GEOMETRIA ESPACIAL GEOMETRIA DE POSIÇÃO.

Apresentação em tema: "GEOMETRIA ESPACIAL GEOMETRIA DE POSIÇÃO."— Transcrição da apresentação:

1 GEOMETRIA ESPACIAL GEOMETRIA DE POSIÇÃO

2 Noções primitivas Um ponto não tem dimensão, nem massa, nem volume.
Podemos imaginar um ponto ao ver um pequeno furo em uma folha de papel. Uma reta não tem espessura, nem começo, nem fim. Podemos imaginar uma reta ao ver uma linha fina esticada, como a linha de uma pipa.

3 Noções primitivas Um plano não tem espessura nem fronteiras.
Podemos imaginar um plano ao ver as águas tranquilas de um lago. Vamos representar: os pontos por letras maiúsculas (A, B, C, ...); as retas por letras minúsculas (r, s, t, ...); os planos por letras gregas minúsculas (a, b, g, ...).

4 É o conjunto dos infinitos pontos existentes.
Espaço É o conjunto dos infinitos pontos existentes.

5 Definição de figura Qualquer conjunto de pontos, com pelo menos um ponto considerado no espaço, é chamado de figura.  Figura I Figura III Figura II Figura IV

6 Pontos coplanares Dois ou mais pontos são denominados coplanares se existe um plano que contém todos eles. Exemplo Os pontos A, B, C e D são coplanares. Em linguagem simbólica: A ∈ , B ∈ a, C ∈ a e D ∈ a. O ponto P não é simultaneamente coplanar a A, B, C e D, pois P não pertence ao plano a; em linguagem simbólica: P ∉ a.

7 Pontos colineares Dois ou mais pontos são ditos colineares se existe uma reta que contém todos eles. Exemplo Os pontos A, P e M são colineares, pois pertencem à reta r. Em linguagem simbólica, indicamos assim: A ∈ r, P ∈ r e M ∈ r. 

8 não recebe nome especial
Pontos coplanares Figura Pontos Plana / Não plana Representação 4 pontos coplanares plana não recebe nome especial infinitos pontos linha superfície não plana sólido

9 Os postulados: um ponto de partida da Geometria
POSTULADO OU AXIOMAS: Verdades iniciais aceitas sem demonstração P1. O espaço tem infinitos pontos.  P2. Toda reta e todo plano são conjuntos de infinitos pontos.  P3. Fora de uma reta, bem como fora de um plano, há infinitos pontos.  P4. Dois pontos distintos determinam uma única reta.

10 Os postulados P5. Postulado de Euclides: Por um ponto P fora de uma reta r passa somente uma reta s paralela a r. P6. Três pontos não colineares determinam um único plano. Plano a ou plano (PQR)

11 Os postulados P7. Se dois pontos distintos estão em um plano, a reta que passa por eles está contida nesse plano. Observações Quando uma reta está contida em um plano, todos os pontos que pertencem à reta também pertencem ao plano. Dada uma reta r que passa por dois pontos, A e B, como mostra a figura acima, ela pode ser representada por r ou AB.

12 Os postulados P8. Se dois planos distintos, a e b, se interceptam, a intersecção é uma reta. Teorema 1 Dada uma reta m e um ponto X fora dela, existe um único plano que contém o ponto X e a reta m.

13 Exemplos 1. Classifique cada sentença em verdadeira (V) ou falsa (F).
a) Dois pontos determinam uma única reta. b) Três pontos, dois a dois distintos, determinam um único plano. Resolução a) Sabemos que dois pontos podem ser coincidentes ou distintos. Se dois pontos são distintos, determinam uma única reta.

14 Resolução Se dois pontos são coincidentes, existem infinitas retas passando por eles. Portanto, a afirmação é falsa.  b) Já vimos que três pontos, dois a dois distintos, podem ser colineares ou não colineares.  Sabemos que por três pontos, dois a dois distintos, colineares, passam infinitos planos, e que três pontos, dois a dois distintos, não colineares, determinam um único plano; logo, a afirmação é falsa.

15 Exemplos 2. Na figura abaixo, pintar de vermelho o plano determinado pelos pontos M, S e T e de verde o plano determinado pelo ponto M e pela reta PQ. Resolução

16 retas paralelas distintas
Posição relativa entre retas – RETAS PARALELAS Duas retas, r e s, são paralelas se têm todos os pontos comuns (coincidem) ou se estão em um mesmo plano a e não têm nenhum ponto comum (intersecção vazia). Em linguagem simbólica, podemos escrever: r // s ⇔ r  s ou r ⊂ a, s ⊂ a e r ∩ s = Ø Duas retas paralelas não coincidentes determinam um único plano. retas coincidentes retas paralelas distintas (não coincidentes)

17 Posição relativa entre retas – RETAS CONCORRENTES
Duas retas, r e s, são concorrentes quando têm apenas um ponto P comum. Para indicar simbolicamente que r e s são concorrentes, escrevemos: r ∩ s = {P}. Observação Duas retas concorrentes também determinam um plano. Se duas retas, r e s, são concorrentes em um ponto P, então elas determinam um único plano a.

18 Posição relativa entre retas – RETAS REVERSAS
Duas retas, r e s, são reversas (ou não coplanares) quando não existe um mesmo plano que as contenha. Em linguagem simbólica, escrevemos: ∄ a tal que r ⊂ a e s ⊂ a. Exemplo Não existe um mesmo plano que contenha as retas r e s, ou seja, elas são reversas. As retas r e s não têm nenhum ponto comum, ou seja, r ∩ s = Ø.

