Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães

Apresentação em tema: "Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães"— Transcrição da apresentação:

1 Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães
Programação Linear Pesquisa Operacional Profa. Leila Jane Brum Lage Sena Guimarães

2 Pesquisa Operacional:
Tema da aula 11 Pesquisa Operacional: Programação Linear

3 Programação Linear Exemplo: Objetivo:
Maximizar o Lucro na Produção de Rádios Dados: Rádio Standard: A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas Cada rádio consome o trabalho de 1 pessoa por dia Lucro na produção de Rádio modelo Standard R$ 30,00 Dados: Rádio Luxo: A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas Cada rádio consome o trabalho de 2 pessoa por dia Lucro na produção de Rádio modelo Luxo R$ 40,00 Restrições Fábrica só dispõe de 40 empregados

4 Programação Linear Modelagem: Objetivo:
Maximizar o Lucro na Produção de Rádios Restrições (linha Standard) A linha de produção comporta um máximo de 24 pessoas ST ≤ 24n Cada rádio consome o trabalho de 1 pessoa por dia n = 1 ST ≤ 24 Lucro na produção de Rádio modelo Standard R$ 30,00 Lucro = 30ST Lucro Máximo: 30x24 = 720

5 Programação Linear Modelagem: Objetivo:
Maximizar o Lucro na Produção de Rádios Restrições (linha Luxo) A linha de produção comporta um máximo de 32 pessoas LX ≤ 32n Cada rádio consome o trabalho de 2 pessoa por dia n = 1/2 LX ≤ 32/2 LX ≤ 16 Lucro na produção de Rádio modelo Luxo R$ 40,00 Lucro = 40LX Lucro Máximo: 40x16 = 640,00

6 Programação Linear Modelagem: Objetivo:
Maximizar o Lucro na Produção de Rádios Lucro = 30ST + 40LX Lucro = Lucro = 1360 Restrições A Fábrica só conta com 40 Funcionários e no exemplo acima são necessários 24(modelo ST) 32 (Luxo ) o que totaliza 56 funcionários! ST+2LX ≤ 40 ST ≤ 24 LX ≤ 32

7 Modelo: Lucro = 30ST + 40LX Função Objetivo Sujeito a: ST+2LX ≤ 40 ST ≤ 24 Restrições LX ≤ 32 Solução ótima : O modelo Standard gera um lucro maior por trabalhador (30) do que o modelo luxo (40/2). Então Produzir o máximo de Standard (24) e o que sobrar luxo ST +2LX ≤ LX ≤ LX ≤ 2LX ≤ 16 LX = 16/2 LX = 8 Lucro = 30 * * 8 Lucro = Lucro = 1.040

8 Programação Linear Modelo: Função Objetivo Lucro = 30ST + 40LX
Sujeito a: ST+2LX ≤ 40 ST ≤ 24 Restrições LX ≤ 32

9 Programação Linear Solução ótima :
O modelo Standard gera um lucro maior por trabalhador (30) do que o modelo luxo (40/2). Então Produzir o máximo de Standard (24) e o que sobrar luxo ST +2LX ≤ LX ≤ LX ≤ 2LX ≤ 16 LX = 16/2 LX = 8 Lucro = 30 * * 8 Lucro = Lucro = 1.040 ST = 24, LX = 8 e Lucro = 1040

10 Programação Linear Método Gráfico: ST+2LX ≤ 40 ST+2LX = 40 LX 20 ST LX
20 40 ST + 2LX = 40 ST LX 20 ST + 2LX ST

11 Programação Linear LX ST ≤ 24 20 Valor máximo para LX ≤ 20 24 40 ST
16 Valor máximo para LT ≤ 40

12 Todas as Restrições Juntas
Programação Linear Todas as Restrições Juntas Região SIMPLEX ST LX 20 ST LX 20 16 16 24 24

13 Programação Linear Função Objetivo:
Lucro = 30ST + 40LX -40LX = 30ST –Lucro 40LX = -30ST + Lucro LX = -30ST + Lucro 40 LX = -30ST + Lucro LX = -3ST + Lucro Y = ax+b (equação da reta) -3ST Coeficiente Angular Lucro = Coeficiente Linear 4 (Inclinação da reta) (onde encontra o eixo Y) (Relação entre os Lucros)

