AULA 3 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II

Apresentação em tema: "AULA 3 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II"— Transcrição da apresentação:

1 AULA 3 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II
Fonte: Anton, Stewart, Thomas. Material Daniela Buske Prof. Guilherme Jahnecke Weymar CEng - UFPel

2 TÓPICOS: Produto escalar: Ângulo entre vetores Vetores perpendiculares
Propriedades Projeções ortogonais Trabalho Escrever vetor como soma de vetores ortogonais Produto vetorial

3 Objetivo da primeira parte da aula:
Se uma força F é aplicada a uma partícula que se move ao longo de um caminho, freqüentemente precisamos conhecer a magnitude de força na direção do movimento. Se v é paralelo à reta tangente ao caminho no ponto onde F é aplicada, então queremos a magnitude de F na direção de v. Como calcular o ângulo entre 2 vetores diretamente a partir das suas componentes. Usar o produto escalar para encontrar: 1) Projeção de um vetor em outro; 2) Trabalho realizado por uma força cte que age durante um deslocamento.

4 Ângulo entre vetores: Quando 2 vetores não-nulos u e v são colocados de tal modo que seus ponto iniciais coincidam, eles formam um ângulo θ com medida 0 ≤ θ ≤π. Se os vetores não estão sobre a mesma reta, o ângulo θ é medido no plano que contém os dois. Se eles estiverem sobre a mesma reta, o ângulo entre eles é 0 se ambos apontam para o mesmo sentido, e π se apontarem em sentidos opostos. Como encontro θ?

5 Vamos nos concentrar na expressão u1v1+u2v2+u3v3 no cálculo de θ:

6 OBS.: O produto escalar dá como resultado um escalar e não um vetor.
Com a notação de produto escalar o ângulo entre dois vetores u e v pode ser escrito como:

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8 A fórmula do ângulo também se aplica a vetores bidimensionais:

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10 Vetores perpendiculares (ortogonais):

11 Propriedades do produto escalar e projeções ortogonais:

12 Projeção ortogonal de u em v:
A projeção ortogonal de u = PQ em um vetor v = PS é o vetor PR determinado ao se traçar uma perpendicular de Q até a reta PS. Notação: proj u v

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14 Direção v/|v| Direção - v/|v|

15 O número é chamado componente escalar de u na direção de v.
Em resumo:

16 (1) e (2) se aplicam para vetores 2D:

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18 Trabalho realizado por uma força contante:
Em cálculo 1 calculamos o trabalho realizado por uma cte magnitude de força F ao mover um objeto ao longo de uma distância d por W = Fd. A fórmula é verdadeira somente se a força é direcionada ao longo da reta de movimento. Se uma força F que move um objeto ao longo de um deslocamento D = PQ tem alguma outra direção, o trabalho é realizado pela componente de F na direção de D. Se θ é o ângulo entre F e D (figura) então: W = (|F|cos θ) |D| = F . D = |F| |D| cos θ

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20 Escrevendo um vetor como uma soma de vetores ortogonais:

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22 Produto vetorial de dois vetores no espaço:
Suponha 2 vetores não-nulos u e v no espaço. Se eles não são paralelos eles determinam um plano. Selecionamos um vetor unitário n perpendicular ao plano pela regra da mão direita. Então o produto de u vetorial v é: Resultado: VETOR

23 OBS.: O vetor u x v é ortogonal tanto a u quanto a v porque é múltiplo escalar de n.

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25 Área do paralelogramo: |u x v|
Como n é um vetor unitário, a norma de u x v é: Esta é a área do paralelogramo determinado por u e v, sendo |u| a base e |v|senθ a altura.

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31 Torque: Quando giramos um parafuso aplicando uma força F a uma chave inglesa (figura), o torque que produzimos age ao longo do eixo do parafuso para girá-lo para frente. A magnitude do torque depende da distância entre o eixo do parafuso e o ponto sobre a chave inglesa no qual a força é aplicada e de quanto da força é perpendicular à chave no ponto de aplicação.

32 O número que usamos para medir a norma do torque é o produto do comprimento do braço da alavanca r e da componente escalar de F perpendicular a r. Na notação da figura: Magnitude do vetor torque = |r||F| senθ ou |r x F| Se n é um vetor unitário ao longo do eixo do parafuso na direção do torque, então uma descrição completa do vetor torque é r x F, ou: Vetor torque = (|r||F| senθ)n

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34 Produto Misto:

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