Prof. Paulo Salgado psgmn@cin.ufpe.br Geometria Analítica Prof. Paulo Salgado psgmn@cin.ufpe.br

Sumário O plano Produto escalar Ângulo entre vetores

O Plano Produto Escalar e Ângulo entre Vetores O produto escalar entre dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) é definido como o número: u.v = x1.x2 + y1.y2 Ex: u = (2, 1) e v = (3, -5) u.v = 2.3 + 1.(-5) = 1 u escalar v

O Plano Produto Escalar Sendo u, v e w são vetores e k é um número real Propriedades: u.u = ||u||2, se u = (x1, y1) verifique a propriedade u.v = v.u u.(v + w) = u.v + u.w (k.u).v = u.(k.v) = k.(u.v)

O Plano Produto Escalar Demonstre a propriedade (4) (k.u).v = u.(k.v) = k.(u.v) Demonstração para u = (x1, y1) e v = (x2, y2) De acordo com a definição de produto escalar temos: (k.u).v = (kx1)x2 + (ky1)y2 u.(kv) = x1(kx2) + y1(ky2) k(u.v) = k(x1.x2 + y1.y2) Como (kx1)x2 + (ky1)y2 = x1(kx2) + y1(ky2) = k(x1.x2 + y1.y2) Segue que

O Plano Produto Escalar Proposição: Sejam u e v vetores arbitrários. Então: |u.v|  ||u||.||v|| Conhecida como Desigualdade de Cauchy-Schwarz

O Plano Produto Escalar Existe um único ângulo, medido em radianos, entre 0 e π tal que: cos θ = u.v  u.v = ||u||.||v||.cos θ Em algumas aplicações é mais conveniente utilizar esta fórmula Esse ângulo, por definição, é o ângulo entre os vetores u e v Exemplo 1: Se u = (0, 2) e v = (3, 3), o ângulo entre esses vetores é: cos θ = 0.3 + 2.3 = √2  θ = π radianos ||u||.||v|| 2 4 √(0+22). √(32+32)

O Plano Produto Escalar y cos θ = u.v ||u||.||v|| u u-v θ v x Usando a lei dos cossenos, podemos mostrar que o ângulo , entre os vetores u e v dado pela fórmula acima é o menor ângulo formado por u e v. θ

O Plano Produto Escalar Aplicando a lei dos cossenos do triângulo cujos lados são as setas que representam u, v e u-v Temos: ||u – v||2 = ||u||2 + ||v||2 - 2 ||u|| ||v|| cos , de onde temos: cos = ||u||2 + ||v||2 - ||u - v||2 Mas como ||u||2 + ||v||2 - ||u - v||2 = 2u.v (Prove), Temos Se as retas forem perpendiculares, θ é igual a π/2 radianos, então θ θ 2||u||.||v|| cos θ = u.v ||u||.||v|| u . v = cos π/2 = 0 ||u||.||v||

O Plano Produto Escalar Se u.v/||u||||v|| = 0 implica que u.v = 0. Logo, se u e v (onde u ≠ 0 e v ≠ 0) são perpendiculares, então u.v = 0 u é perpendicular a v u.v = 0

O Plano Produto Escalar Exemplo 2 (2.31): Sejam u = (2, 4) e v = (-3, 5). Determine: a) O produto escalar de u por v; b) O ângulo entre u e v; Solução a) u.v = (2, 4).(-3, 5) = 2.(-3) + 4.5 = -6 + 20 = 14 b) cos θ = u.v = 14/(√22+ 42.√(-3)2+ 52) = 14/(2√5.√34) cos θ = 14/2√170 = 7/√170=7√170/170 ||u||.||v||

O Plano Produto Escalar Exemplo 3 (2.32): Dado o vetor u = (x, y), mostre que os vetores v = (-y, x) e w = (y, -x) são perpendiculares a u e que ||u|| = ||v|| = ||w|| b) Faça numa figura a representação dos vetores u, v e w Solução v.u = (-y, x).(x, y) = -xy + xy = 0 w.u = (y, -x).(x, y) = yx - xy = 0 ||u|| = ||v|| = ||w|| √x2 + y2 = √(-y)2 + x2 = √y2 + (-x)2 √x2 + y2 = √ x2 + y2 = √ x2 + y2 v = (y,-x) y u = (x,y) -y x -x w = (-y,x)

O Plano Produto Escalar Exemplo 4 (2.33): a) Encontre um vetor de módulo 5 perpendicular ao vetor (2, -1) b) Determine o valor de x para que o vetor (2, x2 - 1) seja perpendicular ao vetor (-6, 4) Solução ||v|| = 5 => √x2 + y2 = 5 => x2 + y2 = 25 u.v = 0 => (2, -1).(x, y) = 0 => 2x – y =0 Logo, x = √5 e y = 2√5 ou x = -√5 e y = -2√5 (a) Para (b) x = ? para v = (2, x2 - 1) e u = (-6, 4) Se u.v = 0, então (-6, 4). (2, x2 - 1) = 0 -12 + 4x2 – 4 = 0 = > 4x2 = 16 => x = 2 ou x = -2 (b)

O Plano Produto Escalar Exemplo 5 (2.40): Escreva o vetor (7, -1) como soma de dois vetores, um dos quais é paralelo e o outro é perpendicular ao vetor (1, -1) Solução v = u + w, onde u é paralelo a (1, -1) e w é perpendicular a (1, -1) u = k1(1, -1) w pode ser k2(1, 1) ou k2(-1, -1) como pode ser visto na figura Logo, para o caso 1: (7, -1) = u + w = k1(1, -1) + k2(1, 1) (7, -1) = (k1, -k1) + (k2, k2) => k1 + k2 = 7 -k1 + k2 = -1 => k1 = 4 e k2 = 3 Para o caso 2: (7, -1) = u + w = k1(1, -1) + k2(-1, -1) (7, -1) = (k1, -k1) + (-k2, -k2) => k1 - k2 = 7 -k1 - k2 = -1 => k1 = 4 e k2 = -3 Então, para qualquer caso a solução será (7, -1) = k1(1, -1) + k2(1, 1) = k1(1, -1) + k2(-1, -1) = (4, -4) + (3, 3) k2(1,1) k2(-1,-1) (1,-1)

O Plano Produto Escalar Exemplo 6 (2.41): Sejam u e v vetores unitários e perpendiculares, w = a1u + b1v e z = a2u + b2v. Calcule: (a) ||w|| e ||z||, (b) w.z e (c) o ângulo entre w e z Solução ||u|| = 1, ||v|| = 1 e u.v = 0 (a) ||w||2 = w.w => (a1u + b1v).(a1u + b1v) a1u.a1u + a1u.b1v + b1v.a1u + b1v.b1v, como u e v são perpendicular u.v = 0 a1.a1u.u + b1.b1v.v = a12||u||2 + b12||v||2 =||w|| = √a12||u||2 + b12||v||2 ||w|| = √a12 + b12 e similarmente ||z|| = √a22 + b22 (b) w.z = (a1u + b1v).(a2u + b2v) => a1u.a2u + a1u.b2v + b1v. a2u + b1v.b2v w.z = a1.a2||u||2 + 0 + 0 + b1.b2||v||2 = a1.a2 + b1.b2 (c) cos θ = w.z/||w||.||z|| = a1.a2 + b1.b2/√a12 + b12.√a22 + b22 θ = arccos a1.a2 + b1.b2/√a12 + b12.√a22 + b22

Hoje vimos... O plano Produto escalar Ângulo entre vetores