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ESTATÍSTICA I. Estat í stica I Antonio A. Crespo define Estatística como : Estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta,

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1 ESTATÍSTICA I

2 Estat í stica I Antonio A. Crespo define Estatística como : Estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, a organização, a descrição, a análise e a interpretação de dados quantitativos e qualitativos, e a utilização desses dados para a tomada de decisão. Defini ç ão

3 An á lise Explorat ó ria de Dados Introdu ç ão AES

4 An á lise Explorat ó ria de Dados Utilidade da Estatística na Gestão A Estatística permite: Resolver problemas mediante a coleta de dados de boa qualidade Argumentar utilizando dados Analisar e interpretar dados Detectar situações fora de controle e outras fontes de dificuldades que requerem atenção e medidas corretivas Coletar evidências para fins legais Determinar ociosidade de recursos e eficiência na utilização dos mesmos Determinar custos de atividades, de produtos, de unidades organizacionais etc Melhorar a qualidade de dados, desempenhos, decisões, ações, produtos, processos e serviços

5 An á lise Explorat ó ria de Dados Algumas Dificuldades com a Estatística Culturais / Rejeição às "matemáticas" / Contato prematuro inadequado Invisibilidade da Estatística Armadilha da atividade

6 M é todo Estat í stico O método estatístico, diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admite todas as causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no resultado final, que influências cabem a cada uma delas.

7 M É TODO ESTAT Í STICO As fases são : Coletas de dados : é a obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com um objetivo determinado. Direta : quando é obtida diretamente da fonte e pode ser : - Contínua : Obtida ininterruptamente - Registro de nascimentos, etc. - Periódica : em períodos curtos - Censos - Ocasional : esporadicamente - Surto epidêmico Indireta : Quando é inferida ( deduzida ) a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta - Mortalidade infantil

8 M É TODO ESTAT Í STICO Crítica dos dados : devem ser criticados à procura de erros grosseiros ou de certos vultos, que possam influir sensivelmente nos resultados como: - Externa :Informante - Interna :dados da coleta Apuração dos dados :é a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação. AES

9 M É TODO ESTAT Í STICO Exposição dos dados :devem ser apresentados sob forma de tabelas ou gráficos tornando mais fácil e compreensão do objeto de tratamento estatístico Análise dos resultados :É o estudo dos resultados com o objetivo de tirar conclusões sobre o todo (população), a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo ( amostra). AES

10 Popula ç ão e Amostra Popula ç ão : é o conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma caracter í stica comum Amostra : é um subconjunto finito de uma popula ç ão

11 POPULA Ç ÃO E AMOSTRA Devido a quantidade excessivamente grande de elementos que constantemente fazem parte da popula ç ão, trabalhamos com uma amostra. O aspecto comum dentre todas as t é cnicas existentes é a aleatoriedade, isto é, a igual chance que cada elemento da popula ç ão deve ter de ser escolhido, as principais: a) Casual Simples -sorteio b) Sistem á tica -Os elementos j á se encontram ordenados e então, sorteamos um n ú mero e sistematicamente os outros ficam determinados c) Estratificada - Quando a popula ç ão esta dividida em estratos de acordo com o fato em estudo

12 Vari á vel Variável - é convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Tipos de variáveis:

13 Vari á vel Exemplo ( Variáveis em uma ficha cadastral PF ) VariávelTipo 1Número de dependentes Quantitativa, discreta 2Idade Quantitativa, contínua 3Local de nascimento Qualitativa, nominal 4Nível educacional Qualitativa, ordinal AES

14 Vari á vel DISCRETA - É uma representação tabular de um conjunto de valores em que colocamos na primeira coluna em ordem crescente apenas os valores distintos de série e na segunda coluna colocamos os valores das freqüências simples correspondentes. Devemos optar por uma variável discreta na representação de uma série de valores quando o número de elementos distintos da série for pequeno x i = n ú mero de filhos f i = freq ü ência absoluta total22

15 Vari á vel CONTÍNUA - É uma representação tabular de um conjunto de valores em que colocamos na primeira coluna faixa de valores agrupados em ordem crescente da série e na segunda coluna coloca os valores das freqüências simples correspondentes. Devemos optar por uma variável contínua na representação de uma série de valores quando o número de elementos distintos da série for grande. xi = n ú mero de filhos fi = freq ü ência absoluta 2 / / / / total30 AES

16 Conceitos a serem aplicados - Amplitude total de uma seqüência = é a diferença entre o Limite superior e o Limite inferior de uma seqüência. At = Ls – Li - Intervalo de Classe = é qualquer subdivisão da amplitude total de uma série estatística. 2 / Limite de Classe = cada intervalo de classe fica caracterizado por dois números reais. O menor valor chamado de Limite inferior (Li) da classe e o maior valor chamado de Limite superior (Ls) da classe. 2 = Li e 4 = Ls - Amplitude do intervalo de classe = é a diferença entre o Ls e o Li do intervalo de classe. A = Ls – Li 4-2 = 2 A = 2 - Freqüência simples ou absoluta de uma classe (fi) = é o número de elementos da seqüência que são maiores ou iguais ao Li desta classe e menores que o Ls desta classe.

17 Distribui ç ão de Freq ü ências Freqüência Relativa (fi r %) = é a divisão da freqüência simples deste elemento pelo número total de elementos da série: fi r = fi / n onde n ou somatória de fi, é o número total de elementos da série. Ex: fi r = 4 / 30 = 0,1333 ou 13,33%

18 Distribui ç ão de Freq ü ências Freq ü ência Acumulada direta (f ad ) = é a soma de f i simples deste elemento com as f i dos elementos que o antecedem. f ad = fi 1 + fi 2 + fi 3...fi n Freq ü ência acumulada relativa (f r ) ou percentual = é a divisão da freq ü ência acumulada deste elemento pelo n ú mero total de elementos da s é rie. AES

19 Distribui ç ão de Freq ü ências xififi f i %f ad F ad % 013, ,67620, , ,342273, ,332686, , Total30100 AES

20 Distribui ç ão de Freq ü ências xififir%fiacfirac% 2 / ,334 4 / ,001653,33 6 / ,342686,67 8 / , Total30100

21 Representa ç ão Gr á fica - Histograma

22 Histograma Área = 1.00 ( ou 100% ) Área ~ freqüência ( f ou p ) Classes de mesma amplitude : altura ~ freqüência ( f ou p ) Notas : Histograma é a representação gráfica adequada para o caso de variáveis contínuas Pode ser utilizada para variáveis discretas agrupadas em classes

23 Representa ç ão Gr á fica Pol í gono de % acumulada

24 Mostra a porcentagem de empresas cujo recolhimento de tributos é menor ou igual a um dado valor Podemos ter também: Polígono de freqüências acumuladas Polígono de proporções acumuladas

25 Alguns Padrões de Histogramas

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30 AES

31 Tendência Central de um conjunto de dados é a tendência das medidas destes dados em se acumular em torno de certos valores numéricos. Medidas de Tendência Central

32 É a soma das medidas dividida pelo número de elementos do conjunto de dados. Vantagens – reflete cada valor e possui propriedades matemáticas atraentes. Limitações – é influenciada por valores extremos. Medidas de Tendência Central

33 Exemplo : Calcule a média dos seguintes grupos de dados: 1, 2, 3, 4, 5 e 2, 3, 3, 3, 4 Medidas de Tendência Central

34 Mediana - Para números aleatórios É o valor intermediário de um conjunto de medidas colocadas em ordem crescente (ou decrescente). Vantagens - muito interessante para grande massa de dados - divide a área do histograma em partes iguais. -menos suscetível a valores extremos. Limitações – difícil de determinar para grande quantidade de dados. Medidas de Tendência Central

35 Média e Mediana Sua comparação indica a assimetria da distribuição. Mediana Média Medidas de Tendência Central

36 Moda - Para números aleatórios É a medida que ocorre com maior freqüência no conjunto de dados. –Exemplo: notas de degustadores de vinho: 8, 7, 9, 6, 8, 10, 9, 9, 5, 7. Moda: 9 Medidas de Tendência Central

37 Moda Vantagens - indica onde os dados tendem a se concentrar. - útil para dados qualitativos (Ex. notas de jurados). -pode haver mais de uma ou não ter sentido (Ex. pesquisa de lazer). Limitações -não se presta a análise matemática; - pode não ser moda para certos conjuntos de dados. Medidas de Tendência Central

38 Exemplo: Preferência do produto A (em %) colhida em diversas regiões do Brasil por meio de uma pesquisa de mercado. 56, 63, 64, 65, 66, 69, 71, 57, 64, 66, 64, 65, 66, 66, 68 e 72. N = 16 x = 1042 Média = 65,125 Mediana = 65,5 Moda =66 Medidas de Tendência Central

39 Média Para variáveis discretas Se os dados estão apresentados na forma de uma variável discreta, utilizamos a média ponderada, considerando as freqüências (fi) como sendo as ponderações dos elementos (xi) correspondentes. xi = n ú mero de filhos fi = freq ü ência absoluta fi * xi total2247 M é dia = 47 / 22 = 2,14 filhos Medidas de Tendência Central

40 Mediana para variáveis discretas Para encontrarmos a mediana, dividimos por dois o total das freqüências absolutas ( 22 / 2 = 11) e calculamos a Freqüência acumulada (fiac) Procuramos qual xi que conta o número (11) na Fi xi = 2 xi = n ú mero de filhos fi = freq ü ência absoluta fiac Mediana = 2612 (11) total22 Mediana = 2 filhos Medidas de Tendência Central

41 Moda para variáveis discretas Para encontrarmos a moda, basta verificar o elemento xi de maior freqüência (fi). xi = n ú mero de filhos fi = freq ü ência absoluta Moda = 310 total22 Moda = 3 filhos Medidas de Tendência Central

42 Média para variáveis contínuas Se os dados estão apresentados na forma de uma variável contínua,utilizaremos a média aritmética ponderada, considerando as freqüências (fi) de cada classe ponderando com o ponto médio destas classe. PM = ((Li + LS) / 2) Média = Somatória de PM*fi / somatória de fi 178 / 30 = 5,93 filhos xi = n ú mero de filhos Ponto M é dio (PM) fi = freq ü ência absoluta PM * fi 2 / / / / total30178 Medidas de Tendência Central

43 xi = n ú mero de filhosfi = freq ü ência absoluta fiac 2 / / (15) 6 / / total30 Mediana para variáveis contínuas Para encontrarmos a mediana, dividimos por dois o total das freqüências absolutas ( 30 / 2 = 15) e calculamos a Freqüência acumulada (fiac) Procuramos qual xi que conta o número (15) na fiac xi = 4 /---6 Este será o intervalo que usaremos como base para resolvermos a fórmula da mediana. Medidas de Tendência Central

44 Mediana para variáveis contínuas Fórmula da Mediana para variáveis contínuas Onde : Li = Limite inferior do intervalo de classe 4 n = Total de fi 30 fiac ant = freq ü ência acumulada anterior ao intervalo de classe 4 fi = freq ü ência do intervalo de classe 12 h = amplitude da classe = Ls – Li 6 – 4 = 2 Medidas de Tendência Central

45 Mediana para variáveis contínuas Então : Obs: o valor obtido pela fórmula é um valor aproximado Medidas de Tendência Central

46 Moda para variáveis contínuas Fórmula da Moda para variáveis contínuas Onde : Li = Limite inferior do intervalo de classe 4 fi post = freq ü ência absoluta posterior ao intervalo de classe 10 fi ant = freq ü ência absoluta anterior ao intervalo de classe 4 h = amplitude da classe = Ls – Li 6 – 4 = 2 Medidas de Tendência Central

47 Moda para variáveis contínuas Então: Medidas de Tendência Central

48 Exercícios de aplicação A média mínima para aprovação de determinado produto é 5,0 ppm de Ni. Se um analista, obtem os resultados 7,5; 8,0; 3,5; 6,0; 2,5; 2,0; 5,5 e 4,0 nas análises de diversas amostras em questão, pergunta se: pode ele aprovar o produto? Calcule a mediana da seguinte distribuição de freqüência: custos ($) fi

49 São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade ou dispersão, dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média. Desvio Médio Variância Desvio-Padrão Coeficiente de variação Medidas de Dispersão

50 Desvio Médio = é a média dos desvios dos valores a contar de média. Ignorando-se o sinal de diferença.fi Medidas de Dispersão

51 Variância = é a média dos quadrados dos desvios dos valores a contar da média, calculada usando-se n-1 em lugar de n, como fator de ajuste fi Medidas de Dispersão

52 Desvio-padrão = é simplesmente a raiz quadrada positiva da variância. Medidas de Dispersão

53 Coeficiente de variação = trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média de séries distintas. Medidas de Dispersão

54 xi = n ú mero de filhos fixi * fixi - x/xi-x/ * fi(xi-x) 2 * fi 010-2,142,144, ,145,76, ,140,840, ,868,67,40 total224717,2818,6 M é dia=2,14 DM =0,79 S 2 =0,89 S =0,94 CV =43,93% Para vari á veis cont í nuas xi = PM Medidas de Dispersão

55 Exercícios de aplicação

56 Freqüência e probabilidade Eventos Definição subjetiva de probabilidade Probabilidade

57 Resultados do lançamento de um dado (n=10 lançamentos) Resultado do dado Número de ocorrências do resultado (f) Freqüência (f/n) ,1 ou 10% 0 0,1 ou 10% 0,2 ou 20% 0,3 ou 30% Freqüência é o percentual de ocorrencia de uma determinada observação dentro de uma amostra

58 Resultados do lançamento de um dado Resultado do dado Número de ocorrências do resultado (f) Freqüência (f/n) 1/6 * n 16,7% Núm. de ocorrências do resultado (f) Freq. Rela(f/n) ,22 ou 22% 0,12 ou 12% 0,14 ou 14% 0,24 ou 24% n = 50 lançamentos n = Portanto, a probabilidade pode ser encarada como o limite da freqüência de um determinado evento dentro da população em estudo A medida que a amostra cresce, a freqüência se estabiliza: temos então a probabilidade

59 n = 10 n = 50n = infinito Representação gráfica dos resultados obtidos no lançamento repetido de um dado (n = número de lançamentos) A freqüência pode ser representada graficamente

60 Freqüência e probabilidade Eventos –Representações gráficas –Compostos –Condicionais –Dependentes e independentes Definição subjetiva de probabilidade Probabilidade

61 Diagrama de árvore Diagrama de Venn Formas de representação gráfica de eventos

62 Representação dos eventos possíveis para o sexo de cada criança de um casal que tenha três filhos Criança 1Criança 2Criança 3 M F Resultado final M F M F M F M F M F M F M, M, M M, M, F M, F, M M, F, F F, M, M F, M, F F, F, M F, F, F A árvore permite a representação exaustiva dos eventos

63 Agrupamento de casais segundo o sexo dos filhos Casais com meninos somente Casais com meninas somente Casais com meninos e meninas O diagrama de Venn é adequado ao agrupamentos dos eventos de interesse

64 M F M F M M M M M F F F F F M F M F M M M M M F F F F F M F Agrupamento de casais com quatro filhos e pelo menos duas meninas M, M, M, M M, M, M, F M, M, F, M M, M, F, F M, F, M, M M, F, M, F M, F, F, M M, F, F, F F, M, M, M F, M, M, F F, M, F, M F, M, F, F F, F, M, M F, F, M, F F, F, F, M F, F, F, F Agrupamento dos resultados que apresentem ao menos duas meninas. A combinação dos diagramas de árvore e de Venn permite representações mais complexas

65 Probabilidade de ocorrência do número 6 em um lançamento de dado, condicionado ao resultado anterior ter sido 3. Probabilidade de ocorrência do número 6 em um lançamento de dado, condicionado ao resultado anterior ter sido 3. Exemplo de evento independente Resultado Resultado 2Probabilidade 1/6 O resultado conhecido do primeiro lançamento não altera a probabilidade de ocorrência do número 6 no segundo lançamento Mais formalmente, o evento B é independente se: P(B) = P(B | A) O resultado conhecido do primeiro lançamento não altera a probabilidade de ocorrência do número 6 no segundo lançamento Mais formalmente, o evento B é independente se: P(B) = P(B | A) Lançamento já realizado e resultado conhecido! Dependência e independência são termos que obedecem a regras precisas

66 Exemplo de evento dependente Probabilidade de uma pessoa consumir requeijão e manteiga, dado que ela consome manteiga Exemplo de evento dependente Probabilidade de uma pessoa consumir requeijão e manteiga, dado que ela consome manteiga Requeijão (R)Manteiga (M) R M = 50 Não é consumidor: 20 O resultado conhecido do consumo de manteiga altera a probabilidade de ocorrência do consumo dos dois produtos Mais formalmente, o evento B é dependente se:P(B) P(B | A) P(R M) = 50/300 = 1/6 P(R M | M) = (50/300) / (200/300) = 1/4 Dependência e independência são termos que obedecem a regras precisas

67 Um casal com três crianças ter somente meninos Um casal com três crianças ter uma ou duas meninas Um consumidor comprar requeijão e manteiga Exemplos de eventos compostos Eventos compostos são formados por dois ou mais eventos

68 Uma pesquisa com 300 pessoas, realizada em um supermercado, teve os seguintes resultados: –130 pessoas consomem requeijão –200 pessoas consomem manteiga –50 pessoas consomem os dois produtos –20 pessoas não consomem nenhum dos dois Sabendo que uma pessoa escolhida ao acaso é consumidora de manteiga, qual é a probabilidade de que ela também consuma requeijão? Uma pesquisa com 300 pessoas, realizada em um supermercado, teve os seguintes resultados: –130 pessoas consomem requeijão –200 pessoas consomem manteiga –50 pessoas consomem os dois produtos –20 pessoas não consomem nenhum dos dois Sabendo que uma pessoa escolhida ao acaso é consumidora de manteiga, qual é a probabilidade de que ela também consuma requeijão? Descrição do caso Requei- jão Sim Não Total Sim Não To- tal Manteiga Tabela de respostas O termo eventos condicionais indica que a ocorrência de um está condicionada à do outro

69 Antes da escolha do consumidor Requeijão (R) Manteiga (M) R M = 50 Não é consumidor: 20 Probabilidade de a pessoa ser consumidora dois produtos: P(R M) = 50/300 = 1/6 Neste caso, a incerteza é total. Você não sabe nada sobre a pessoa que foi escolhida. Portanto, a probabilidade de que ela consuma os dois produtos é simplesmente a freqüência de ocorrência desse tipo de consumidor na amostra Após a escolha do consumidor 200 Manteiga (M) R M = 50 Probabilidade de a pessoa ser consumidora dois produtos, condicionado a ela consumir manteiga: P(R M | M) = 50/200 = 1/4 Neste caso, você sabe que pessoa consome manteiga, portanto os outros grupos de consumidores não devem ser considerados no cálculo. Em outras palavras, uma parte da incerteza foi eliminada. Probabilidade de a pessoa ser consumidora dois produtos, condicionado a ela consumir manteiga: P(R M | M) = 50/200 = 1/4 Neste caso, você sabe que pessoa consome manteiga, portanto os outros grupos de consumidores não devem ser considerados no cálculo. Em outras palavras, uma parte da incerteza foi eliminada. Sinal condicionado a Em casos como esse, uma parte da incerteza já foi eliminada

70 Probabilidade de um time ganhar de outro em uma partida de futebol Probabilidade de o mercado acionário subir amanhã Probabilidade de o lançamento de um novo produto ser um sucesso Exemplos de eventos cuja probabilidade de ocorrência não pode ser (facilmente) determinada Evento Probabilidade não pode ser determinada Probabilidade pode ser estimada através de pesquisa de mercado, porém: Estudo pode ser muito caro Pesquisa não fornece, nem pode fornecer, 100% de certeza sobre o resultado do lançamento do produto Comentário Às vezes, não se pode determinar a probabilidade de um evento, ou pode ser muito demorado e custoso fazê-lo

71 Distribuição de probabilidade Distribuições descontínuas de probabilidade –Binomial –Poisson Distribuições contínuas de probabilidade –Normal Probabilidade

