Professora de Matemática Elisabete Lima

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Professora de Matemática Elisabete Lima Construção de matrizes segundo uma lei de formação

Professora de Matemática Elisabete Lima ACERTANDO O ALVO

Professora de Matemática Elisabete Lima 1. Resolução:

Professora de Matemática Elisabete Lima. 2)

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Professora de Matemática Elisabete Lima A = (1 3 7) Matriz Coluna É formada por uma única coluna. Matriz Linha Toda matriz que possui só uma linha.

Professora de Matemática Elisabete Lima  Matriz quadrada m = n (x linhas = x colunas) Esta é uma matriz quadrada de ordem 3 (3 x 3)  Diagonais Só tem sentido falar de diagonais em matrizes quadradas. Diagonal principal (i = j)Diagonal secundária = (n + 1 = i + j) Elementos da diagonal principal: 1, 1 e 2 Elementos da diagonal secundária: 2, 1 e 4

Professora de Matemática Elisabete Lima Matriz Nula Possui todos os elementos iguais a zero.  Matriz nula Todos os elementos são nulos. Chamamos a matriz nula de O mxn Então essa é O 3x4 A Matriz nula não precisa ser quadrada!

Professora de Matemática Elisabete Lima  Matriz triangular superior Matrizes Triangulares  Matriz triangular inferior Elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos. Lembre-se o ou da matemática não é exclusivo, ou seja, vale também quando ambos são verdade! Esta também é uma matriz triangular! Falou em diagonal, falou em matriz quadrada! Todas as triangulares são quadradas.

Professora de Matemática Elisabete Lima Matriz Diagonal Toda matriz quadrada nula é matriz diagonal É a matriz quadrada na qual todos os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero.

Professora de Matemática Elisabete Lima Dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo, dizemos que A = B se e somente se os seus elementos são respectivamente iguais. Igualdade de Matrizes A = B a ij = b ij Caso ao olhar essas duas matrizes e não ver que elas são iguais, favor procurar o oculista.

Professora de Matemática Elisabete Lima Matriz Identidade ou Matriz Unidade É a matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são todos iguais a 1 e os demais elementos são iguais a zero. Obs: A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação ou seja: A. I = I. A = A

Professora de Matemática Elisabete Lima É matriz obtida invertendo-se o sinal de cada elemento de uma matriz dada. Matriz Oposta ( - A)

Professora de Matemática Elisabete Lima Dada uma matriz A do tipo m x n chama-se transposta de A, a matriz A t obtida a partir de A, onde as linhas de A serão as colunas de A t e vice-versa Observe que A é uma matriz do tipo 2 x 3, enquanto que A t é do tipo 3 x 2. Observe também que todo elemento aij de A será o elemento aji de A t. Matriz Transposta

Professora de Matemática Elisabete Lima Simétrica  Matriz quadrada tal que A t = A Matriz A transposta Antissimétrica  Matriz quadrada tal que A t = -A = Os elementos da transposta são os opostos da original.

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Professora de Matemática Elisabete Lima Exercícios 01. Determine o valor de x e y para que se tenha A = B, sendo: Observe que as duas matrizes já possuem a mesma ordem, 2 x 2. Logo, temos que: Solução: Para que a matriz A seja igual à matriz B, deveremos ter as seguintes igualdades: Portanto, x = – 8 e y = 10.

As matrizes A e B apresentam a mesma ordem, 3 x 3. Assim, teremos: Professora de Matemática Elisabete Lima 02. Quais os possíveis valores de x, y, z e w para que ocorra A = B, sendo: Solução: Daí, obtemos as seguintes igualdades:

Professora de Matemática Elisabete Lima 03. Encontre os valores numéricos de a, b, x e y sabendo que a igualdade das matrizes abaixo é verdadeira. Solução: Como as duas matrizes são iguais os seus elementos correspondentes também devem ser iguais, assim iremos formar um sistema que nos possibilitará a encontrar os valores desconhecidos. a + b = 12 (3) -3a + 2b = 9 a + b = 12 a + 9 = 12 a = 12 – 9 a = 3 + 3a + 3b = 36 -3a + 2b = 9 5b = 45 b = 9 + x – y = 3 -x + 2y = 2 y = 5 x – y = 3 x – 5 = 3 x = x = 8

