CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES

CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
Prof. Lucilio Rogerio Aparecido Alves Depto. de Economia, Administração e Sociologia ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. Cap.2 ASSAF NETO, A.; LIMA, F.G. Curso de administração financeira. Cap.3

Introdução Juro: recompensa pelo sacrifício de poupar no presente, postergando o consumo para o futuro Determina o custo de um crédito ou retorno de uma aplicação de capital Juro: é a remuneração ou custo do capital – aluguel pelo uso do capital Prof. Lucilio Alves

Introdução Quando o detentor do capital vai realizar um investimento, deve estabelecer a remuneração desejada para os seus recursos e, para isso, atentar para os seguintes aspectos: Despesas sobre o investimento: operacionais, contratuais e tributárias; Risco: probabilidade de não obter a remuneração e o capital de volta; Inflação: perda de poder aquisitivo de capital causada pela elevação generalizada de preços; Lucro: fixado em função das oportunidades de investimentos perdidas; Prof. Lucilio Alves

Introdução Portanto, a receita do juro deve ser suficiente para: Cobrir o risco; Cobrir as despesas; Cobrir a perda de poder aquisitivo do capital investido; Proporcionar lucro ao investidor; Critérios de capitalização: simples (linear) compostos (exponencial) Prof. Lucilio Alves

2.1 Juros Simples Maioria das taxas de juros aplicadas no mercado financeiro são referenciadas pelo critério simples Juros incidem unicamente sobre o capital inicialmente aplicado ou alocado Encontra ampla aplicação prática em operações financeiras de curto prazo Prof. Lucilio Alves

2.1 Juros Simples Sistema de capitalização simples: os juros não-pagos não devem ser agregados ao capital para efeito de cálculo dos juros dos períodos subseqüentes Caso os juros calculados para um determinado período não sejam pagos, eles são incorporados ao capital, mas não para efeito de cálculo dos juros dos período seguintes Prof. Lucilio Alves

Fórmula do Montante (M):
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES 2.1 Juros Simples Fórmula do Montante (M): M = C + J Onde: C = Capital inicial (principal) i = taxa (linear) de juros J = valor (em $) dos juros n = número de períodos M = montante acumulado Fórmula dos Juros (J): J = C x i x n Se: Crédito de $50.000, por 5 meses Juros de 2% a.m. Então: Remuneração de $1.000 a.m. Total de $5.000 em remuneração Prof. Lucilio Alves

2.1 Juros Simples Fórmula do Montante e Capital desconhecendo-se os Juros: M = C + [C x i x n] Colocando-se C em evidência: M = C x [1+ i x n] ou C = M / (1 + i x n) Onde: C = Capital inicial (principal) i = taxa (linear) de juros J = valor (em $) dos juros n = número de períodos M = montante acumulado Prof. Lucilio Alves

2.1 Juros Simples Exemplo de cálculo. Calcular o montante de um capital de $ , aplicado durante 6 meses, à taxa de juros simples de 2% a.m. Forma de cálculo 1: M = C + J M = $ $ = $ Forma de cálculo 2: M = C x (1 + i x n) M = $ x (1 + 0,02 x 6) M = $ Prof. Lucilio Alves

2.1 Juros Simples Exemplo de cálculo da taxa de juro: Um investidor aplicou em um banco a quantia de R$ ,00 pelo prazo de 14 meses e, ao término, resgatou a quantia de R$ ,00. Calcular a taxa de juro média mensal desse investimento pelo sistema de capitalização simples. Solução algébrica M = C [1 + i x n] 1 + i x n = M/C i x n = (M/C) – 1 i = [(M/C) – 1]/n Solução numérica i = [(M/C) – 1]/n i = [( / ) – 1]/14 i = [1,34 – 1]/14 i = 0,34/14 i = 0, ou i = 2,43% a.m. Prof. Lucilio Alves

