2 )

23 Distribuição Normal Exemplo 1 Proporções e probabilidades do consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega = 15 sacos = 6 sacos % 95% probabilidade de consumir entre 9 e 21 sacos no período é de 0,68 probabilidade de consumir entre 9 e 21 sacos no período é de 0,68 probabilidade de consumir entre 3 e 27 sacos no período é de 0,95 probabilidade de consumir entre 3 e 27 sacos no período é de 0,95 Em 2,5% das vezes o consumo é superior a 27 sacos Em 2,5% das vezes o consumo é superior a 27 sacos Em 50% das vezes o consumo é superior a 15 sacos Em 50% das vezes o consumo é superior a 15 sacos

24 Portanto, em mais de 16% das vezes necessitou-se de mais cimento do que o disponível no estoque. Proporções e probabilidades do consumo de sacos de cimento no período entre o pedido de compra e a entrega Distribuição Normal Exemplo 1

25 Distribuição Normal Padrão Vimos que a curva normal possui áreas padronizadas P(µ - σ < X < µ - σ) = 0,6827 z = 1 vez o desvio padrão distante de média P(µ - 2σ < X < µ - 2σ) = 0,9545 z = 2 vezes... P(µ - 3σ < X < µ - 3σ) = 0,9973 z = 3 vezes... z é a chamada variável reduzida, calculada assim:

26 Com a variável reduzida A equação original se modifica: Média = 0 e Desvio padrão = 1 Distribuição normal padrão Z ~ N(0,1) As tabela fornecem o valores da área Entre 0 e z Distribuição Normal Padrão

27 Muitas vezes estamos interessados em valores de Muitas vezes estamos interessados em valores de probabilidade que a regra ,7 não pode nos probabilidade que a regra ,7 não pode nos fornecer fornecer Padronização da curva Normal Tabela z Como calcular a área abaixo da curva (probabilidade) nestes casos? Cálculo Integral Distribuição Normal Padrão

28 Métrica dessa distância Distância de X da média N ( ; 2 ) N ( 0 ;1 ) z > 0 X maior que a média z < 0 X menor que a média = 0 = 1 Distribuição Normal Padrão

29 A distribuição Normal Padrão é a distribuição de uma variável aleatória que possui igual a zero e 2 igual a 1. Nesta condição esta distribuição é representada por Z. = 0 e 2 = 1 O cálculo da probabilidade normal, usando a função, algumas vezes requer métodos não elementares, portanto, esta probabilidade é determinada usando dados tabelados representados por: (z) = P (Z z)

30 Qual a probabilidade da variável aleatória z, distribuição normal padrão, estar entre 0 e 1? Regra ,7 Distribuição Normal Padrão

31 z 0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09 0,00,000000,003990,007980,011970,015950,019940,023920,027900,031880, ,10,039830,043800,047760,051720,055670,059620,063560,067490,071420, ,20,079260,083170,087060,090950,094830,098710,102570,106420,110260, ,30,117910,121720,125520,129300,133070,136830,140580,144310,148030, ,40,155420,159100,162760,166400,170030,173640,177240,180820,184390, ,50,191460,194970,198470,201940,205400,208840,212260,215660,219040, ,60,225750,229070,232370,235650,238910,242150,245370,248570,251750, ,70,258040,261150,264240,267300,270350,273370,276370,279350,282300, ,80,288140,291030,293890,296730,299550,302340,305110,307850,310570, ,90,315940,318590,321210,323810,326390,328940,331470,333980,336460, ,0 0, ,343750,346140,348490,350830,353140,355430,357690,359930, ,10,364330,366500,368640,370760,372860,374930,376980,379000,381000, ,20,384930,386860,388770,390650,392510,394350,396170,397960,399730,40147 Segunda casa decimal de z z Distribuição Normal Padrão

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34 P(Z > 1,26) = 1 – P(Z 1,26) = 1 – 0, = 0, P(Z < -0,86) = 0, P(Z > -1,37) = 1 – P(Z -1,37) = 1 – 0, = 0, P(-1,25 < Z < 0,37) = P(Z < 0,37)-P(Z < -1,25) = 0, – 0, = 0, Calcular as seguintes probabilidades: Exemplo 2 Distribuição Normal Padrão

