MSCC – Revisão de Probabilidade e Estatística

Apresentação em tema: "MSCC – Revisão de Probabilidade e Estatística"— Transcrição da apresentação:

1 MSCC – Revisão de Probabilidade e Estatística
Sidney Lucena PPGI/UNIRIO 2015.1

2 Revisão de Probabilidade e Estatística
Sumário da Revisão Análise Combinatória Probabilidade Variáveis Aleatórias, Distribuições de Probabilidade Funções de Variáveis Aleatórias Medidas Estatísticas Intervalo de Confiança Na sequência, teremos Variáveis Aleatórias Multidimensionais Distribuição marginal e probabilidade condicional Correlação e Autocorrelação

3 Revisão P&E – Por quê? Apesar de óbvio, voltemos à ideia básica
É preciso SUMARIZAR dados Mas também é preciso saber o que calcular e como calcular!!!! E é preciso representar e exibir estes dados Ferramentas nem sempre têm tudo que é necessário para isso É necessário conhecer bem os conceitos

4 Análise Combinatória Análise combinatória, a arte de contar (Stewart)
É a parte da matemática que estuda métodos de contagem Importante para se calcular probabilidades! Exemplos: Quantos números cabem em 2 bytes? Ao se lançar os dados X e Y, em quantas combinações X terá valor maior que Y? Como fazer esta conta “sem contar”????

5 Análise Combinatória Princípio fundamental da contagem (ex.):
Se X, Y e Z podem respectivamente assumir uma quantidade k, m e n de valores, então o número total de possíveis combinações é (k x m x n) E se eu quiser desprezar as combinações que se repetem independente de ordem??? P/ex., (3,5) e (5,3) contando como uma combinação Que cálculo seria este?? Vejamos os artefatos...

6 Análise Combinatória Arranjo

7 Análise Combinatória Arranjo c/ repetição

8 Análise Combinatória Permutação
Um arranjo de itens, numa dada sequência ordenada, é dito ser uma permutação destes itens Ex: o conjunto ABC possui 6 permutações (3! = 6) ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 𝑛!= 𝑘=1 𝑛 𝑘 Ex.: o conjunto OXO possui 3 permutações (porque um símbolo aparece 2 vezes OXO, OOX, XOO 3!/(2!1!) = 3 Por quê????

9 Análise Combinatória Permutação Ex.: fila indiana com 8 pessoas
8! = 40320 Permutação circular PCn = (n – 1)! Por quê????? Ex.: Brincadeira de roda c/ 10 crianças 9! =

10 Análise Combinatória Permutação c/ elementos repetidos

11 Análise Combinatória Combinação

12 Análise Combinatória Combinação
Ex.: um jogador recebe 10 cartas de um baralho de 40 cartas Qual o número de combinações possíveis de cartas que será recebido?

13 Análise Combinatória Combinação Propriedades do coeficiente binomial:

14 Análise Combinatória Coeficientes multinomiais

15 Análise Combinatória Coeficientes multinomiais
E quando as partições são iguais? Divide-se pelo número de permutações das partições

16 Análise Combinatória Coeficientes multinomiais
E quando as partições são iguais? Ex.: De quantas maneiras podemos alocar 12 pessoas em 3 salas tendo cada grupo 4 pessoas?

17 Análise Combinatória Coeficientes multinomiais

18 Análise Combinatória Coeficientes multinomiais

19 Probabilidade Definições importantes:

20 Probabilidade Espaço amostral de experimento: Ex.: lançar 2 dados
Ex. de evento: soma dos resultados ser par

21 Probabilidade

22 Probabilidade

23 Probabilidade

24 Probabilidade Probabilidade de um evento:
Axiomas (verdades aceitas por todos):

25 Probabilidade Teoremas:

26 Probabilidade Teoremas:

27 Probabilidade Teoremas:

28 Probabilidade Probabilidade condicional:

29 Probabilidade Probabilidade condicional:
Muito usada qdo há seq. de eventos relacionados entre si!

30 Probabilidade

31 Probabilidade Probabilidade condicional:

32 Probabilidade Probabilidade condicional:

33 Probabilidade Teorema de Bayes:

34 Probabilidade Teorema de Bayes:

35 Probabilidade Teorema de Bayes:

36 Probabilidade Teorema de Bayes:

37 Probabilidade Teorema de Bayes:

38 Probabilidade Teorema de Bayes:

39 Probabilidade Teorema de Bayes:

40 Probabilidade Teorema de Bayes:

41 Probabilidade Eventos independentes:

42 Probabilidade Eventos independentes:

43 Probabilidade Eventos independentes:

44 Probabilidade Eventos independentes:

45 Variável Aleatória Variável que representa o resultado de uma função envolvendo experimentos aleatórios

46 Variável Aleatória Classificações:

47 Variável Aleatória Discreta

48 Variável Aleatória Discreta
Função de Probabilidade de Massa (PMF): Probabilidade da var. aleat. X assumir um dado valor x : P [X = x] = p(x) A soma das probabilidades dos possíveis valores de X é 1:

