TRIGONOMETRIA DO CICLO Equações trigonométricas

Equações trigonométricas A grosso modo, resolver uma equação trigonométrica é encontrar o valor de x que satisfaça a equação em qualquer arco côngruo. A maioria das equações trigonométricas são ou reduzem-se a um dos três tipos a seguir: sen x = sen a cos x = cos a tg x = tg β Que são chamadas de equações fundamentais. Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

sen x = sen a Ex1: sen x = √2/2 Pelos ângulos notáveis, sabemos que: Equações trigonométricas sen x = sen a Ex1: sen x = √2/2 Pelos ângulos notáveis, sabemos que: sen45° = sen π/4 = √2/2 Assim, π/4 é uma solução para esta equação. Mas, todo arco côngruo a π/4 também tem seno igual a √2/2. Portanto, π/4 + 2kπ são soluções dessa equação, para todo k um número inteiro de voltas. π/4 √2/2 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

Equações trigonométricas sen x = sen a Ex1: sen x = √2/2 Além de 45° há um outro ângulo simétrico a este que resulta em √2/2. Este ângulo está no segundo quadrante e, portanto, é o 180° - 45° = 135º. Como 135° = 3π/4, então outras soluções para esta equação são: 3π/4 + 2kπ π/4 √2/2 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

Equações trigonométricas sen x = sen a Ex1: sen x = √2/2 S = {x є R| x = π/4 + 2kπ ou x = 3π/4 + 2kπ, k є Z} π - π/4 π/4 √2/2 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

Equações trigonométricas Atividades Ex2: sen (3x – π) = - ½ Aqui, sen β = ½ quando β = 30° ou β = π/6, oposto a ele, quando β = 180° + 30° = 210° ou β = 7 π/6, o seno é igual a -1/2. Assim, 3x – π = 7π/6 + 2k π 3x = 7 π/6 + π + 2k π 18x/6 = (13 π + 12k π)/6 x = 13 π/18 + 12k π/18 x = 13 π/18 + 2k π/3 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

Equações trigonométricas Atividades Ex1: sen (3x – π) = - ½ Simétrico ao seno de 210° está o seno de 360° - 30° = 330° ou 11π/6. Assim, 3x – π = 11π/6 + 2k π 3x = 11 π/6 + π + 2k π 18x/6 = (17 π + 12k π)/6 x = 17 π/18 + 12k π/18 x = 17 π/18 + 2k π/3 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

Equações trigonométricas Atividades Ex2: sen (3x – π) = - ½ Portanto, S = {x є R| x = 13 π/18 + 2k π/3 ou x = 17 π/18 + 2/3k π, k є Z} Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

cos x = cos a Ex3: cos x = - √3/2 Equações trigonométricas cos x = cos a Ex3: cos x = - √3/2 π - π/6 = 5π/6 π/6 Pelos ângulos notáveis, sabemos que cos π/6 =√3/2 Portanto, simétrico a ele, estará o cosseno cujo resultado é - √3/2. Diferentemente do seno, que pode ter dois valores positivos em ângulos simétricos, o cosseno sempre vai ter um valor oposto no ângulo simétrico. - √3/2 √3/2 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

cos x = cos a Ex3: cos x = - √3/2 Equações trigonométricas cos x = cos a Ex3: cos x = - √3/2 π - π/6 = 5π/6 Pelos ângulos notáveis, sabemos que cos π/6 =√3/2 Portanto, simétrico a ele, estará o cosseno cujo resultado é - √3/2. Diferentemente do seno, que pode ter dois valores positivos em ângulos simétricos, o cosseno sempre vai ter um valor oposto no ângulo simétrico. - √3/2 - 5π/6 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

cos x = cos a Ex3: cos x = - √3/2 S = {x є R| x = ± 5π/6 + 2kπ, k є Z} Equações trigonométricas cos x = cos a Ex3: cos x = - √3/2 S = {x є R| x = ± 5π/6 + 2kπ, k є Z} S = {x є R| x = 5π/6 + 2kπ ou x = 7π/6 + 2k π , k є Z} π - π/6 = 5π/6 Obs: π + π/6 = 7π/6 tbm pode ser solução da eq. em substituição de - 5π/6, pois é o arco simétrico (180° + 30°) - √3/2 5π/6 ou π + π/6 = 7π/6 Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

Equações trigonométricas tg x = tg a, a ≠ π/2 + 2kπ O procedimento é o mesmo que das outras eq. fundamentais, ou seja: Encontramos arcos na 1ª volta que satisfaçam a equação; Consideramos todos os arcos côngruos às soluções da 1ª volta. Assim: Lembre-se que a tangente se repete a cada meia volta, logo, usa-se ℿ, e não, 2 ℿ, como no seno e cosseno. Fica pi, e não, 2pi, porque a função se repete a cada pi vezes (período), e não a cada 2pi vezes como no seno e cosseno. Ou seja, tg x é o mesmo valor no 1° quadrante e no x + pi que está no terceiro quadrante. Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com

Atividades Equações trigonométricas Profª Juliana Schivani juliana_schivane@hotmail.com