Sistemas discretos Como qualquer programa de computador, um modelo computacional para a simulação de um sistema executa, seqüencialmente e de maneira repetitiva, um conjunto de instruções. Na medida da execução das instruções, os valores que determinadas variáveis podem assumir são alterados, uma vez que se modificam as condições que influenciam o comportamento do modelo. Como os modelos tratam de sistemas dinâmicos, estas variáveis mudam na medida em que o tempo simulado progride. Além disso, como se tratam (na maioria das vezes) de sistemas estocásticos, tais variáveis não tem seus valores antecipadamente determinados.

Sistemas discretos Para que o modelo computacional evolua dinamicamente, uma das soluções encontradas pelos pesquisadores foi construir programas de computadores orientados a eventos. A medida da passagem do tempo, determinados acontecimentos (eventos) provocam alterações em alguns elementos do programa, os quais são responsáveis por informar a ocorrência de mudanças nas condições que envolvem o modelo.

Modelagem de sistemas Um programa executa uma série de instruções, as quais transmitem ao usuário a nítida sensação de que o modelo sendo executado possui um comportamento semelhante ao do sistema real do qual deriva. O controle da execução deste modelo, permite ao analista a realização de experimentos. Experimentos possibilitam estimar e concluir a respeito do comportamento do modelo e, por inferência, responder as questões formuladas na descrição do problema sobre a conduta e desempenho do sistema sob estudo.

Exemplo Sistema de Fila Simples Posto de lavação de automóveis Dependendo do dia da semana e da hora escolhida, é possível que, ao chegar ao posto, um cliente encontre o mesmo ocupado. Prevendo tal situação, o proprietário criou um área de espera na qual os clientes podem aguardar (por ordem de chegada) pelo momento de serem atendidos.

Exemplo Estudos deste sistema, visando melhorar o atendimento ao público. Algumas das dúvidas do proprietário: Será que a área de espera disponível (para no máximo quatro automóveis) é suficiente para acomodar a clientela do sábado pela manhã ou estou perdendo clientes por falta de espaço? Será que os serviços estão sendo prestados em tempo aceitável, de tal forma que os clientes não fiquem muito tempo no sistema? Será que é necessário contratar um operador auxiliar para este período de alta demanda?

Exemplo Para que se possa efetivamente estudar este sistema por meio de um modelo, é fundamental que duas informações básicas estejam disponíveis: Com que freqüência ocorrem chegadas de carros para serem servidos? Qual o tempo necessário para completar o serviço? Informações do proprietário sobre as manhãs de sábado: “chegam mais ou menos a cada 10 min.” “tempo de atendimento é de “aproximadamente 15 min.”. “No entanto (segue afirmando) as vezes é ao contrário. O operador leva cerca de 10 min. para lavar e os carros demoram mais para chegar”.

Exemplo Considere os seguintes comportamentos do sistema: A freqüência com que se observam chegadas de automóveis no sistema é maior do que a freqüência de observações de saídas de automóveis, uma vez que o tempo de atendimento (  15 min.) é maior que o intervalo entre chegadas de carros (  10 min.). Observando-se um sistema com este comportamento por um período razoável, por duas horas por exemplo, com toda certeza a área de espera disponível não seria suficiente para a fila que seria formada. A segunda observação do proprietário (“as vezes é ao contrário”), levaria a uma situação totalmente diferente. Neste caso, o sistema apresentaria folgas, isto é, a área de espera não seria necessária.

Tabelas de simulação As simulações manuais implicam na construção de tabelas, conhecidas como tabelas de simulação. O conteúdo destas tabelas dependerá do tipo de modelo empregado para tratar o sistema sob análise e, principalmente, do tipo de resposta que se está buscando a partir dos experimentos que serão efetuados na execução das simulações. As tabelas de simulação são um registro do comportamento dinâmico do sistema ao longo do tempo.

Tabelas de simulação Consideremos duas variáveis: TEC= tempo entre chegadas TS= tempo de serviço A variável TEC assumirá os valores 10, 12 e 15 min., mas de forma aleatória, como no sistema real, onde o tempo entre chegadas não é sempre de 10, 12 ou 15 min. Esta variável pode apresentar estes três possíveis valores com as mesmas probabilidades, isto é, 1/3 para cada alternativa. Da mesma forma, o tempo de serviço também poderá, aleatoriamente, assumir os valores 9, 10 e 11 min.. Também com probabilidade de 1/3 para cada um deles.

