O problema da Minimização

Apresentação em tema: "O problema da Minimização"— Transcrição da apresentação:

1 O problema da Minimização
Min Z= 3x1 -4x2 + x3 x1+x2+x3<=10 2x1+x2-x3<=20 Afrânio Murolo Pesquisa Operacional

2 Modelo Equivalente Maximizar ( -Z ) = -3x1 +4x2 –x3
sa: x1+x2+x3 <= 10 2x1+x2-x3<=20 x1,x2,x3>=0

3 Problema da variável livre
Se alguma variável do modelo não possuir a condição de não negatividade, podemos substituí-la pela diferença de outras variáveis não negativas. Um número qualquer pode ser escrito como a diferença de dois números positivos. Max Z = x1 + 2x2 + x3 sa: x1 + x2 + x3 < = 10 2x1 + 3x2 <= 20 X1>=0 , x2 livre

4 Variável livre X2 livre, logo X2 = X4 - X5 ( ambos >= 0)
Substituindo no modelo anterior, temos o modelo equivalente: Max X1 + 2X4 – 2X5 + X3 sa : x1 + x4 –x5 + x3 <= 10 2x1 + 3x4 -3x5 <= 20 X1 >= 0, x4>= 0 , x5>= 0, x3 >=0

5 Método Simplex Modelos estudados até o momento se utilizaram de restrições do tipo <= cm os termos de b ( a direita positivos ). Novo Problema : 1) Restrição do tipo >= Neste caso a variável de folga é subtraída e seu valor é negativo. 2) Restrição do tipo = Neste caso não introduziremos a variável de folga. 3) Para as situações 1 e 2 acrescentaremos variáveis auxiliares ai , formando um novo modelo

6 Exemplificação Max Z = x1 + x2 + x3 2X1+ X2 + X3 <= 10
A) Introduzindo as variáveis de folga: 2X1+ X2 + X3 + XF = 10 X1 + X2 + 2X XF = 20 2X1 + X2 + 3X = 60

7 B) Introduzindo as variáveis auxiliares ai ( a2 e a3), correspondentes às 2ª e 3ª restrições do tipo
( >= e = ), respectivamente. 2X1+ X2 + X3 + XF = 10 X1 + X2 + 2X XF2 + a = 20 2X1 + X2 + 3X a3 = 60 C) Reescrevendo a função Objetivo pelo método do M grande. Neste caso, acrescentamos as variáveis auxiliares com coeficientes –M2 e –M3, sendo M2 e M3 números grandes. Z = X X X3 ( original) Z = X X X3 -M2a2 - M3a3 ( M grande ) Exemplo

8 Método do M grande Z = X1 + X2 + X3 -M2a2 - M3a3 ( M grande )
O modelo passa a ser maximizado á medida que z cresce e por conseqüência as variáveis auxiliares A2 e a3 deixam a base. Modelo auxiliar (M grande ) Max Z = X X2 +X3 -M2a2 - M3a3 2X1+ X2 - X3 + XF = 10 X1 + X2 + 2X XF2 + a = 20 2X1 + X2 + 3X a3 = 60

9 Solução básica inicial : variáveis básicas XF1=10 , a2=20 , a3=60 e todas as outras variáveis não básicas todas nulas ( x1=0, x2=0, x3=0 e XF2=0 Z X1 X2 X3 XF1 XF2 a2 a3 b 1 -1 M2 M3 2 10 20 3 60

10 Retorno ao Modelo Original
1)Deveremos nesta modelagem eliminar as variáveis auxiliares ( a2 e a3 ) 2)Retornar ao modelo original que apresenta solução básica, composto pelas variáveis originais. 3)Variáveis básicas ( coeficientes nulos na linha de Z) variáveis não básicas ( coeficientes diferentes de zero na linha de Z)

11 Quadro inicial para a nova solução: Vb ( XF1=10,a2=20,a3=60) e VNB (x1=x2=x3=XF2=0)
Z X1 X2 X3 XF1 XF2 a2 a3 b 1 -1 M2 M3 2 10 20 3 60

12 Cálculo da Nova solução
Variável que entra na base é X3 ( coef. ( -1) ) Neste caso escolhemos qq uma das variáveis. variável que sai : 10 : = -10 20 : 2 =10 sai variável da 3ª linha 60 : 3 = 20 LP: 3ª linha ; pivô =2 NLP = LP / 2 = ,5 0, ,5 0,

13 Nova solução:CÁCULO DA NOVA 1ª LINHA
NLP 0,5 1 -0,5 10 X (1) + 1ª linha -1 M2 M3 S=nova 1ª linha

14 Cálculo da nova 2ª linha: coficiente da variável que entra ( X3) é - 1
NLP 0,5 1 -0,5 10 X( 1) +2ª l 2 -1 S 2,5 1,5 20

15 Novo quadro incluindo todas as linhas
Z x1 x2 x3 XF1 XF2 a2 a3 b 1 -0,5 M2 M3 2,5 1,5 0,5 20 10 -1,5 30

16 Solução: Variáveis básicas: X3=10 XF1= 20 e a3=30
Variáveis não básicas X1=X2=XF2=a2=0 Z=10 O processo terá continuidade, pois a2 e a3 continuam na base

17 Cálculo da nova solução
Variável que entra: entra XF2 ( coeficiente -0,5) Variável que sai : 20 / - 0,5 = não 10 / -0,5 = não 30 / 1,5 = sai variável da quarta linha. LP : 4ª linha Pivô : 1,5 NLP ( já / por 1,5) , , , ida A partir deste instante todos os cálculos incluem seqüências já conhecidas pelo estudante.