2.1.1 Taxa nominal e taxa proporcional Taxa nominal: taxa de juro contratada numa operação; normalmente é expressa para um período superior ao da incidência dos juros; Exemplo: um financiamento pode ser concedido para liquidação em pagamentos mensais, sendo a taxa nominal de juros de 30% a.a.; taxa mensal considerada: 30%/12 meses = 2,5% a.m. Obs.: A taxa nominal não corresponde, necessariamente, à taxa efetiva da operação. Pode haver outras taxas, como comissões, IOF etc., que aumenta a taxa efetiva de um empréstimo, por exemplo. Prof. Lucilio Alves

2.1.1 Taxa nominal e taxa proporcional Taxa proporcional: o prazo da taxa é geralmente igual ao período de capitalização dos juros; duas taxas expressas em diferentes unidades de tempo são definidas como proporcionais quando enunciam valores iguais numa mesma unidade de tempo; Exemplo: 3% a.m. = 36% a.a.; 9% a.t. = 36% a.a.; Considere hoje uma quantia de $ 100,00 a juros simples de 10% ao mês nominal. Seus respectivos montantes serão: Para transformar uma taxa nominal em outra, basta multiplicar, se desejarmos aumentar o período (10% a.m. vezes 3 meses = 30% a.t.), ou dividirmos para diminuir de período (40% ao quadrimestre dividido por 2 bimestres = 20% a.b.) $ 100,00 1 mês 2 meses 3 meses 4 meses 10% a.m. $ 110,00 20% a.b. $ 120,00 30% a.t. $ 130,00 40% a.q. $ 140,00 Prof. Lucilio Alves

2.1.1 Taxa nominal e taxa proporcional Exemplo Determinar o montante (M) e os juros (J) de uma aplicação de $ ,00 efetuada pelo prazo de oito meses à taxa de juros simples de 26,4% a.a. Montante M = C [1 + i x n] M = ,00 [1+ 0,022 x 8] M = ,00 Juros J = M – C J = , ,00 J = ,00 Solução: Dados C = $ ,00 n = 8 meses i = 26,4% / 12 meses = 2,2% a.m. Prof. Lucilio Alves

2.2 Juros Compostos: Capital Encontra ampla aplicação prática em operações financeiras de médio e longo prazos Os juros incidem sobre o saldo acumulado (montante) O juro gerado em determinada operação é adicionado ao principal e serve de base para cálculo de juros posteriores Prof. Lucilio Alves

Fórmula do Montante (M):
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES 2.2 Juros Compostos: Capital Fórmula do Montante (M): M = C + J Onde: C = Capital inicial (principal) i = taxa (linear) de juros J = valor (em $) dos juros n = número de períodos M = montante acumulado No primeiro período: Juro J = C x i Montante M = C + C x i No segundo período Juro J = (C + C x i) x i Montante M = (C + C x i) + [(C + C x i) x i] M = C + C x i + C x i +C x i2 = C x i2 + 2(C x i) + C M = C x (1 + i) x (1 + i) M = C x (1 + i)2 Prof. Lucilio Alves

2.2 Juros Compostos: Capital Para o enésimo período: Montante M = C x (1 + i) x (1 + i) ... (1 + i) M = C x (1 + i)n Onde: PV = valor presente (principal) FV = valor futuro (montante) i = taxa (exponencial) de juros n = número de períodos ou Fórmula do valor futuro (FV): Fórmula do valor presente (PV): Prof. Lucilio Alves

M = 92.709.068,82 CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES
2.2 Juros Compostos: Capital Exemplo: Calcular o montante produzido por um capital de $1.000,00 aplicados à taxa de juro de 10% a.m. pelo prazo de 10 anos (120 meses) utilizando o sistema de capitalização composta. Solução numérica M = 1.000,00 x (1+0,10)120 M = 1.000,00 x ,06882 M = ,82 Prof. Lucilio Alves

2.2 Juros Compostos: Capital Exemplo Se uma pessoa desejar obter $ ,00 dentro de um ano, quanto deverá aplicar hoje num fundo que rende 7% a.t.? Em outras palavras, qual é o valor presente dessa aplicação? Valor presente: Solução: Dados FV = $ ,00 n = 4 trimestres i = 7% a.t. Prof. Lucilio Alves