Tabelas de simulação Consideremos duas variáveis: TEC= tempo entre chegadas TS= tempo de serviço A variável TEC assumirá os valores 10, 12 e 15 min., mas de forma aleatória, como no sistema real, onde o tempo entre chegadas não é sempre de 10, 12 ou 15 min. Esta variável pode apresentar estes três possíveis valores com as mesmas probabilidades, isto é, 1/3 para cada alternativa. Da mesma forma, o tempo de serviço também poderá, aleatoriamente, assumir os valores 9, 10 e 11 min.. Também com probabilidade de 1/3 para cada um deles.

Tabelas de simulação Ao final da simulação manual deve ser responder as questões básicas formuladas pelo proprietário do posto: tamanho da área de espera disponível é suficiente? Como são os tempos de realização dos serviços? Há necessidade de contratar um operador auxiliar?

Tabelas de simulação As respostas para tais indagações exigem que as seguintes estatísticas sejam calculadas: número de carros esperando na fila; tempo despendido pelos clientes no sistema; taxa de ocupação do operador.

Tabelas de simulação

Exercício 1. Montar, manualmente, a tabela de simulação considerando os valores de TEC e TS definidos. Observar os resultados. 2. Montar, em Excel, a tabela de simulação considerando os valores de TEC e TS definidos. Observar os resultados. 3. Escrever um programa, em linguagem C, que gere aleatoriamente os valores de TEC e TS Ampliar o programa de tal modo a gerar uma tabela para 150 veiculos 3.2. Realizar a somatoria dos tempos TEC, TS Realizar a somatoria dos tempos de cliente no sistema e livre do operador.

Sistemas dinâmicos Modelar um sistema dinâmico significa obter uma representação matemática que permita um estudo analítico coerente com o comportamento do sistema na prática. A fase de modelagem é vital, uma vez que o compromisso entre precisão e complexidade do modelo em relação à dificuldade de obtenção da resposta deve ser assumido. A complexidade de se modelar um sistema dinâmico depende do conhecimento que se tem do sistema, por exemplo:

1. Introdução Exemplo: Deseja-se determinar a força que se deve aplicar ao caixote de massa m = 50 [kg], para que a aceleração obtida seja igual a 10 [m/s 2 ]. O atrito entre a superfície e o corpo não é desprezível e vale μ=0,1. A constante de gravidade vale g= 10 [m/s 2 ]. O somatório das forças vale: F = F 1 - μN = F 1 - 0, = F Esta resultante deve ser igual a massa do corpo multiplicada pela aceleração do mesmo, de forma que F = = 500 F 1 = = 550 [N] A modelagem do exemplo 2 requer mais detalhes do que a do exemplo 1. Também verifica-se que se desprezarmos a constante de atrito, produziremos um resultado diferente (menos preciso).

1. Introdução Basicamente em sistemas dinâmicos deve-se estudar: Modelagem, representação do sistema físico através de um modelo matemático. Determinação das caracterísitcas dinamicas, levantamento prévio de dados. Análise, a partir de uma metodologia, analisar a resposta do sistema a uma entrada, excitação ou distúrbio.

1. Introdução Variáveis Dinâmicas Contínuas Modelar um sistema dinâmico é fundamental para análise de seu comportamento frente a uma excitação Variáveis dinâmicas contínuas (figura) são aquelas em que para todo e qualquer instante de tempo, têm valores definidos. O objetivo é analisar se a variável contínua tende a um valor finito, após a aplicação de uma excitação ou distúrbio. Também verificar se o sistema vai alcançar um novo ponto de equilíbrio estável o mais rápido possível.

1. Introdução Variáveis Dinâmicas Contínuas A resposta dinâmica de um sistema pode ser dividida em duas parcelas: 1. Componente de regime permanente (ou valor final) que é obtida quando o tempo tende a um valor suficiente para a resposta se acomodar, seu valor é: A resposta em um instante qualquer é dada por y(t). 2. Componente transitória, é a parcela da resposta observada imediatamente após a aplicação de um distúrbio, seu valor é:

1. Introdução Resposta a excitações em Variáveis Dinâmicas Contínuas A resposta dinâmica de um sistema também pode ser classificada em três tipos: 1. Resposta livre, é a saída obtida quando não se considera qualquer excitação ao sistema 2. Reposta forçada, é a resposta obtida para uma determinada excitação, considerando nulas as condições iniciais 3. Resposta total, é a união das respostas anteriores.