Professora de Matemática Elisabete Lima 04. Escreva a matriz coluna do tipo 7x1 tal que a ij = 2i + 3j Solução: Matriz coluna 7 x 1 significa que a matriz tem 7 linhas e uma única coluna, A representação geral é esta, |a11| |a21| |a31| |a41| |a51| |a61| |a71| Como o enunciado afirma que, aij = 2i + 3j você substitui o i e j de cada elemento na fórmula, a11 = 2(1) + 3(1) = = 5 {Lembre-se que o i é 1 e o j é 1} a21 = 2(2) + 3(1) = = 7 {Lembre-se que o i é 2 e o j é 1} a31 = 2(3) + 3(1) = = 9 { i = 3 e j = 1} a41 = 2(4) + 3(1) = = 11 { i = 4 e j = 1} a51 = 2(5) + 3(1) = = 13 { i = 5 e j = 1} a61 = 2(6) + 3(1) = = 15 { i = 6 e j = 1} a71 = 2(7) + 3(1) = = 17 { i = 7 e j = 1} A matriz 7 x 1 fica assim: | 5| | 7| | 9| |11| |13| |15| |17|

Professora de Matemática Elisabete Lima 05. Escreva a matriz linha do tipo 1x7 tal que aij=3i+2j Solução: Essa questão é semelhante a anterior, só que você tem apenas uma linha e 7 colunas, |a11 a12 a13 a14 a15 a16 a17| aij = 3i + 2j a11 = 3(1) + 2(1) = = 5 a12 = 3(1) + 2(2) = = 7 a13 = 3(1) + 2(3) = = 9 a14 = 3(1) + 2(4) = = 11 a15 = 3(1) + 2(5) = = 13 a16 = 3(1) + 2(6) = = 15 a17 = 3(1) + 2(7) = = 17 A matriz linha fica, | |

Professora de Matemática Elisabete Lima a) Determine a matriz A do tipo 3x2 sabendo que a ij = b) De que tipo é a matriz A t da matriz do item a? c) Determine a matriz A t da matriz A do item a? Solução letra a: Solução letra c:Solução letra b: É do tipo 2x3 06. Faça o que se pede:

Professora de Matemática Elisabete Lima 07. Verifique o que acontece quando determinamos a matriz transposta da transposta de uma matriz dada. Justifique sua resposta. A = (a ij ), A t = (a ji ) e a (A t ) t = A Solução: 08. Qual é a soma de todos os termos da matriz identidade de 7ª ordem? 09. Se a soma de todos os termos de uma matriz identidade é 75, determine a ordem dessa matriz 10. Uma matriz 3x4 pode ser uma matriz identidade? Justifique a sua resposta. Solução: A soma é igual a 7. A ordem desta matriz identidade é igual a 75. Não, a matriz identidade é sempre matriz quadrada

Professora de Matemática Elisabete Lima a) Determine a matriz diagonal de ordem 5 tal que a ij = i – j. b) De que tipo é a matriz encontrada no item a? 11. Faça o que se pede: Solução letra a: Solução letra b: É matriz nula de 5ª ordem

Professora de Matemática Elisabete Lima 12. Dada a matriz Determine: a)Os valores de x e y para que A seja matriz diagonal; b) b) Os elementos de A. Solução. A matriz é diagonal quando os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. a) b)

Professora de Matemática Elisabete Lima OPERAÇÕES COM MATRIZES Adição Dadas duas matrizes A e B, somaremos os elementos de A com seus correspondentes em B, ou seja, se tomarmos um elemento na primeira linha e primeira coluna de A devemos somá-los com o elemento na primeira linha e primeira coluna de B. É sempre possível somar matrizes? Não! Somente quando estas forem de mesma ordem. += Se liguem, o mesmo vale pra subtração. Veja... Define-se a adição A + B = C como sendo formada pelos elementos a ij + b ij = cij

Professora de Matemática Elisabete Lima Subtração Para subtrairmos duas matrizes A e B basta que elas sejam do mesmo tipo. Isto é, elas devem ter o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. Define-se a subtração A - B = C como sendo formada pelos elementos aij - bij = c ij

Professora de Matemática Elisabete Lima Multiplicação por escalar ( número real qualquer)  multiplicamos todos os elementos da matriz por este número. Matriz A Matriz -2A

Professora de Matemática Elisabete Lima Multiplicação de matriz por matriz CONDIÇÃO: Só podemos efetuar o produto de duas matrizes A mxn e B lxp se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda (n = l). A matriz C = AB será de ordem m x p.