49 Variável Aleatória Discreta
Função de Distribuição Cumulativa (CDF): Probabilidade da v.a. X ser menor que a: P [X <= a] = F(a)

50 Variável Aleatória Discreta
Medidas de Interesse:

51 Variável Aleatória Discreta
Seja Y a v.a. representada nos gráficos anteriores:

52 Variável Aleatória Discreta
Distribuições de Probabilidade mais comuns:

53 Variável Aleatória Discreta
Distribuição de Bernoulli:

54 Variável Aleatória Discreta
Distribuição de Bernoulli:

55 Variável Aleatória Discreta
Distribuição Binomial: Se a prob. de uma máquina dar defeito num lab. é p, qual a prob. de i máquinas darem defeito?

56 Variável Aleatória Discreta
Distribuição Binomial:

57 Variável Aleatória Discreta
Distribuição Binomial: Exemplos:

58 Variável Aleatória Discreta
Distribuição Binomial: Exemplos:

59 Variável Aleatória Discreta
Distribuição Binomial: Exemplos:

60 Variável Aleatória Discreta
Distribuição Geométrica:

61 Variável Aleatória Discreta
Distribuição Geométrica:

62 Variável Aleatória Discreta
Distribuição Geométrica: Exemplos:

63 Variável Aleatória Discreta
Distribuição Geométrica: Exemplos:

64 Variável Aleatória Discreta
Distribuição de Poisson:

65 Variável Aleatória Discreta
Distribuição de Poisson:

66 Variável Aleatória Discreta
Distribuição de Poisson: Costuma ser usada para saber a probabilidade de um dado número de ocorrências de um evento num dado intervalo de tempo Ocorrências do evento devem ser aleatórias e independentes O valor médio de ocorrências é bem conhecido (lambda) Exemplo: Probabilidade do número de pessoas que entram num banco durante um certo intervalo de tempo ser igual a x

67 Variável Aleatória Discreta
Distribuição de Poisson: Exemplos:

68 Variável Aleatória Discreta
Distribuição de Poisson: Exemplos:

69 Variável Aleatória Discreta
Aproximação entre as Distribuições de Poisson e Binomial:

70 Variável Aleatória Contínua
Uma variável aleatória é dita contínua quando o conjunto de valores que ela pode assumir é incontável Exemplos:

71 Variável Aleatória Contínua
Função Densidade de Probabilidade (PDF): Exemplo: P [a <= X <= b]

72 Variável Aleatória Contínua
Probabilidade e Medidas de Interesse:

73 Variável Aleatória Contínua
Distribuições de Probabilidade mais comuns:

74 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Uniforme:

75 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Uniforme:

76 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Uniforme:

77 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Uniforme:

78 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Exponencial:

79 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Exponencial:

80 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Exponencial:

81 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Exponencial:

82 Variável Aleatória Contínua
Distribuição de Erlang: Corresponde a uma sequencia de n eventos com distribuição exponencial

83 Variável Aleatória Contínua
Distribuição de Erlang:

84 Variável Aleatória Contínua
Distribuição de Erlang:

85 Variável Aleatória Contínua
Distribuição de Erlang: CDF (Função de Distribuição Cumulativa) p/ lambda = 0,5

86 Variável Aleatória Contínua
Distribuição de Erlang: PDF para n = 5

87 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Normal:

88 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Normal: Exemplo para Dist. Normal Padrão:

89 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Normal:

90 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Normal:

91 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Normal: Muito usada para representar variáveis aleatórias cuja distribuição não é conhecida Teorema do limite central: A média calculada para variáveis aleatórias independentes, que por sua vez se torna uma variável aleatória, possui distribuição normal Ex.: erros de medição tendem a apresentar uma distribuição próxima da normal

92 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Normal:

93 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Normal:

94 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Normal:

95 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Normal:

96 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Normal:

97 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Normal:

98 Variável Aleatória Contínua
Distribuição Normal: