Interpolação Polinomial: Introdução; Lagrange.

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1 Interpolação Polinomial: Introdução; Lagrange.
Métodos Numéricos Interpolação Polinomial: Introdução; Lagrange.

2 Polinômios Polinômios são funções da forma:
Eles possuem características especiais: São fáceis de calcular. A derivada de um polinômio é um polinômio. A integral de um polinômio é um polinômio.

3 Interpolação polinomial (Aplicação 1)
Em muitos casos, temos apenas um conjunto de pontos: x0, x1, ... xn Por exemplo, em dados obtidos através de experimentos. Se vamos aproximar estes pontos por uma função, dadas as características apresentadas, os polinômios são bons candidatos.

4 Interpolação polinomial (Aplicação 1)
x0, x1, ... xn polinômio

5 Interpolação polinomial (Aplicação 2)
Em outros casos, temos a forma da função f(x). Ainda assim, para simplificar o manejo, pode ser interessante aproximá-la por um polinômio. polinômio

6 Problema da interpolação
Dados n+1 pontos: x0, x1, ... xn E n+1 valores y0, y1, ... yn Determinar o polinômio Pn(x), de grau máximo n, tal que: Pn(x0) = y0, Pn(x1) = y Pn(xn) = yn

7 Teorema da unicidade Teorema 1 : Dados n+1 pontos distintos x0,x1,...xn e n+1 valores y0, y1, ..., yn, existe um e só um polinômio Pn(x), de grau menor ou igual a n, tal que: Pn(xk) = yk, k=0,...,n

8 Aplicação Podemos resolver o sistema
E obter os valores dos coeficientes do Polinômio que interpola os pontos. Porém: Trabalhoso Susceptível a erros numéricos. Vamos estudar outras maneiras!

9 Interpolação polinomial
Já sabemos que podemos obter o polinômio que interpola os pontos: (x0,y0), (x1,y1), (xn,yn) polinômio

10 Interpolação Polinomial
A necessidade de obter um valor intermediário que não consta de uma tabela ocorre comumente. Dados experimentais, tabelas estatísticas e de funções complexas são exemplos desta situação. Solução: uso de métodos numéricos - Interpolação.

11 Interpolação Polinomial
Dado um conjunto de dados {xi,f(xi)} tal como na tabela abaixo: Como obter o valor de f(x) para um valor de x que não tenha sido medido, como por exemplo, x=2.0 ? Quando se deseja saber o valor de f(x) para um x intermediário entre duas medidas, isto é, xi<x<xi+1, pode-se usar as técnicas da interpolação. 0,057 0,046 0,028 0,016 0,001 f(xi) 6,0 4,5 3,0 1,5 xi

12 Interpolação Polinomial
A interpolação consiste em determinar uma função, que assume valores conhecidos em certos pontos (nós de interpolação). A classe de funções escolhida para a interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às características que pretendemos que a função possua. Função a ser considerada: Polinômios  Interpolação Polinomial

13 Interpolação Polinomial
Métodos de interpolação polinomial são utilizados para aproximar uma função f(x), principalmente nas seguintes situações: conhece-se apenas valores de f(x) em apenas pontos discretos x0, x1 , x2 , ... f(x) é extremamente complicada e de difícil manejo, f(x) não é conhecida explicitamente.

14 Interpolação Polinomial
O problema geral da interpolação por meio de polinômios consiste em: Interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}, significa calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma analítica de f(x) ou ajustar uma função analítica aos dados.

15 Interpolação Polinomial
Interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados {xi,f(xi)}, isto é: p(x0)=f(x0) p(x1)=f(x1) … p(xn)=f(xn) Obs: contagem começa em zero, portanto tem-se n+1 pontos na expressão. (Equação 1)

16 Interpolação Polinomial
Polinômio p(x) - polinômio interpolador. Pode-se demonstrar que existe um único polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que passa por todos os (n+1) pontos do conjunto {xi,f(xi)} Portanto, pode-se escrever: ( ) p x a f n 1 2 = + × ...

17 Interpolação Polinomial
O conjunto de equações corresponde a um sistema linear de n+1 equações e n+1 variáveis. Quais são as variáveis independentes? ai ou xi ? Poderia ser resolvido diretamente. Essa é uma das formas de se obter o polinômio interpolador.

18 Interpolação Polinomial
Polinômio interpolador Interpolação linear

19 Interpolação Polinomial
A mesma metodologia pode ser empregada para a Interpolação Quadrática ou superior. A determinação dos coeficientes do polinômio interpolador por meio da resolução de um sistema de equações lineares, apesar de ser conceitualmente simples, requer um certo esforço computacional. Deve-se procurar metodologia alternativa de modo a evitar a solução de sistemas de equações lineares. Outras formas: a forma de Lagrange a forma de Newton

20 Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange Seja um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}. Encontrar um polinômio interpolador p(x) que satisfaça a condição (1), isto é, passe por todos os pontos. p ( x ) = L ( x ) × f ( x ) + L ( x ) × f ( x ) + + ... L ( x ) × f ( x ) 1 1 n n Lk(x) são polinômios tais que: (Eq. 2) e sendo que: ì se , k i d = í ki 1 se , k = i î

21 Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange Portanto, p ( x ) = L ( x ) × f ( x ) + L ( x ) × f ( x ) + ... + L ( x ) × f ( x ) 1 1 n n p ( x ) = 1 × f ( x ) + × f ( x ) + ... + × f ( x ) 1 n p ( x ) = f ( x ) e p ( x ) = L ( x ) × f ( x ) + L ( x ) × f ( x ) + ... + L ( x ) × f ( x ) 1 1 1 1 1 n 1 n ... p ( x ) = × f ( x ) + 1 × f ( x ) + + × f ( x ) 1 1 n p ( x ) = f ( x ) 1 1 Ou seja: ( p(x) passa sobre os pontos {xi,f(xi)} )

22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange Temos que encontrar os polinômios Lk(x), que satisfaçam (2). Uma solução é: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x - x × x - x × ... × x - x × x - x × ... × x - x 1 k - 1 k + 1 n L ( x ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k x - x × x - x ... × × x - x × x - x × ... × x - x k k 1 k ki - 1 k ki + 1 k n Pois:

23 Interpolação Polinomial
Forma de Lagrange Compacta Igual à anterior (notação diferente): (3) e

24 Interpolação Polinomial
Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de retas (n=1) (Interpolação Linear) xi x0 x1 f(xi) f(x0) f(x1) De (3):

25 Interpolação Polinomial
Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de retas (n=1) As funções Li (x) devem satisfazer (2), ou seja: L0 (x0) =1 L1 (x0) =0 L0 (x1) =0 L1 (x1) =1 As funções: e satisfazem

26 Interpolação Polinomial
Interpolação para 2 pontos (n+1=2) - ajuste de retas (n=1)

27 Interpolação Polinomial
Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de parábolas (n=2) (Interpolação quadrática) xi x0 x1 x2 f(xi) f(x0) f(x1) f(x2) De (3):

28 Interpolação Polinomial
Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de parábolas (n=2) As funções Li (x) devem satisfazer (2), ou seja: L0 (x0) =1 L1 (x0) =0 L2 (x0) =0 L0 (x1) =0 L1 (x1) =1 L2 (x1) =0 L0 (x2) =0 L1 (x2) =0 L2 (x2) =1 As funções: satisfazem

29 Interpolação Polinomial
Interpolação para 3 pontos (n+1=3) - ajuste de parábolas (n=2)

30 Interpolação Polinomial
Ajuste uma reta aos seguintes pontos (x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6) (vide slide 12)

31 Fórmula de Lagrange – Forma Geral
Tome o seguinte polinômio de grau n: No numerador, temos os produtos (x-xi), com i k. No denominador temos os produtos (xk-xi), com i k. Note que:

32 Fórmula de Lagrange do Polinômio
Chame f(x0) de f0, f(x1) de f1 ... f(xn) de fn: Note que podemos escrever Pn(x) como: O grau de Pn é, no máximo, n. Pn satisfaz: Pn(xk) = f(xk). Fórmula de Lagrange do Polinômio de interpolação.

33 Exemplo Considere os pontos: a) Determine o polinômio de interpolação
b) Calcule uma aproximação para f(1) x -1 3 f(x) 15 8

34 Exemplo (solução) Temos:
-1 3 f(x) 15 8 Temos: Como temos três pontos, necessitamos de um polinômio de grau 2. O polinômio de interpolação de Lagrange é dado por:

35 Exemplo (solução) x -1 3 f(x) 15 8 Logo:

36 Exemplo (solução) f(x) = P(x) para x0, x1 e x2.
-1 3 f(x) 15 8 f(x) = P(x) para x0, x1 e x2. Para x=1, f(1) ≈ P(1) = 3

37 Exemplo Encontrar o polinômio que interpola a função f(x) = 1/x2 nos pontos x0 = 2, x1 = 2,5 e x2 = 4.

38 Exemplo (solução)

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