Professora de Matemática Elisabete Lima Vamos supor que queremos multiplicar a matriz pela matriz Fazemos o seguinte esquema: Fazemos o seguinte esquema: Supondo agora que queremos multiplicar a matriz pela matriz Teríamos: Ihhh... Aqui fu...!

Professora de Matemática Elisabete Lima Vamos então calcular A x B : X PRIMEIRO PASSO: Copie uma matriz A para cada coluna da matriz B e coloque o sinal de multiplicação em cada elemento, fica igual catapora. SEGUNDO PASSO: Agora é ler em japonês e escrever em português... SEGUNDO PASSO: Agora é ler em japonês e escrever em português...

M U I T O F Á C I L ! ! ! ! Professora de Matemática Elisabete Lima (2) (3) (4) (2) (4) (3) Use o mesmo procedimento para a segunda coluna de B. Ficamos então com: Resolvendo os produtos : Efetuando as somas algébricas, chegamos ao resultado do produto A x B : Uma matriz 3 x 2 conforme previsto inicialmente.

Professora de Matemática Elisabete Lima Matriz Inversa (A -1 ) Seja A uma matriz quadrada. Dizemos que A é matriz inversível se existir uma matriz B tal que A. B = B. A = I. Dada a matriz A = e matriz B =, verifique se elas são inversas.. Multiplicar as duas matrizes se o produto encontrado for uma matriz identidade de ordem dois, elas serão inversas entre si.

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Professora de Matemática Elisabete Lima Solução: 01. Determine a, b e c para que. Efetuando a soma das matrizes e igualando à do 2º membro, temos:

Professora de Matemática Elisabete Lima 02. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela: O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela: Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho. Solução: O problema se resume na multiplicação das matrizes:

Professora de Matemática Elisabete Lima 03. Sejam as matrizes: A = (a ij ) 4x3, a ij = j.i e B = (b ij ) 3x4, b ij = j.i. Seja C a matriz resultante do produto entre A e B. Calcule elemento c 23 da matriz C. Cada elemento é calculado pelo produto de sua linha e coluna. Temos: Solução:

Professora de Matemática Elisabete Lima Solução: 04. Dadas as matrizes, e calcule X, de modo que: a) X – M = N – P b) P + X = M – N c) X + (M – P) = N Isolando X no 1º membro e efetuando a operação que se apresentar no 2º membro, temos: a) b) c).

Professora de Matemática Elisabete Lima Solução: 05. Considere as seguintes matrizes e Se for possível, calcule: a) 2C – D b) (2D t – 3E t ) t c) D² - DE Analisando as possibilidades, temos: a) Não é possível efetuar 2C – D, pois a ordem de C é 2x3 e a ordem de D é 3x3. b) Calculando as transpostas pedidas e efetuando, temos: c) Efetuando as operações, temos:

Professora de Matemática Elisabete Lima 06. Calcule A + B, A – B e 5A – 3B se e Solução. Aplicando as regras utilizadas nas operações com matrizes, temos: i) ii) iii)

Professora de Matemática Elisabete Lima Solução: 07. Caso seja possível encontre os produtos de AB e BA. a) OBS: Os resultados são diferentes reforçando que a multiplicação entre matrizes não é comutativa. b) Não é possível calcular B.A, pois B possui três colunas e A possui duas linhas. c)

Professora de Matemática Elisabete Lima 08. Encontre a matriz X, na equação A.X = B, ondee. Solução. Como a matriz A é de ordem 3 x 2 a matriz X deve possuir duas linhas (mesmo nº de colunas de A). A matriz B é de ordem 2 x 3. Logo X possui 2 linhas. Isto é: (A 3x2 ).(X 2x2 ) = B 3x2. Repare que se X possuísse três colunas a matriz B seria 3 x 3. Escolhendo a, b, c, d como elementos de X, montamos a equação:

Professora de Matemática Elisabete Lima 09. Resolva a equação, sabendo que e Solução. Antes da substituição dos valores das matrizes, é interessante simplificar o máximo a equação. Temos: O cálculo resume-se em multiplicação por escalares e adição de matrizes:

Professora de Matemática Elisabete Lima 10. (ENEM) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir. Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por: a)b)c)d)e) Solução. Expressando o cálculo da média em cada disciplina e representando como uma multiplicação de matrizes (linha x coluna), temos:

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