14 Programação Linear lucros LX = 20 e ST = 0 LX Lucro = 40LX 20
LX = 0 e Lucro = 800 30ST = 800 ST = 800/30 ST = 26 Lucro = 800 26 ST

15 Programação Linear lucros LX 30 ST = 40 e LX = 0 Lucro = 30ST 20
30ST + 40LX = Lucro Lucro =1200 ST = 0 e Lucro = 1200 40LX = 1200 LX = 1200/40 LX = 30 Lucro = 800 ST

16 Programação Linear Reta mais longe da origem dentro da região Simplex
ST = 24, LX = 8 e Lucro = 1040 Melhor opção LX 30 26 20 16 LX = 0 e Lucro = 1040 30ST = 1040 ST = 1040/30 ST = 35 30ST + 40LX = 1040 ST = 0 e Lucro = 1040 40LX = 1040 LX = 1040/40 LX = 26 Região Simplex Lucro = 1040 Lucro = 800 ST

17 Necessidade Nutricional por
Programação Linear Problema de Minimização Problema de Dosagem ou Blending Ração de Custo Mínimo. Suponha dois Ingredientes para a formulação de Ração Necessidade Nutricional por Semana Composição dos Ingredientes

18 Programação Linear Definir as Variáveis do Problema
Definir a Função Objetivo Definir o Conjunto de Restrições

19 Programação Linear 1 Variável a ser Otimizada: Custo (minimização)
Variáveis Básicas : Qtde A, QtdeB. Restrições 5A + 25B ≥ 50 25A +10B ≥ 100 10A+ 10B ≥ 60 35A +20B ≥ 180 A, B ≥ 0 2 Função Objetivo: Custo = 0,03A ,04B

20 Programação Linear Restrições B 5A + 25B ≥ 50 A B 2 10 2 10 A

21 Programação Linear Restrições B B 5A + 25B ≥ 50 10 25A + 10B ≥ 100 A B
10 4 2 10 A A 4

22 Programação Linear Restrições 5A + 25B ≥ 50 B A 10 2 4 6
6

23 Programação Linear Restrições 5A + 25B ≥ 50 B A 10 2 4 6
9 5 35A + 20B ≥ 180 A B 9 5

24 Programação Linear Restrições B A B 10 10 Região Simplex 10 A 10

25 Programação Linear Função Objetivo: Custo = 0,03A + 0,04B
Suponha um custo qualquer por exemplo 0,36 (múltiplo de 0,03 e 0,04) 0,36 = 0,03A + 0,04B 36 = 3A +4B -4B = 3A -36 4B = -3A B = -3A/ /4 B = -3A +9 4 A B 10 9 12 A B 9 12

26 Programação Linear Otimização 10 9 Custo = 0,36 A 10 12

27 Programação Linear Otimização B 10 9 Custo = 0,36 A 10 12

28 Programação Linear Otimização B 10 9 Custo = 0,03A + 0,04B
Custo = 0,03x5 +0,04 Custo = 0,19 Custo = 0,36 1 A 5 10 12

29 Programação Linear Otimização B 10 9 Custo = 0,19 1 A 5 10 12

30 Memória de aula Formulação de um problema utilizando modelos matemáticos. Determinação das variáveis do modelo. Determinação da função objetivo. Determine a função objetivo e restrições para o problema Efetuar a resolução gráfica. Resolver a lista de exercícios nº 2 de modelagem matemática que será disponibilizada no site.

31 Programação Linear Caso Esportes Radicais S/A A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas linhas de montagem. A primeira linha de montagem tem 100 horas semanais disponíveis para a fabricação dos produtos, e a segunda linha tem um limite de 42 horas semanais. Cada um dos produtos requer 10 horas de processamento na linha 1, enquanto que na linha 2 o pára-quedas requer 3 horas e a asa-delta requer 7 horas.

32 Programação Linear Caso Esportes Radicais S/A Sabendo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela venda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vendida é R$ 40,00, encontre a programação de produção que maximize o lucro da Esportes Radicais S/A. (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).

33 X1 – Quantidade de Pára-Quedas a serem produzidos
Programação Linear Caso Esportes Radicais S/A Variáveis de Decisão X1 – Quantidade de Pára-Quedas a serem produzidos X2 – Quantidade de Asa Deltas a serem produzidos Função-Objetiva Max 60x1 + 40x2

34 Restrição de Não Negatividade
Programação Linear Caso Esportes Radicais S/A Restrição de Produção Linha 1 Linha 2 Restrição de Não Negatividade 100 10 2 1 + x 42 7 3 2 1 + x , 2 1 x

35 , 42 7 3 100 10 40 6 ³ £ + x Max Programação Linear 2 1
Caso Esportes Radicais S/A , 42 7 3 100 10 40 6 2 1 + x Max (1) (2)

36 Programação Linear Caso Esportes Radicais S/A Função Objetivo (1)
Z = 600 x1 = 10 , x2 = 0 (2)

37 Programação Linear Caso Esportes Radicais S/A

38 Programação Linear 1 ) Maximizar 4x1 + 3x2 Sujeito a x1 + 3x2 ≤ 7

39 Programação Linear Caso Alumilâminas S/A A indústria Alumilâminas S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessura fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilâminas S/A, há uma demanda extra para cada tipo de lâmina.

40 Programação Linear Caso Alumilâminas S/A A fábrica de São Paulo tem um custo de produção de R$ ,00 para uma capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 toneladas de lâminas grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ ,00 para uma produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 toneladas de lâminas grossas. Quantos dias cada uma das fábricas deverá operar para atender os pedidos ao menor custo possível? (resolva pela análise gráfica – deslocamento da função objetivo).

41 X1 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica de São Paulo
Programação Linear Caso Alumilâminas S/A Variáveis de Decisão X1 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica de São Paulo X2 – Quantos dias de funcionamento da Fábrica do Rio de Janeiro Função-Objetiva Minimizar Custo de Produção (mil R$) =

42 Restrições de Não Negatividade
Programação Linear Caso Alumilâminas S/A Restrições de Demanda Placas Finas Placas Médias Placas Grossas Restrições de Não Negatividade 8 x + 2 x 16 1 2 1 x + 1 x 6 1 2 + 2 x 7 x 28 1 2 x , x 1 2

43 , 28 7 2 6 1 16 8 200 100 ³ + x Min Programação Linear
Caso Alumilâminas S/A , 28 7 2 6 1 16 8 200 100 + x Min

44 Programação Linear Caso Alumilâminas S/A Função Objetivo (1) (3) (2)

45 Programação Linear Caso Alumilâminas S/A Z = 920 x1 = 14/5 e x2 = 16/5
Função Objetivo (1) (3) (2)

46 Programação Linear Considere o seguinte o problema de Programação Linear: Encontre a solução ótima. Max 3 x + 3 x 1 2 s . r . 2 x + 4 x 12 1 2 6 x + 4 x 24 1 2 x , x 1 2

47 Programação Linear x2 (4,0) (0,6) (0,3) (6,0) (0,0) x1 7 6 5 4 3 2 1 1
1 2 3 4 5 6 x1

48 3 x + 3 x Programação Linear x2 O valor máximo de será no ponto onde
7 O valor máximo de será no ponto onde as duas retas se cruzam. 3 x + 6 3 x 1 2 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 x1

49 Programação Linear

50 Programação Linear

51 Programação Linear x2 7 6 5 4,5 4 3 2 1 1 2 3 4 4,5 5 6 x1

52 Max 4x1 + 3x2 s.r. x1 + 3x2  7 2x1 + 2x2  8 x1 + x2  3 x2  2
Programação Linear Exercício 2 Max 4x1 + 3x2 s.r. x1 + 3x2  7 2x1 + 2x2  8 x1 + x2  3 x2  2 x1, x2 0 Resolva utilizando o método gráfico.