18 Novo quadro considerando todas as novas linhas
Z x1 x2 x3 XF1 XF2 a2 a3 b 1 -0,333 -0,667 M2 M3 20 2,667 1,333 0,333 30 0,667 -1 0,67

19 Solução do quadro anterior
VB : X3 = XF1 =30 XF2 = 20 VNB : X1=X2=a2=a3=0 Como a2= a3= 0, logo A solução básica é formada pelas variáveis originais. Portanto podemos abandonar as variáveis a2 e a3 auxiliares.

20 Variáveis auxiliares excluídas, a2=a3=0
Z x1 x2 x3 XF1 XF2 b 1 -0,333 -0,667 20 2,667 1,333 0,667 0,333

21 Cálculo da solução ótima
Observando o quadro anterior verifica-se: Variável que entra X2 coeficiente -0,667 ) Variável que sai : 30/ 1, = 22,5 sai var. de 2ª linha XF1 Lp: segunda linha Pivô : 1,3333 NLP( LP/1,333) : , ,5 Os passo seguintes envolvem os cálculos da 1ª , 3ª e 4ª linhas:

22 Quadro final do modelo otimizado
x1 x2 x3 XF1 XF2 b 1 0,5 35 2 0,75 22,5 -0,25 12,5 0,25 27,5

23 Solução ótima A solução é ótima VB : X2 = 22,5 X3 = 12,5 XF2 = 27,5
VNB : X1 = 0 XF1 = 0 Z = 35 A solução é ótima

24 Digitação do programa Max x1 + x2 + x3 2x1 + x2 - x3 <= 10
Min = Minimização

25 Quadro inicial do software
----- ITERAÇÃO DA FASE I ******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* F1 = 10 A2 = 20 A3 = 60 ##### W = -80 VARIÁVEIS : X X X F F2 A A3 F.OBJETIVO: RESTR. 1 : RESTR. 2 : RESTR. 3 : VARIÁVEL ENTRANTE : X3 VARIÁVEL SAINTE : A2

26 Quadro final utilizando programa
******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* X2 = 45/2 X3 = 25/2 F2 = 55/2 ##### Z = 35 VARIÁVEIS : X X X F F2 F.OBJETIVO: / RESTR. 1 : / RESTR. 2 : / RESTR. 3 : / A ÚLTIMA SOLUÇÃO É ÓTIMA

27 Análise Econômica No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda. , escolheu Três produtos P1,P2 e P3. O Tableau a seguir mostra os valores solicitados por unidade de produção.

28 Análise Econômica: Modelo
Produto Contribuição Lucro/unidade. Horas de trabalho Horas de Uso de máquina Demanda Máxima P1 2.100 6 12 800 P2 1.200 4 600 P3 2

29 Modelo de Produção Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover horas de trabalho. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período.

30 Modelagem da programação da produção
A) Modelo linear: VD: x1=qtde de produção de P1 x2=qtde de produção de P2 x3=qtde de produção de P3 Objetivo é maximizar o L =2100x x x3 sa : HT) 6x1 + 4x2 + 6x3 + xF =4800 HM) 12x1 + 6x2 +2x xF =7200 DM) x xF = 800 DM) x xF =600 DM) x xF5 =600

31 Variáveis de Folga XF1 = sobra de recursos de horas de trabalho
Xf2 = sobra de recursos de hora/máquina XF3=sobra de recurso mercado P1 XF4=sobra de recurso mercado P2 XF5=sobra de recurso mercado P3

32 Quadro inicial do simplex
Z x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 xF5 b 1 -2100 -1200 -600 o 6 4 4800 12 2 7200 800 600

33 Quadro final: solução ótima
Z x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 xf5 b 1 50 150 100 0,2 -0,1 -0,2 120 -0,03 0,1 -0,47 280 0,03 0,47 520 600 480

34 Quadro final otimizado
1) apresenta VB e VNB 2)A função Objetivo está escrita em termos das variáveis não básicas 3) vb (coefs. Nulos) 4)O valor das variáveis básicas estão na coluna b 5) ) O coeficiente da variável não básica na fç objetivo mede a tendência do objetivo para aquela variável É um valor marginal, indica a variação proporcional no objetivo para pequenos aumentos ou diminuições unitárias na variável.