2.2 Juros Compostos: Capital Exemplo Determinar a taxa mensal de juros de uma aplicação de $ ,00 que gera um montante de $ ,50 ao final de um semestre. Cálculo da taxa: Solução: Dados PV = $ ,00 FV = $ ,50 n = 6 meses Prof. Lucilio Alves

2.2.1 Taxa equivalente e taxa efetiva Taxas equivalentes são as que geram montantes idênticos quando capitalizadas sobre um mesmo capital e prazo 20% a.s. e 44% a.a. são equivalentes pois produzem o mesmo montante em prazo idêntico 2,0% a.m., 6,12%a.t. e 12,62% a.s. são admitidas como sendo taxas equivalentes, pois, capitalizando qualquer capital, produzem o mesmo valor futuro ao final de um período. Para um capital de $100,00, tem-se: Prof. Lucilio Alves

2.2.1 Taxa equivalente e taxa efetiva Expressão: Onde: = taxa de juros equivalente relativa a uma parte de determinado intervalo de tempo q = número de partes do intervalo de tempo considerado Ou, Prof. Lucilio Alves

2.2.1 Taxa equivalente e taxa efetiva Exemplo Quais as taxas de juro mensal e trimestral equivalentes de 21% a.a. Solução: a) Taxa de juros equivalente mensal b) Taxa de juros equivalente trimestral Prof. Lucilio Alves

2.2.1 Taxa equivalente e taxa efetiva Exemplo Qual a taxa de juro anual equivalente à 1,6% a.m. Solução: a) Taxa de juros equivalente anual Prof. Lucilio Alves

2.2.1 Taxa equivalente e taxa efetiva O que acontece quando a taxa de juro é dada em prazo superior ao período de capitalização dos juros? Ex.: os juros são capitalizados mensalmente e a taxa é expressa em termos anuais.... Se o critério adotado de incorporação dos juros ao capital for o composto equivalente, o montante ao final do prazo será o mesmo; Se a capitalização for processada pelo critério de juro simples (taxa nominal), a taxa de juro no final do período (taxa efetiva), será maior que a taxa contratada; Prof. Lucilio Alves

2.2.1 Taxa equivalente e taxa efetiva Exemplo Financiamento de $ ,00, contratado à taxa nominal de 20% a.a. com capitalização semestral (proporcional) Diferença ocorrida pelo prazo de capitalização ser diferente do prazo da taxa de juros Prof. Lucilio Alves

2.2.1 Taxa equivalente e taxa efetiva Identidade de cálculo da taxa efetiva de qualquer operação, quando o prazo de capitalização não coincidir com o prazo definido pela taxa contratada e os juros forem distribuídos de forma proporcional nos períodos de capitalização Onde: z = número de períodos de capitalização da taxa contratada em determinado período de tempo Exemplo: Prof. Lucilio Alves

2.2.1 Taxa equivalente e taxa efetiva Exemplo Determinar o montante de uma aplicação de $60.000,00 efetuada pelo prazo de um ano à taxa de juros de 17,5% a.a. capitalizados trimestralmente a) Capitalização de forma proporcional à taxa nominal Taxa efetiva: Prof. Lucilio Alves

2.2.1 Taxa equivalente e taxa efetiva b) Capitalização pelo uso da taxa trimestral equivalente composta Taxa equivalente composta = taxa efetiva definida Prof. Lucilio Alves

2.3 Juros Compostos: Série de Pagamentos ou Recebimentos Até agora, operações com um único desembolso ou recebimento Insere-se, então, as operações que envolvem uma série de pagamentos ou recebimentos: Determinação do custo de vários tipos de empréstimos e financiamentos (BNDES, por exemplo) Taxa de retorno de projetos de investimento Avaliação de ações Prof. Lucilio Alves

