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Prof. José Mauricio Neto
Universidade Federal da Paraíba Departamento de Engenharia Elétrica Centro de Energias Alternativas e Renováveis Algoritmo da Transformada Rápida de Fourier (FFT) Prof. José Mauricio Neto 1 1 1
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Transformada Rápida de Fourier
A FFT (Fast Fourier Transform) é um algoritmo eficiente para o cálculo dos coeficientes da DFT reduzindo a complexidade computacional (somas e multiplicações). Considera-se uma sequência x[n] consistindo de 2 amostras, em que “” é um número inteiro positivo, ou seja o número de amostras da sequência discreta é uma potência de 2 (N=2,4,8,16, etc) 2 2
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Transformada Rápida de Fourier
Se x[n] não é uma sequência contendo 2 amostras, então x[n] é preenchidos com zeros até que o tamanho seja um número potência de 2. Existem dois métodos para a implementação do algoritmo da FFT: Método de Decimação na Frequência Método de Decimação no Tempo 3 3
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Transformada Rápida de Fourier Método da Decimação na Frequência
4 4
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Método de Decimação na Frequência
A partir da DFT 5 5
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Método de Decimação na Frequência
A partir da DFT 6 6
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Método de Decimação na Frequência
Reescrevendo a formula da DFT 7 7
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Método de Decimação na Frequência
Modificando o limite da somatória do termo da direita 8 8
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Método de Decimação na Frequência
Modificando a variável de para n: 9 9
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Método de Decimação na Frequência
Avaliando-se o coeficiente 10 10
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Método de Decimação na Frequência
Finalmente temos a representação da DFT: 11 11
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Método de Decimação na Frequência
Realizando-se a mudança de variável de k=0,...,(N-1) para m=0,...,(N/2-1) Se k=2m (um número par) Se k=2m+1 (um número impar) 12 12 12
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Se k=2m (um número par) 13 13
14
Se k=2m+1 (um número impar)
14 14
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Notação das operações 15 15
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Núcleo básico da FFT (operação borboleta - butterfly)
Para uma FFT de tamanho N=2 O número de fatores de giro ( ) na i-ésima etapa é P=2M-i Para cada etapa, o número “t ” nos fatores de giro é 16 16
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Se x[n] é uma sequência de N=4 amostras
m=0,...,(N/2-1) Desenvolvendo a somatória m=0,1 17 17
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Núcleo básico da FFT (operação borboleta - butterfly)
Para uma FFT de tamanho N=4=22, M=2 Na etapa 1, P=2M-1=22-1=2 fatores de giro Na etapa 2, P=2M-2=22-2=1 fator de giro 18 18
19
Se x[n] é uma sequência de N=4 amostra
Para m=0 Para m=1 19 19 19
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Se x[n] é uma sequência de N=4 amostra
Primeira Iteração 20 20 20
21
Se x[n] é uma sequência de N=4 amostra
Segunda Iteração 21 21 21
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Se x[n] é uma sequência de N=8 amostra
m=0,...,(N/2-1) Desenvolvendo a somatória m=0,1,2,3 22 22
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Núcleo básico da FFT (operação borboleta - butterfly)
Para uma FFT de tamanho N=8=23, M=3 Na etapa 1, P=2M-1=23-1=4 fatores de giro Na etapa 2, P=2M-2=23-2=2 fatores de giro Na etapa 3, P=2M-3=23-3=1 fator de giro 23 23
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Para m=0 (etapa 1) 24 24 24
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Para m=1 (etapa 2) 25 25 25
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Para m=2 (etapa 3) 26 26 26
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A FFT de uma sequência de 8 pontos
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Transformada Rápida de Fourier Método da Decimação no Tempo
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Método de Decimação no Tempo
Neste algoritmo se divide a sequência x[n] em índices pares x[2m] e impares x[2m=1] 30 30
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Método de Decimação no Tempo
Usando a relação Definem-se novas funções: 31 31
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Método de Decimação no Tempo
Substituindo-se as novas funções temos que a primeira metade da DFT pode ser calculada por: Sendo que: A segunda metade é calculada por: 32 32
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Núcleo básico da FFT (operação borboleta - butterfly)
Para uma FFT de tamanho N=2 O número de fatores de giro ( ) na i-ésima etapa é P=2i-1 Para cada etapa, o número “t ” nos fatores de giro é 33 33
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Núcleo básico da FFT (operação borboleta - butterfly)
Para uma FFT de tamanho N=8=23, M=3 Na etapa 1, P=21-1=20=1 fator de giro Na etapa 2, P=22-1=2 fatores de giro Na etapa 3, P=23-1=4 fatores de giro 34 34
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Para uma sequência x[n] de 8 pontos
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Comparação do Custo Computacional entre a DFT e a FFT
Características DFT de N pontos FFT de N pontos Algoritmo Solução de N equações com N variáveis 0,5N borboletas/etapa P etapas Total de borboletas = 0,5P.N Multiplicações N por equação 1 por borboleta Somas N-1 por equação 2 por borboleta Total de multiplicações N2 0,5*N*Log2(N) Total de somas N(N-1) N.log2(N) 36 36
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