Números Racionais Prof. Dr. Manoel Oriosvaldo de Moura Universidade de São Paulo

Problema desencadeador Cordasmil é um estirador de cordas encarregado pelo faraó de medir os terrenos que foram distribuídos para o cultivo às margens do rio Nilo. Ele mede apenas a lateral, pois a frente é fixa. O que lhe interessa mesmo é o quanto o Nilo deixou de terra cultivável, pois os impostos serão cobrados tendo em vista esta medida. Ao medir o terreno Unopapiro o estirador contou 6 cordas inteiras, mas viu que sobrava um pouco de terreno que não cabia uma corda inteira. Como você acha que Cordasmil resolveu o problema? Faça uma representação da solução que ele encontrou para mostrar para o Faraó?

O Faraó avisou para Cordasmil que Unopapiro vai também pagar o imposto de outro terreno arrendado na outra margem e que segundo as medidas já feitas, ela são 7 cordas e mais um pedaço da corda que foi dividida em três. Sugira um modo de Cordasmil ter um pedaço da corda que seja a soma dos dois pedaços de corda dos terrenos medidos. Faça uma representação da solução.

MEDINDO COMPRIMENTO Lado do terreno corda Sobra de terreno

Subdivisão da unidade unidade Como representar essa medida?

Um dos terrenos do Unopapiro unidade Parte da unidade dividida em três Como representar a medida dessa lateral do terreno?

A FRAÇÃO O comprimento medido é 4 unidades mais 2 partes da unidade subdividida em 5 partes (subunidade). 4 unidades = 20 subunidades temos 22 subunidades Como a unidade foi subdividida em 5 partes a subunidade aqui é 1/5 da unidade O comprimento medido é 22/5 da unidade

Objetivos Discutir o significado da razão A/B: A fração A/B representa a quantidade (eventualmente não inteira) equivalente a A pedaços de uma unidade que foi dividida em B pedaços iguais.

Histórico Estiradores de corda (egípcios) Conceitos iniciais dos alunos Quantidades discretas Quantidades contínuas

Material Material cuisenaire Folhas de papel Quadro de frações

Atividades (I) 1 - Explorar situações em que a unidade não pode ser subdividida Ex.: distribuir 5 carrinhos entre 2 meninos. 2 - Explorar situações em que a unidade pode ser subdividida a) O número de objetos é menor que o número de pessoas Ex.: dividir igualmente 2 folhas de papel entre 3 pessoas. [2:3 = 2/3 (Lê-se “ dois terços”)] dividir igualmente 2 folhas por 4 pessoas

Atividades (II) b) Explorar o conceito de fração tanto com quantidade discreta quanto contínua Ex.: colocar 12 tampinhas sobre a mesa de modo que metade delas estejam voltadas para cima. Perguntar: Quanto é a terça parte? Quanto é dois terços de 12? Quanto é três terços de 12?

Atividades (III) 3 - Situações-problema De 24 vasos plantados ¼ teve sementes germinadas Quantos vasos germinaram? Quantos vasos ainda não germinaram?

Operações com números fracionários Com quantidades discretas Adição e subtração Tendo 12 grãos determine o valor de 1 + 2. 4 4 +  3 grãos  6 grãos  9 grãos Frações ou Número de Grãos

Tendo 12 grãos determine o valor de 1 + 2. 4 3 +  3 grãos  8 grãos  11 grãos Frações Número de Grãos

Calcular, usando as tampinhas 1) 2) 3) 4)

Multiplicação de frações * Rever o significado da multiplicação 4 x 5; 2 x 3; qual é o papel do 4 e do 2 nestes casos? * Efetuar a multiplicação com material 1 3 Tendo 12 grãos determine 2 x 1 3 1 3 = ?  4 grãos 2 x 4 grãos 2 3 x 1 3 2 = Frações Número de Grãos 2 x 4 = 8

Tendo 12 grãos determine o valor de 1 x 1. 2 3 1 3 = x ? ? ou de 4 grãos = 2 4 grãos 1 2 1 6 x 1 3 = Frações 1 2 Número de Grãos de 4 = 2

Calcular 1. 2. 3. 4.

Divisão de frações = = 1 Tendo 12 grãos determine 1 ÷ 2 Com uma dúzia quantas metades podemos fazer? ÷ 1 2 1 = 2 Frações Número de Grãos 12 ÷ 6 = 2 1 3 Tendo 12 grãos determine 1 ÷ Com uma dúzia quantas terças partes podemos fazer? 1 3 ÷ 1 = 3 Frações Número de Grãos 12 ÷ 4 = 3

= 1 2 1 4 Tendo 12 grãos determine ÷ Com uma meia dúzia quantas quartas partes podemos fazer? de 12 6 de 12 3 Com metade dos grãos podemos fazer somente duas quartas partes 1 2 1 4 ÷ = 2 Frações Número de Grãos 6 ÷ 3 = 2

Proponha uma fórmula para calcular 1. 2. 3. 4.

Introdução dos números racionais na forma decimal

O Faraó avisou para Cordasmil que Unopapiro vai também pagar o imposto de outro terreno arrendado na outra margem e que segundo as medidas já feitas, ela são 7 cordas e mais um pedaço da corda que foi dividida em 10 partes. O Faraó, que só sabia ler as quantidades no ábaco, pede que o escriba lhe mostre a medida do terreno no ábaco. Sugira um modo de Cordasmil fazer essa representação.

Histórico A representação decimal dos números racionais, já era conhecida por algumas antigas civilizações. No século XVI, o francês François Viète e o belga Simon Stevin, foram os disseminadores da utilização dos números decimais. No início do século XVII, John Napier, desenvolveu a notação moderna para a representação das frações decimais. Graças ao seu trabalho com os logaritmos.

Histórico I Inicialmente a fração 12/10 era representada por 12. 233/100 ele representava por 233. Ou seja, o traço sublinhava tantos algarismos quantos fossem os “zeros” no denominador. Na ausência de algarismos coloca-se “ zero” à esquerda. 2/10 ele representava por 2. 2/100 ele representava por 02.

Histórico II Posteriormente, Napier fez a substituição deste traço que representa o número decimal, pelo uso do ponto ou da vírgula. Estava inventada a moderna notação decimal, que todos os matemáticos consideram uma das grandes invenções matemáticas. A fração 13/10, representada por 13 , passou a ser representada por 1,3. A fração 7/10, representada por 7 , passou a ser representada por 0,7. A fração 9/100, representada por 09 , passou a ser representada por 0,09. D U d 1, 3

Princípios básicos 1. Os números decimais não devem ser mostrados como um conteúdo novo. 2. Devem ser enfatizados os princípios do Sistema de Numeração Decimal - Valor absoluto, valor relativo - Função dos algarismos : nº de unidades na ordem nº de unidades no numeral - Base do Sistema de Numeração - Relação entre as ordens do sistema: formação de dezenas, centenas etc. equivalência entre as unidades de ordens diferentes agrupamentos e reagrupamentos de uma ordem

Ordens É fundamental enfatizar a expressão “ Cada ordem imediatamente à esquerda de uma ordem de referência vale 10 vezes mais que esta” “ à direita de...”

Atividades importantes : decomposição e agrupamento Material: Ábaco Explorar exercícios do tipo: 1) 444 4 x 1 unidade - 4 4 x 1 dezena - 40 4 x 1 centena - 400 444 C D U

Explorar exercícios do tipo I U 2) 352 3c, 5d, 2u 352 35d, 2u

Explorar exercícios do tipo II 3) Passar para a notação decimal 1u1d = 11 décimos = 1,1 2u3d2c = 232 centésimos = 2,32 U d c U d c

Explorar exercícios do tipo III 4) Fazer decomposição 3,45 = 3u4d5c 12,007 = 1D2u7m U d c D U d c m

Explorar exercícios do tipo IV 5)Complete a) 5d= 50 centésimos b)34d= 340 c c)2 U= 20 d

Explorar exercícios do tipo V 6) Responda a) 20 décimos são quantas unidades? B) 123 décimos são quantos milésimos? 7)Pesquisa - o aluno deverá trazer exemplos do cotidiano onde é usada a notação decimal. 8) Operações com o Ábaco e QVL 9) Situações-problema que envolvam adição e subtração : Um laboratorista deve manipular uma fórmula da qual constam 0,25 de A, 0,04 de B, 0,25 de C, 0,4 de D. a) Colocando as substâncias em um recipiente que medida se obtém?b) Misturando 0,25 de A com 0,04 de B e 0,4 de C que medida se obtém? Caso queira completar 1 unidade quanto falta?

Atividades com números decimais Para as atividades a seguir utilize: Material dourado, observando as seguintes representações: Um décimo (inteiro dividido em 10 partes) Um centésimo (inteiro dividido em 100 partes)

Atividades com números decimais Ábaco: D U d c m