2.3 Juros Compostos: Série de Pagamentos ou Recebimentos Representação Gráfica Prof. Lucilio Alves

2.3.1 Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes Quando as periodicidades não forem uniformes, o valor presente (PV) é obtido da seguinte forma: Onde: CFj = valor (fluxo de caixa) a ser recebido ou pago no período j Prof. Lucilio Alves

2.3.1 Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes Exemplo O valor presente de uma dívida que deve ser paga em três parcelas mensais consecutivas de $ ,00, $ ,00 e $ ,00, respectivamente, à taxa de 1,2% a.m., é: É indiferente (equivalente), para uma taxa de 1,2% a.m., o pagamento (ou o recebimento) de $ ,41 à vista ou em três parcelas mensais. Prof. Lucilio Alves

2.3.1 Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes A identidade do valor (montante) para uma série de pagamentos ou recebimentos não uniformes pode ser expressa da seguinte maneira: Onde: CFj = valor (fluxo de caixa) a ser recebido ou pago no período j Prof. Lucilio Alves

2.3.1 Séries de pagamentos ou recebimentos não uniformes Exemplo O valor futuro ao final do mês 4 dos pagamentos mensais da dívida apresentada atinge: Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes O valor futuro (FV) de uma série uniforme de fluxos de caixa é obtido por: Onde: PMT = valor de cada pagamento ou recebimento uniforme periódico = Fator de Valor Futuro (FVF) Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Como obter a fórmula? Consideremos uma série uniforme descontada mensalmente a uma taxa de 4%, em cinco períodos. O cálculo do valor futuro seria: S1 = 100 x (1,04)4 = 100 x 1,16986 = 116,98 S2 = 100 x (1,04)3 = 100 x 1,12486 = 112,49 S3 = 100 x (1,04)2 = 100 x 1,08160 = 108,16 S4 = 100 x (1,04)1 = 100 x 1,04000 = 104,00 S5 = 100 x (1,04)0 = 100 x 1,00000 = 100,00 St = = 541,63 Assim, podemos concluir que, o montante de 5 aplicações, mensais e consecutivas aplicadas a uma taxa de 4% a.m. acumula um montante de $ 541,63. Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Como obter a fórmula? Sabemos que St = S1 + S2 + S3 + S4 + S5. substituindo S1, S2 , S3..., por seus respectivos valores temos: St = 100 x (1,04) x (1,04) x (1,04) x (1,04) x (1,04)0. Como o fator 100 é comum a todos os termos, podemos agrupar a expressão acima: St = 100 { (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 } Como a série entre chaves, acima, representa a soma de uma progressão geométrica de razão 1,04, podemos aplicar a seguinte fórmula, Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Como obter a fórmula? St = 100 { (1,04)0 + (1,04)1 + (1,04)2 + (1,04)3 + (1,04)4 } A expressão em colchetes representa a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica com os seguintes parâmetros: Primeiro termo: a1 = (1+i)0 Enésimo termo: an = (1+i)4 Razão: q = (1+0,04) Soma PG: sn = (a1-(anq))/(1-q) Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Como obter a fórmula? Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Exemplo Suponha que uma pessoa tenha aplicado, ao final de cada mês, a quantia de $ 4.000,00 mensalmente, durante 12 meses, numa conta de poupança que rende 1,5% a.m. Ao final do período, esse aplicador acumula a quantia de: Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes E se a pergunta fosse inversa? Calcular a quantia que se deve investir mensalmente em um fundo de investimento que remunera o investidor à taxa de juro de 1% a.m. para se obter a quantia de $ ,00 em 10 anos: Pode-se chamar esta fórmula de Fator de Formação de Capital Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Quando as séries de pagamentos ou recebimentos são de mesmo valor e periodicidade, o valor presente (PV) poderá ser obtido da seguinte forma: Onde: PMT = valor de cada pagamento ou recebimento uniforme periódico = Fator de valor presente (FVP) Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Como obter a fórmula? Consideremos uma série uniforme descontada durante 5 meses a uma taxa de 4%. O cálculo do valor presente seria: Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Como obter a fórmula? Portanto: Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Como obter a fórmula? A expressão em colchetes representa a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica com os seguintes parâmetros: Primeiro termo: a1 = 1/(1+i) Enésimo termo: an = 1/(1+i)n Razão: q = 1/(1+i) Soma PG: sn = (a1-(anq))/(1-q) Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Como obter a fórmula? Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Exemplo O valor presente de um bem que é pago em 10 prestações mensais e iguais de $5.000,00, à taxa de juros de 2,0% a.m., é: Representa o preço à vista do bem, isto é, o valor máximo de pagamento à vista supondo uma taxa de desconto de 2% a.m. Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Exemplo A venda de um computador é financiada por uma loja em 5 pagamentos mensais, iguais e sucessivos de $1.200,00. A taxa de juros cobrada é de 1,5% a.m. Determinar o valor à vista do computador (valor presente) ao se admitir o financiamento sem entrada (0+5). Representa o preço à vista do bem, isto é, o valor máximo de pagamento à vista supondo uma taxa de desconto de 2% a.m. Prof. Lucilio Alves