35 Posteriormente, em análise de sensibilidade poderemos verificar até quantas unidades podemos aumentar ou diminuir da variável, sem alterar a informação contida em seu coeficiente. Esses coeficientes são chamados de preços de oportunidade. No quadro final, a solução é ótima. Um aumento de zero para 1 na variável não básica prejudica o objetivo: Lucros diminuem Custos aumentam

36 Solução Otimizada X1= 280 unidades de P1 X2= 600 unidades de P2
Recursos disponíveis após o programa: 520 unidades do mercado P1 :( Dm=800)-(x1=280)=520 0 unidades do mercado P2 : (Dm=600)-(x2=600)=0 120 unidades do mercado P3: (Dm=600)-(x3=120)=480

37 Z x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 xF5 b 1 50 150 100 XF1 = 50 - é igual ao preço de oportunidade do recurso “ horas de trabalho” ( coeficiente de XF1 no quadro = 50) e indica que: Se conseguirmos mais uma hora de trabalho aos custos correntes poderemos aumentar nosso lucro em 50, isto é, poderemos obter uma nova solução ótima com lucro de Se uma hora a mais de trabalho acarreta o pagamento de adicional extra,o valor 50 indica o limite máximo deste adicional

38 Análise de xF1 Exemplificando: se o adicional for de 20, a nova hora de trabalho implicará uma nova solução com lucro de 30 a mais que o anterior, determinando um lucro de $ Se houver falta de uma hora de trabalho, o lucro fica diminuído em 50, caso não haja alteração no custo. Se esta falta de 1 hora de trabalho, for caracterizada pela ausência de um funcionário que não terá sua hora descontada, deve-se acrescentar este prejuízo causado por sua ausência

39 Análise de xF2 O preço de oportunidade do recurso “ horas de máquina” ( coeficiente de xF2 = 150), indica que: Uma hora a menos de máquina, o que equivale a dizer xF2 = 1, acarreta uma diminuição no lucro de $ 150. Portanto a nova solução ótima nesse caso seria de Uma hora a mais de máquina a ser contratada, adicionada aos custos correntes, significa um acréscimo de $ 150 no lucro : No caso de aluguel de uma hora máquina de terceiros, o preço de oportunidade 150 indica o máximo que podemos pagar pelo aluguel além de nosso custo corrente.

40 Análise de xF1( recurso hora máquina)
Exemplificando: Se nosso custo corrente for de $ 500, então alugar uma hora máquina por menos de $ 650 tende a aumentar cada vez mais nosso lucro. Esse aumento de lucro corresponde à diferença entre $ 650 e o valor do aluguel. ( pv = pc + L ) Pv = = ou l =pv – pc =650 – 500 = 150 Aluguel = 60$ L = pv – pc = 650 – ( ) =$90

41 Xf3( preço de oportunidade do recurso “mercado de P1”
O coeficientes xF3 = 0 indica que este recurso não é escasso. O mesmo ocorre com o preço de oportunidade do recurso “ mercado de P3 ( xF5=0). Isto nos leva a rever os investimentos nos mercados desses dois produtos: P Dm = 800 u e P Dm = 600 u X1= 280 u x2= 120 u Observação:Folgas não proporcionam lucro Recursos disponível Recursos disponível XF3= 520 unidades de P XF5 = 480 unidades de P3

42 XF3 (P1) e XF5(P3) Uma diminuição desses investimentos com conseqüente diminuição no mercado destes produtos ( p1 e P3) não afetará nossas vendas , causando um aumento nos lucros. Dm P1 <= e DM P2<=600 Lembrando que : XF1=520 e XF3 =480 sobra de recursos ( ociosidade ). Outra forma de aumentar o lucro destes produtos seria aumentar o preço de venda dos mesmos, diminuindo os mercados correspondentes sem afetar as vendas, desde que o mercado não diminua aquém da produção

43 XF4(Preço de oportunidade da unidade de recurso”mercado P2”
Lembrando que x1=600 D<=600 , logo XF4 = 0. O aumento de 1 unidade desse mercado, acarreta um aumento de $ 100 no lucro, isto é , a nova solução seria de Da mesma forma, o cancelamento de 1 unidade na compra implica em um prejuízo de $ 100, além do custo normal da unidade deste produto. Observação : O departamento de MKT estima em 80$ o investimento adicional para aumentar em uma unidade o mercado deste produto P2, logo : RL ou RSI = 100 – 80 = $ 20

44 Custos Custos correntes :também denominados custos de reposição. Representam o custo necessário para repor um item no local. Custos primários ou diretos : estão associados diretamente à produção, sendo aqueles incluídos de forma objetiva no cálculo dos produtos ou serviços comercializados. Consistem nos materiais diretos usados na fabricação do produto e mão- de -obra direta. Ex: aço para fabricar chapas, salários de operadores, etc ( são mensuráveis )

45 Utilizando o programa Max 2100x1 + 1200x2 + 600x3

46 Solução Ótima ----- ITERAÇÃO 3 DA FASE II
******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* X3 = 120 X1 = 280 F3 = 520 X2 = 600 F5 = 480 ##### Z = 13

47 Solução Ótima do tableau
VARIÁVEIS : X X X F F2 F F F5 F.OBJETIVO: RESTR. 1 : / /10 / RESTR. 2 : / /10 / RESTR. 3 : / /10 / RESTR. 4 : RESTR. 5 : / /10 / A ÚLTIMA SOLUÇÃO É ÓTIMA