19 Posição relativa entre RETA E PLANO
Uma reta r e um plano a são paralelos se a reta r está contida no plano a ou se a reta r e o plano a não têm nenhum ponto comum. Em linguagem simbólica, podemos escrever: r // a ⇔ r ⊂ a ou r ∩ a = Ø

20 Posição relativa entre RETA E PLANO
Uma reta r e um plano a são concorrentes (ou secantes) quando r e a têm somente um ponto em comum.  Em linguagem simbólica, escrevemos: r ∩ a = {P}

21 planos paralelos distintos
Posição relativa entre PLANOS Dois planos, a e b, são paralelos se coincidem (têm todos os pontos comuns) ou se não têm nenhum ponto comum. Em linguagem simbólica, podemos escrever: a // b ⇔ a ≡ b ou a ∩ b = Ø planos paralelos distintos (não coincidentes) planos coincidentes

22 Posição relativa entre PLANOS
Dois planos distintos, a e b, são secantes (ou concorrentes) quando têm uma reta em comum (intersecção não vazia). a ∩ b = r a ∩ b = AB

23 Algumas propriedades 1a propriedade: Pelo ponto P, não pertencente a a, passa um único plano b paralelo a a. 2a propriedade: Se r ⊄ a e é paralela a s de a, então r é paralela a a. 3a propriedade: Se r é paralela a a e β, sendo que a ∩ β = s, então r é paralela a s.

24 Propriedades 4a propriedade: Se a é um plano paralelo a duas retas, r e s, contidas em um plano b, tais que r ∩ s = {P}, então a é paralelo a b. 5a propriedade: Se dois planos são paralelos e distintos, então qualquer reta contida em um deles é paralela ao outro.

25 Propriedades 6a propriedade: Se a intercepta b e g, b // g, então as intersecções r e s de a com esses planos são retas paralelas.

26 Exemplos Considerando os pontos destacados na figura ao
lado, faça o que se pede. a) Identifique um par de retas paralelas, um par de retas reversas e um par de retas nem paralelas nem reversas. b) Qual é a posição relativa entre a reta CJ e o plano que contém a face CDJI? c) Identifique dois planos paralelos por meio de três pontos não colineares.

27 Resolução a) Respostas possíveis: retas paralelas: CI e DJ ; retas reversas: IJ e DF ; retas que não são paralelas nem reversas: JH e DF. b) A reta CJ está contida no plano que contém a face CDJI.  c) Resposta possível: planos (ABG) e (EFD).

28 Exemplos 2. Considerar a afirmação abaixo e verificar se é verdadeira ou falsa. Sejam  e  dois planos distintos e paralelos entre si. Se a intersecção do plano  com  e  são as retas r e s, respectivamente, então r e s são paralelas entre si.

29 Resolução Logo, r e s são paralelas entre si. Portanto, a afirmação é verdadeira.

30 Retas perpendiculares
Duas retas, r e s, são perpendiculares quando são concorrentes e determinam quatro ângulos retos. r ⊥ s (lemos “a reta r é perpendicular à reta s”)

31 Retas ortogonais Duas retas, r e s, são ortogonais quando existe uma reta t que é paralela (não coincidente) a s e perpendicular a r.  Exemplo As retas AB e CM são ortogonais, pois a reta PM é paralela a AB e é perpendicular a CM.  Observação: Se duas retas são ortogonais, também são reversas. 

32 Reta e plano perpendiculares
Dados uma reta r e um plano , concorrentes no ponto P, dizemos que r é perpendicular a  quando r é perpendicular a todas as retas de a que passam por P.

33 Planos perpendiculares
Dois planos, a e , são perpendiculares quando um deles contém uma reta r perpendicular ao outro plano.

34 Projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta
A projeção ortogonal de um ponto P sobre uma reta r é o ponto P’, que é a intersecção de r com a reta perpendicular a r que passa por P. Observação Caso o ponto P pertença a r, sua projeção ortogonal sobre r é o próprio P.

35 Projeção ortogonal de um ponto sobre um plano
A projeção ortogonal de um ponto A sobre um plano a é o ponto A’, que é a intersecção, com esse plano, da reta que passa por A e é perpendicular a a. Observação Caso o ponto A pertença a a, sua projeção ortogonal sobre esse plano é o próprio A.

36 Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano
Vamos considerar uma reta r e um plano a. Se r ⊥ a, com r ∩ a = A}, então a projeção ortogonal de r sobre a é o ponto A. Se a reta r não é perpendicular ao plano a, então a projeção ortogonal de r sobre a é a reta s determinada pela projeção de dois pontos distintos de r sobre a

37 Projeção ortogonal de uma reta sobre um plano
Observação A projeção ortogonal sobre um plano a de um segmento AB, cuja reta que o contém (reta suporte) não é perpendicular ao plano a, é o segmento A’B’.

38 Projeção ortogonal de uma figura qualquer sobre um plano
A projeção ortogonal de uma figura, plana ou não plana, sobre um plano é a figura formada pelas projeções ortogonais dos pontos dessa figura sobre esse plano.

39 Exemplos de projeção ortogonal
No cubo ao lado: a) a projeção ortogonal do ponto C sobre o plano (ABE) é o ponto A; b) a projeção ortogonal do ponto C sobre o plano (ACE) é o próprio ponto C; c) a projeção ortogonal do segmento CD sobre o plano (ABE) é o segmento AB ;  d) a projeção ortogonal do segmento AD sobre o plano (ABE) é o segmento AB ; e) a projeção ortogonal do segmento AC sobre o plano (ABE) é o ponto A.