1. Introdução Classificação dos sistemas Algumas definições importantes: 1. Variáveis de estado, definem a condição operativa de um sistema dinâmico, dependem do sistema, por exemplo: corrente em um circuito, velocidade de um corpo etc. 2. Variáveis de perturbação, tendem a mudar o ponto operativo de um sistema, podendo ser interpretadas como um distúrbio 3. Variáveis de controle, permitem manter o sistema operando dentro de algumas condições pré-especificadas Uma vez apresentados os tipos de respostas, devemos apresentar os tipos de sistemas existentes

1. Introdução Classificação dos sistemas Uma vez apresentados os tipos de respostas, devemos apresentar os tipos de sistemas existentes. Considerando x como um vetor de variável de estados, u o vetor de entrada (ou perturbação) e t o tempo (um escalar), temos: a) ẋ = ƒ(x,u,t) Sistema não linear, dependente do tempo e forçado. b) ẋ = ƒ(x,t) Sistema não linear, dependente do tempo e não forçado. c) ẋ = ƒ(x,u) Sistema não linear, não dependente do tempo e forçado. d) ẋ = ƒ(x) Sistema não linear ou linear, não dependente do tempo e não forçado.

2. Modelagem Nas análises e estudos de sistemas complexos são necessárias representações adequadas que permitam modelar características relevantes dos mesmos. A modelagem matemática de sistemas dinâmicos é realizada por meio de equações que representam suas dinâmicas com um determinado grau de precisão pré- estabelecido. Devido a complexidade inerente aos sistemas reais, na prática, deve-se trabalhar com aproximações que dependem da precisão desejada.

2. Modelagem Geralmente, busca-se um compromisso entre a simplicidade do modelo matemático adotado e a precisão resultante. Muitos sistemas práticos são modelados através de conhecimentos relacionados a áreas da física, quimica, biologia. Esta abordagem é chamada modelagem caixa branca ou fenomenológica. Nesse caso conhece-se detalhes ou propriedades básicas do sistema, suas relações entre seus parâmetros e as variáveis pertinentes. Estas relações são expressas por equações diferenciais, funções de transferência, variáveis de estado etc.

2. Modelagem Modelagem de Sistemas Exemplo: Sistema de aquecimento, este tipo de sistema é usado para aquecimento de fluidos em processos industriais, vide figura. Nesse modelo será considerado que a estrutura da planta possui isolação térmica ideal, isto é, não perde nem ganha calor através de suas paredes. Um elemento de aquecimento, uma resistencia elétrica submetida a uma tensão (ou queima de gás etc.) fornece o fluxo de calor q i para o interior do processo como cladeiras. Fluido Fluido aquecido qoqo TiTi ToTo Aquecimento qiqi

2. Modelagem Modelagem de Sistemas Considera-se que a energia do fluido de entrada seja agregada à energia do elemento de aquecimento. Admite-se que o calor está distribuído de forma homogênea no interior do recipiente. O fluido entra com a temperatura T i e é aquecido com uma temperatura T o saindo do sistema para um outro processo: Fluido Fluido aquecido qoqo TiTi ToTo Aquecimento qiqi

2. Modelagem Modelagem de Sistemas Exemplo: Usando a expressão da capacidade térmica: C = dT o (t) / dt = q i (t) – q o (t) Aplicando a relação da resistividade térmica do conjunto, obtém-se: q o (t) = [T i (t) – T o (t) ] / R Combinando, vem: C = dT o (t) / dt = q i (t) – q o (t) = C dT o (t) / dt = q i (t) - { [T i (t) – T o (t) ] / R } ou então: RC dT o (t) / dt = T o (t) = R q i (t) - T i (t) Fluido Fluido aquecido qoqo TiTi ToTo Aquecimento qiqi

2. Modelagem Modelagem de sistemas Exemplo: O fluxo de calor q i fornece a energia necessária para elevar a temperatura do material na saída do processo, essa energia é considerada uma entrada do sistema. A temperatura T i é considerada uma outra entrada, uma variação do processo. Uma outra maneira de representar esse modelo é por meio da variável de estado. Fazendo a substituição das variáveis x 1 = T o e u 1 = q i e u 2 = T i obtém-se: x' 1 = - 1/RC x 1 + 1/C u 1 + 1/RC u 2 Fluido Fluido aquecido qoqo TiTi ToTo Aquecimento qiqi

2. Modelagem Representação da equação de x' 1 em Listagem Scilab clear; // Valores de parametros e variaveis R= 5; C= 20; u2= 25; dt= 0.1; tf= 1000; x1= 0; t= 0; n= 0; while (t < tf), // Loop de repeticao u1=50; // Entrada de excitacao do sistema x1p= -x1/(R*C) + u1/C + u2/(R*C); // Valor da derivada de maior ordem x1= x1 + x1p*dt; // Integracao da variavel x1p t= t + dt; // Incremento da variavel independente n= n+1; // Incremento da variavel de indexaxão vy(n) = x1; // Armazena valor da variavel y em um vetor vt(n) = t; // Armazena valor da variavel t em um vetor end plot (vt,vy); // Tracar grafico da simulacao de y(t)

2. Modelagem Representação gráfico Scilab