2.3.2 Séries de pagamentos ou recebimentos uniformes Exemplo A venda de um computador é financiada por uma loja em 5 pagamentos mensais, iguais e sucessivos de $1.200,00. A taxa de juros cobrada é de 1,5% a.m. Determinar o valor a vista do computador (valor presente), supondo a primeira prestação paga no ato da compra (1+4). Representa o preço à vista do bem, isto é, o valor máximo de pagamento à vista supondo uma taxa de desconto de 2% a.m. Prof. Lucilio Alves

Considerando que o cálculo do Valor Presente de uma série uniforme é:
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES 2.3.3 Coeficientes ou fatores de financiamento Considerando que o cálculo do Valor Presente de uma série uniforme é: A obtenção do valor de uma prestação a partir de um determinado valor presente, dada uma taxa de juro e prazo, é: Prof. Lucilio Alves

2.3.3 Coeficientes ou fatores de financiamento Coeficiente de financiamento (CF) é a expressão que, quando multiplicado pelo valor do crédito, produz as prestações periódicas: Onde = inverso do fator de valor presente Prof. Lucilio Alves

2.3.3 Coeficientes ou fatores de financiamento Exemplo O coeficiente de financiamento a ser pago em seis prestações mensais iguais, à taxa de 1,4% a.m., é de 0,174928, isto é: Assim, para uma dívida total de R$ ,00, com pagamento em 6 parcelas e juro de 1,4% a.m., o pagamento mensal deve ser de: R$ ,00 x 0, = R$ 3.498,56 Prof. Lucilio Alves

2.3.3 Coeficientes ou fatores de financiamento Exemplo Calcular o valor da série uniforme de pagamentos de 10 parcelas referentes a um capital de $ ,00, utilizando a taxa de juro de 3%: O valor da série uniforme de um capital de $ ,00, com pagamento em 10 parcelas e juro de 3% é: R$ ,00 x 0,1172 = R$ ,00 Prof. Lucilio Alves

2.3.3 Coeficientes ou fatores de financiamento Prof. Lucilio Alves

CUSTO ANUAL DE REPOSIÇÃO DO PATRIMÔNIO – CARP
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES 2.3.3 Coeficientes ou fatores de financiamento No Cepea, o Coeficiente de financiamento multiplicado pelo valor do bem é tratado como CUSTO ANUAL DE REPOSIÇÃO DO PATRIMÔNIO – CARP para analisar a sustentabilidade de negócios agropecuários. O produtor vive uma sucessão de ganhos e perdas de capital: Um ano seu VP pode subir (ganho de capital); Outro pode cair (perda de capital) Como examinar a sustentabilidade da fazenda? A fazenda vai se manter ao longo do tempo? Prof. Lucilio Alves

2.3.3 Coeficientes ou fatores de financiamento Considere um trator: ele deve ser substituído a cada certo período de tempo; O CARP representa quanto o uso do trator deve proporcionar anualmente para que: Um novo trator possa ser adquirido ao final do período; O proprietário tenha um retorno equivalente ao custo de oportunidade do capital (r); Prof. Lucilio Alves