53 Programação Linear x1 + x2  3 2x1 + 2x2  8 4x1 + 3x2 x2 x2  2

54 Programação Linear Solução Ótima x2 x1

55 Max 4x1 + 8x2 s.r. 3x1 + 2x2  18 x1 + x2  5 x1  4 x1, x2  0
Programação Linear Exercício 3 Max 4x1 + 8x2 s.r. 3x1 + 2x2  18 x1 + x2  5 x1  4 x1, x2  0 Resolva utilizando o método gráfico.

56 Programação Linear x1  4 3x1 + 2x2  18 x1 + x2  5 4x1 + 8x2

57 Programação Linear Solução Ótima

58 ³ + 30 4 x + £ 16 x 2 x 10 x , x ³ Max s.r. Programação Linear
Exercício 4 Max Resolva utilizando o método gráfico. s.r. + 30 4 2 1 x + 16 x 2 x 10 1 2 x , x 1 2

59 Programação Linear Sem Soluções Viáveis + 30 4 2 1 x 10 2 16 1 + x

60 Programação Linear Restrições Redundantes Uma restrição é dita redundante quando a sua exclusão do conjunto de restrições de um problema não altera o conjunto de soluções viáveis deste. É uma restrição que não participa da determinação do conjunto de soluções viáveis. Existe um outro problema sem essa restrição com a mesma solução ótima.

61 Min 6 x + 10 x s . r . - x + x £ 2 x + 2 x ³ 1 x £ 5 x £ 6 3 x + 5 x ³
Programação Linear Restrições Redundantes Considere o problema Min 6 x + 10 x 1 2 s . r . - x + x 2 1 2 x + 2 x 1 1 2 x 5 1 x 6 2 3 x + 5 x 15 1 2 5 x + 4 x 20 1 2 x , x 1 2

62 Programação Linear x2 x1 Restrição Redundante 14 12 10 8 6 4 2 -2 2 4

63 Min 6 x + 10 x s . r . - x + x £ 2 x £ 5 x £ 6 3 x + 5 x ³ 15 5 x + 4
Programação Linear Soluções Múltiplas Encontre a solução ótima: Min 6 x + 10 x 1 2 s . r . - x + x 2 1 2 x 5 1 x 6 2 3 x + 5 x 15 1 2 5 x + 4 x 20 1 2 x , x 1 2

64 Programação Linear x2 Soluções Múltiplas x1 14 12 10 8 6 4 2 -2 2 4 6

65 Max 6 x + 10 x s . r . - x + x £ 2 x £ 6 3 x + 5 x ³ 15 5 x + 4 x ³ 20
Programação Linear Solução Ilimitada Encontre a solução ótima: Max 6 x + 10 x 1 2 s . r . - x + x 2 1 2 x 6 2 3 x + 5 x 15 1 2 5 x + 4 x 20 1 2 x , x 1 2

66 Programação Linear Cresce indefinidamente x2 x1 14 12 10 8 6 4 2 -2 2

67 Programação Linear Solução Inviável Um problema de programação linear é dito inviável quando o conjunto de soluções viáveis é vazio. Considere o problema

68 Programação Linear Conjunto de Soluções Viáveis é vazio x2 x1 14 12 10
8 6 4 2 -2 2 4 6 8 10 x1 -2

69 Memória de aula Formulação de um problema utilizando modelos matemáticos. Determinação das variáveis do modelo. Determinação da função objetivo. Determine a função objetivo e restrições para o problema Efetuar a resolução gráfica. Possibilidades de solução

70 Bibliografia indicada
LISBOA, Erico Fagundes Anicet. Rio de Janeiro, versão digital disponível na Internet ( ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para a análise de decisão. Rio de Janeiro: Editora LTC, 2005. LACHTERMACHER, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões: modelagem em Excel. Rio de Janeiro: Editora Elsevier, 2004.