Matemática Uma aproximação à verdade Clique neste botão para dar o primeiro passo: Fontes e referências

Definição Quid est veritas? (o que é a verdade?) Algo que, estando presente em certas proposições, alimenta a convicção dos matemáticos de que pode ser provado! Esta convicção é, obviamente, de natureza sentimental, ou metafísica! Fonte: B OURBAKI, N., Théorie des Ensembles, Masson, 1990, E IV.43.B OURBAKI, N. : Objecção! Para recuar clique neste botão:

A objecção pode ser vencida … mas vencida a) Que certas proposições são aquelas? (…) b) Que significa “ser provado” ? mmmhh … vejamos um étimo afim: étimo “ prova ”

… prosseguindo: (…) a) Que certas proposições são aquelas? (…) b)(…) “ prova ” … vem de “ probus ”, a palavra latina para “ algo que é recto, honesto ”, etc… … a qual, por sua vez, deu origem a “ probare ”, a palavra latina para “ testar, pôr em julgamento ”, etc…

Recuando mais no tempo… (…) a) Que certas proposições são aquelas? (…) b) … “ probus ” e “ probare ”, por sua vez, pelo que significam, inspiram-nos as perguntas: -Como dar a ver (em julgamento) aquilo que se quer mostrar (porque é recto, honesto, ou… verdadeiro)? Como, e onde (tribunal)? - “Visão” e “ lugar” …?

Até à época da civilização grega clássica (…) a) Que certas proposições são aquelas? (…) … à qual remontam o étimo thea (ver) e o sufixo tron (lugar), cuja combinação nos trouxe: Thea + tron  theatron : O teatro, o lugar onde se vê. Online Etymology Dictionary Online Etymology Dictionary

… onde uma constelação de outros étimos afins, como (…) a) Que certas proposições são aquelas? Ei-las:

a) A instância (espectáculo) onde, ou a proposição com a qual, b) Se visa mostrar, demonstrar ou dar a ver, c) A verdade que o matemático contempla. Por isto é que, naqueles tempos, dizer “ teorema ” era dizer “ demonstração ” Por isto é que, desde então, dizer “ matemática ” é dizer “ demonstração ”

A forma talvez mais comum destas proposições a que chamamos teoremas, é a seguinte: “ Se uma certa hipótese, A, é verificada, então, uma determinada tese, ou conclusão, B, também é”. Formulações abreviadas equivalentes: “ Se A, então B ” ; “ A implica B ” ; “ A  B ”. Vamos estudar dois métodos de prova

1º método (prova directa) Hipótese (A): Sejam α e β dois números ímpares e seja α + β a sua soma. (clique aqui para ver a hipótese implícita )aqui Tese (B): α + β não é um número ímpar. Nota : Faz-se, ou recomenda-se a prova directa quando a hipótese contém informação suficiente para construir um encadeamento de passos que conduz à conclusão. Exemplo (provar que a soma de dois números ímpares não é um número ímpar)

Prova:

2º método (prova indirecta) (ou pelo contrarrecíproco, ou converso, também dita prova por contradição ou por redução ao absurdo)

Prova :

(continuação)

Exercícios ( demonstração de dois teoremas ).

Negação da tese  Contradição  

… pelo teorema de Pitágoras Clique aqui para voltar aos exercícios.aqui

… pois, que a verdade é um valor, isto é algo que todos sentimos ; e é este sentimento que nos determina a procurá-la. … então, continuemos, com um clique aquiaqui

Hipótese implícita: Valem, para α e para β, as propriedades das operações com números inteiros. Clique aqui para voltar à prova.aqui

Hipótese implícita: Valem, para x e para y, as propriedades das operações com números reais. Clique aqui para voltar à prova.aqui

Tabelas de verdade ( Clique aqui para retroceder para a apresentação do 2º método)aqui AB  B B  A AA  B  B   A VVFFVV VFVFFF FVFVVV FFVVVV A  A A lê-se “não A” VF FV AB A  B VVV VFF FVV FFV

d|n lê-se “d divide n”

Irracionais, sim… mas nem por isso menos razoáveis Recorde-se que, no nosso contexto, irracionalidade significa apenas impossibilidade de expressão como razão, ou quociente! Clique aqui para voltar ao enunciado dos exercícios.aqui

Fontes e referências para esta aula/apresentação: A LLENDOERFER, C.B., O AKLEY, C.O., Principles of Mathematics, 2 nd ed., McGraw-Hill, B OURBAKI, N., Théorie des Ensembles, Masson, C UPILLARI, A., The Nuts and Bolts of Proofs, 2 nd ed., Academic Press, D AREMBERG, C H., S AGLIO, E DM., Dictionnaire des Antiquités Grecques et Romaines, Librairie Hachette, 1877 (pode ser consultado aqui)aqui G RIZE, J.-B., Lógica Moderna, Livraria Civilização, M ACHADO, J.P., Dicionário Etimológico da Língua Portuguesa, 6ª ed., Livros Horizonte, Voltar ao início