72 Distribuição de probabilidade –Uma distribuição de probabilidade é uma distribuição de freqüências para os resultados de um espaço amostral (isto é, para os resultados de uma variável aleatória). Probabilidade

73 Distribuições descontínuas de probabilidade – Binomial – Usa-se o termo binomial para designar situações em que os resultados de uma variável aleatória podem ser agrupados em duas classes ou categorias. –A utilização da binomial, exige certas hipótese como: Há n observações ou provas idênticas Cada prova tem dois resultados possíveis, um chamado sucesso e o outro fracasso. As probabilidades p de sucesso e 1 – p de fracasso permanecem constantes em todas as provas. Os resultados das provas são independentes uns dos outros. Probabilidade

74 Distribuições descontínuas de probabilidade –Fórmula da Binomial x n-x Onde: n = numero de amostras x = número de sucesso p(s) = percentual de sucesso p (f) = percentual de fracasso Probabilidade

75 Binomial – suponha que 8% dos cachorros-quentes vendidos num estádio de beisebol sejam pedidos sem mostarda. Se sete pessoas pedem cachorro-quente, determine a probabilidade de que: –Todos queiram mostarda –Apenas um não queira x n-x Exemplo

76 07 a- = 0,5578 b- = 0, Exemplo

77 Distribuição de probabilidade Distribuições descontínuas de probabilidade – Poisson – É útil para descrever as probabilidades do número de ocorrências num campo ou intervalo contínuo (em geral tempo ou espaço). –A utilização da Poisson, exige certas hipótese como: A probabilidade de uma ocorrência é a mesma em todo o campo de observação. A probabilidade de mais de uma ocorrência num único ponto é aproximadamente zero. O número de ocorrências em qualquer intervalo é independente do número de ocorrências em outros intervalos. Probabilidade

78 Distribuição de probabilidade Distribuições descontínuas de probabilidade –Formula de Poisson ! Onde: = média x = número de ocorrências e = valor tabelado Probabilidade

79 Poisson – Uma mesa telefônica recebe chamadas a razão de 4,6 chamadas por minuto. Determine a probabilidade de cada uma das ocorrências abaixo: 1- Exatamente 2 chamadas 2 -Nenhuma chamada 1 2 ! = 0,1063 ! = 0,0101 Exemplo

80 Distribuições contínuas de probabilidade –Normal – É a mais importante distribuição de probabilidade, sendo aplicada em inúmeros fenômenos e utilizada para desenvolvimento teórico da estatística. –As características das curvas normais são: A curva normal tem forma de sino É simétrica em relação a média Prolonga-se de – infinito a + infinito Cada distribuição normal fica completamente especificada por sua média e seu desvio padrão; há uma distribuição normal distinta para cada combinação de média e desvio padrão A área total sob a curva normal é considerado 100% A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos A área sob a curva entre a média e um ponto arbitrário é função do número de desvios padrões entre a média e aquele ponto. Probabilidade

81 Distribuições contínuas de probabilidade –Normal Fórmula amostra popula ç ão Onde: Z= n ú mero de desvios padrões a contar da m é dia X = valor arbitr á rio = a m é dia da distribui ç ão normal = o desvio padrão Probabilidade

82 Normal – dado que uma população com média 25 e desvio padrão 2 tem distribuição normal, determine os valores de z para os seguintes valores da população: a) 23,0 b)25,5 Corresponde a 0,3413 ou 34,13% da área sobre a curva normal ou a probabilidade, conforme tabela z Corresponde a 0,0398 ou 3,98% da área sobre a curva normal ou a probabilidade, conforme tabela z Exemplo

83 Regra de Chebyshev: Ao menos 3/4 estará dentro de 2 s. Ao menos 8/9 estará dentro de 3 s. P/ k>1, ao menos (1-1/k 2 ) das medidas cairá dentro de k desvios-padrão. Distribuição Normal Aproximadamente 68% das medidas caem dentro de 1 s. Aproximadamente 95% das medidas caem dentro de 2 s. Aproximadamente 99,7% das medidas caem dentro de 3 s. Desvio padrão : interpretação

84 Aplicações de todos os conceitos estudados em exercícios práticos


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