BUFFON Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788) Educado em Medicina e Direito Escreveu Historie Naturelle, 44 volumes e Les Epoques de la Nature.

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1 BUFFON Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788) Educado em Medicina e Direito Escreveu Historie Naturelle, 44 volumes e Les Epoques de la Nature.

2 Agulhas de Buffon A experiência de Buffon consiste em jogar ao acaso agulhas em um grid de retas paralelas. Sabendo-se a distância entre elas e o comprimento da agulha, calcula-se a probabilidade delas se cruzarem e, com o valor obtido, estima-se a constante π. A Teoria Existem três possibilidades: 1. L<W 2. L=W 3. L>W Neste trabalho estaremos considerando apenas as duas primeiras, como Buffon em sua experiência A Experiência

3 Agulhas de Buffon Caso I Seja L<W Se a agulha cair formando um ângulo  radianos com a direção das retas, então, na verdade, o comprimento da agulha é lsin . E, dado , temos: n = ƒ(  )= l sin  /w Onde n é o número de vezes que a agulha cruza uma das retas. Só é necessário considerar  no intervalo (0, π). Assim temos: Pr=   ƒ(  )p(  )d  =   (lsin  / w)*( 1/π)*d  = (l/πw)*[-cos  ] π = 2l/ πw Essa é a probabilidade da agulha cruzar uma das retas no caso 1. Sabendo o número de vezes que isso acontece, faz-se os cálculos e estima-se π.

4 Agulhas de Buffon Caso II Seja L=W. Digamos, como exemplo, que L=W=1. Então: Como na situação anterior, estaremos considerando θ no intervalo (0, π). Vemos pelo desenho que a agulha cruzará a reta se: D  ½sin θ Mas qual é a probabilidade disso ocorrer?

5 Agulhas de Buffon Caso II Plotando D na ordenada e ½ sin θ calculado com θ no intervalo de 0 a π na abcissa, temos o gráfico abaixo, com a curva representando o “acerto”. Assim, a probabilidade do acerto é a porção azul sobre todo o retângulo. A área da parte azul é encontrada calculando-se: Aa=   ½*sin θ *d θ = 1 A área do retângulo inteiro é: At=½*π Então, a probabilidade desse acerto é: Pr=1/(π/2) = 2/π Voltar Clique aqui para ver simula ç ão no Sketchpad