2.3.3 Coeficientes ou fatores de financiamento Como exemplo, o CARP para uma máquina será: Onde: frc é o fator de recuperação do capital e CR é o valor de mercado para reposição da máquina; O fator frc leva em conta o custo de oportunidade do capital (r) e a vida útil da máquina (v): Prof. Lucilio Alves

2.3.3 Coeficientes ou fatores de financiamento Desta forma, determina-se o custo total de produção: CT = CO + CARP Para a fazenda, CARP é a soma dos CARPs individuais que compõem o patrimônio; O produtor deve comparar periodicamente seus valores de RLmax com o CARP para a fazenda; Para se manter no negócio: RLmax  CARP Se sistematicamente, RLmax  CARP, o negócio não é sustentável; Prof. Lucilio Alves

Dados para uma fazenda de algodão, na safra 2006/07, Mato Grosso, cujo investimento é para 600 hectares. O “share of use” é a razão de cada item por 600 hectares. Com um investimento total de R$ 1,8 milhão, o CARP é de R$ 932,46/ha, anualmente. Prof. Lucilio Alves

2.3.4 Anuidades perpétuas O cálculo do valor presente para fluxos de pagamento ou recebimentos com durações indeterminadas se dá seguinte forma: No limite: Onde PV = valor presente PMT = valor de cada pagamento ou recebimento uniforme periódico i = taxa de desconto Prof. Lucilio Alves

2.3.4 Anuidades perpétuas Exemplo Suponha uma renda mensal perpétua de $ 1.000,00. O valor presente, à taxa de desconto de 1% a.m., é * Esse raciocínio é muito utilizado em avaliação de ações Prof. Lucilio Alves

2.3.4 Anuidades perpétuas Exemplo Calcular o valor de uma empresa que gera fluxos de caixa de $ ,00 por ano para seu proprietário. Calcular o valor presente desse fluxo de caixa utilizando a taxa de juro de 12% a.a., considerando os prazos 10 anos, 20 anos, 30 anos, 50 anos, 100 anos, 150 anos, 200 anos e a perpetuidade. Prof. Lucilio Alves

2.3.4 Anuidades perpétuas Prof. Lucilio Alves

Receita Líquida (RL) = Receita Bruta (RB) – Custos Operacionais (CO)
CÁLCULO FINANCEIRO E APLICAÇÕES 2.3.4 Anuidades perpétuas Como avaliar a evolução do patrimônio da fazenda/ agroindústria? No caso da fazenda, todo ano o produtor faz o possível para aumentar o valor de sua propriedade (VP), produzindo aquilo que proporciona a maior Receita Líquida (RL); Receita Líquida (RL) = Receita Bruta (RB) – Custos Operacionais (CO) Quando RL aumenta – dado o custo de oportunidade do capital (r) – o patrimônio aumenta; O VP é obtido pela capitalização do fluxo presente e futuro de RL. Prof. Lucilio Alves

2.3.4 Anuidades perpétuas Se os preços de produtos e insumos permanecerem indefinidamente como estão, assim como a tecnologia, o valor do patrimônio (VP) seria: onde RLmax é a receita líquida máxima da fazenda. Suponha uma fazenda de 1000 hectares com soja; Se RL = R$ 300,00/ha e objetivou-se um retorno de 10%: Prof. Lucilio Alves

Resumo das fórmulas Considere: FV = Valor Futuro ou Montante (M); PV = Valor Presente ou Capital (C); PMT = Valor de cada Pagamento ou Recebimento DADO ACHAR FÓRMULA FATOR PV FV Fator de Acumulação de Capital – FAC Fator de Valor Atual – FVA PMT Fator de Recuperação do Capital – FRC Custo Anual de Reposição do Patrimônio – CARP Fator de Valor Atual de uma Série – FVAS Fator de Acumulação de uma Série – FAZ Fator de Formação de Capital – FFC Prof. Lucilio Alves

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