35 Controle de Estoque O estoque de cimento em uma determinada obra acaba quando a demanda durante o tempo de espera (entre o pedido de compra e a entrega) é maior que 20 sacos. Qual a probabilidade de que isto aconteça? Distribuição Normal Padrão = 15 sacos = 6 sacos Exemplo 3

36 A chance de que o estoque acabe antes do tempo de espera é de 20,33%. 0,83 Área da tabela z z X Distribuição Normal Padrão

37 z 0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09 0,00,000000,003990,007980,011970,015950,019940,023920,027900,031880, ,10,039830,043800,047760,051720,055670,059620,063560,067490,071420, ,20,079260,083170,087060,090950,094830,098710,102570,106420,110260, ,30,117910,121720,125520,129300,133070,136830,140580,144310,148030, ,40,155420,159100,162760,166400,170030,173640,177240,180820,184390, ,50,191460,194970,198470,201940,205400,208840,212260,215660,219040, ,60,225750,229070,232370,235650,238910,242150,245370,248570,251750, ,70,258040,261150,264240,267300,270350,273370,276370,279350,282300, ,80,288140,291030, , ,299550,302340,305110,307850,310570, ,90,315940,318590,321210,323810,326390,328940,331470,333980,336460, ,00,341340,343750,346140,348490,350830,353140,355430,357690,359930, ,10,364330,366500,368640,370760,372860,374930,376980,379000,381000, ,20,384930,386860,388770,390650,392510,394350,396170,397960,399730,40147 Segunda casa decimal de z c z 0 zc z Distribuição Normal Padrão Atenção: esta tabela é um pouco diferente da anterior

38 Desenhar a curva com: 0 no meio, z1 e z2 Roteiro para uso da tabela z1 e z2 em lados opostos: achar a área de cada um e somar Distribuição Normal Padrão

39 z1 e z2 no mesmo lado: diminuir: área maior – área menor Distribuição Normal Padrão

40 Se quisermos uma área além de z? fazemos 0,5 – área de dentro A mesma coisa para o lado esquerdo Distribuição Normal Padrão

41 O último caso é este Fazemos: 1 – área de dentro Distribuição Normal Padrão

42 Qual a área entre z = -1 e z = 1? 0,3413 0,6826 ou 68,26% Distribuição Normal Padrão

43 Qual a área entre z = -1,25 e z = 1,25? 0,3944 0,7888 ou 78,88% Distribuição Normal Padrão

44 Qual a área entre z = 1 e z = 2? Distribuição Normal Padrão

45 Qual a área para z maior que 2,25? Distribuição Normal Padrão

46 QUE TIPO DE PROBLEMA NECESSITA DA DN E COMO RESOLVÊ-LO Distribuição Normal Padrão

47 Ou quando houver condições teórico- práticas obedecidas Quando os dados de origem se comportarem deste jeito; Distribuição Normal Padrão

48 Roteiro: resolver problemas 1)Identificar a média, o desvio padrão e a área desejada 2)Desenhar a curva do problema Média no meio Valores de interesse Distribuição Normal Padrão

49 3) Calcular os valores de z: 4) Desenhar a curva normal padrão 5) Calcular como antes (TABELA) Distribuição Normal Padrão

50 Exemplo – restaurante Peso médio consumido: 0,56 kg. Desvio padrão é de 0,040 kg. Admitir que esta v.a. seja distribuída normalmente e determinar: (a)quantas pessoas comem entre 0,50 e 0,70 kg; (b) mais do que 0,65 kg. Distribuição Normal Padrão 1) = 0,56 e = 0,04 Letra a) P(0,50 < X < 0,70) = ? Letra b) P(X > 0,65) = ?

51 2) Curva do problema Letra a) Distribuição Normal Padrão 3) Valores de z 4) Curva normal padrão

52 5) Área (TABELA) 93,3% dos pratos servidos estão entre 0,50 e 0,70 kg. Área = 0,9330 Distribuição Normal Padrão Letra b) R.: somente 1,22% dos pratos têm peso maior que 0,65 kg.

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