1 Geometria Analítica Prof. Paulo Salgado

Sumário O plano – Sistema de coordenadas – Distância entre dois pontos – Vetores no plano – Operações com vetores 2

3 O Plano Sistema de Coordenadas A A’ O 1 1 x y PyPy PxPx P x’ y’ Considere o plano definido pelo par de retas perpendiculares x e y; OA = OA’ = unidade; P = ponto qualquer do plano; Por P, podemos traçar as retas x’ (paralela a x) e y’ (paralela a y), sendo essas retas as únicas possíveis. x’ e y’ interceptam x e y nos pontos Px e Py.

4 O Plano Sistema de Coordenadas A A’ O 1 1 x y PyPy PxPx P x’ y’ Se a e b são os valores nominais de Px e Py em x e y, então eles determinam o ponto P. Ou seja, conhecendo a e b, podemos determinar Px e Py e deles P. a e b são chamados, respectivamente, de abscissa e ordenada do ponto P e constituem as coordenadas de P: P(a, b)

5 O Plano Sistema de Coordenadas O x y b a P(a, b) Simplificando....

6 O Plano Distância entre dois Pontos Sejam P(x1, y1) e Q(x2, y2) dois pontos do plano Podemos calcular a distância entre P e Q usando... – triângulos de forma simples.... y x y1 y2 x1 x2 P(x1, y1) Q(x2, y2) Plano XY

7 O Plano Distância entre dois Pontos Na Figura, montamos o triângulo PSQ A distância entre P e Q nada mais é do que a hipotenusa desse triângulo: y x y1 y2 x1 x2 P Q Plano XY |x1 – x2| |y1 – y2| Distância entre P e Q S

8 O Plano Vetores no Plano Cada par ordenado (x, y) corresponde a um ponto no plano Se (x, y)  (0, 0), além do ponto, podemos também fazer corresponder ao par (x, y) uma seta: P(x, y)

9 O Plano Vetores no Plano Quando usamos uma seta para representar o par (x, y), podemos associar a este par ordenado direção, sentido e módulo – A direção e o sentido do par (x, y) são, respectivamente, a direção e o sentido da seta que o representa – O módulo é o tamanho dessa seta – Um objeto com direção, sentido e módulo é chamado de vetor.

10 O Plano Vetores no Plano O módulo do par (x, y) é o número que é a distância da origem ao ponto (x, y)  Considere x2 = y2 = 0 na equação da distância dada anteriormente

11 O Plano Vetores no Plano Exemplo: Considere o ponto v = (3, 4)  A direção é a direção da reta definida pelos pontos O(0, 0) e P(3, 4)  O sentido de v é de O para P  O módulo de v é o comprimento da seta OP: OBS: O = (0, 0), ou 0, é chamado de vetor nulo, não sendo possível associar-lhe os conceitos de direção e sentido

12 O Plano Vetores no Plano Podemos ter um vetor que comece de qualquer posição, não necessariamente, da origem y x A B Vetor AB C O Vetor OC Vetor AB = Vetor OC x 2 - x 1 y 2 - y 1 = (x 2, y 2 )-(x 1, y 1 ) = (x 2 -x 1, y 2 -y 1 )

13 O Plano Operações com Vetores Sejam u = (x1, y1), v = (x2, y2) e k  R:  Adição de vetores:  u + v = (x1 + x2, y1 + y2) Multiplicação de um vetor por um escalar: k.u = (k.x1, k.y1)

14 O Plano Operações com Vetores Propriedades da Adição de Vetores  u + v = v + u  u + (v + w) = (u + v) + w  u + 0 = u 0 = Vetor Nulo  Considerando u, v e w como vetores quaisquer

15 O Plano Operações com Vetores Propriedades da Multiplicação de um Vetor por um Escalar  k.(u + v) = k.u + k.v  (k1 + k2).u = k1.u + k2.u  k1.(k2.u) = (k1.k2).u  1.u = u e 0.u = 0 número zero vetor nulo

16 O Plano Operações com Vetores O vetor (-1).u é indicado por –u e é chamado o oposto de u y x -u u

17 O Plano Operações com Vetores O vetor k.u tem a mesma direção de u  u e k.u são retas paralelas  Os sentidos dependem do sinal de k Se k < 0, o sentido se inverte e k.u é o oposto de u  Os módulos de u e k.u são relacionados ||k.u|| = |k|.||u||  || || = módulo do vetor  | | = módulo do escalar

18 O Plano Operações com Vetores Representação gráfica da soma de dois vetores y x u v 0 A C B u+v A seta que representa u + v é uma das diagonais do paralelo- gramo cujos lados são as setas que representam u e v. Dados os vetores A(2,1) e B(3,2), faça o gráfico da soma deles.

19 O Plano Operações com Vetores Sejam u e v vetores e k um escalar:  k.u = 0  k = 0 ou u = 0  ||u||  0  ||u|| = 0  u = 0  ||u + v||  ||u|| + ||v|| Desigualdade triangular u v u+v

20 O Plano Operações com Vetores Exemplo 1: Vetor unitário  Vetor cujo módulo é igual a 1  Exs: ( √2/2, √2/2), (1, 0), (0, 1), etc  Para obter um vetor unitário, basta tomar um vetor qualquer não nulo e multiplicá-lo pelo inverso de seu módulo  Observe que isso não afeta o sentido e a direção do vetor! Apenas seu módulo!

Exemplo 2 (2.4): Determine x para que se tenha AB = CD, sendo A(x, 1), B(4, x + 3), C(x, x + 2) e D(2x, x + 6) Solução: AB = (4 – x, x + 3 – 1) = (4 – x, x + 2) CD = (2x – x, x + 6 – (x + 2)) = (x, 4) Logo: (4 – x, x + 2) = (x, 4) 4 – x = x  x = 2 x + 2 = 4  x = 2 As duas soluções têm que ser iguais ou não há solução possível 21 O Plano Operações com Vetores

Exemplo 3 (2.5): Determine a extremidade da seta que representa o vetor v = (3, -7), sabendo que sua origem é o ponto A(2, 1) Solução: Sem considerar direção e sentido, o que temos é: Logo: x – 2 = 3  x = 5 y – 1 = -7  y = A(2, 1) B(x, y) v(3, -7) O Plano Operações com Vetores

Exemplo 4 (2.11(a)): Dado dois vetores u = (2, -1) e v = (1, 3), determine um vetor w tal que 3(u + w) – 2(v – w) = 0 Solução: 3(u + w) – 2(v – w) = x – 2 + 2x = 0 3((2, -1) + (x, y)) – 2((1, 3) – (x, y)) = 0 3y – 3 – 6 + 2y = 0 3(2 + x, y – 1) – 2(1 – x, 3 – y) = 0 (6 + 3x, 3y – 3) – (2 – 2x, 6 – 2y) = 0Logo: x = -4/5, y = 9/5 w = (-4/5, 9/5) 23

Exemplo 5 (2.15): Encontre k1 e k2, escalares, tais que: v = k1.u + k2.w, sendo v = (2, 3), u = (-1, 2), w = (1, 2) Solução: (2, 3) = k1.(-1, 2) + k2.(1, 2) (2, 3) = (-k1 + k2, 2.k1 + 2.k2) -k1 + k2 = 2 2.k1 + 2.k2 = 3 Logo: k1 = -1/4ek2 = 7/4 24 O Plano Operações com Vetores

Exemplo 6 (2.22): Dados A(1, 3) e B(2, 2), determine x para que a reta definida pelo ponto médio AB e o ponto X(x, 0) seja paralela ao vetor v = (1, 2) Solução: P médio = AB/2 = ((1+2)/2,(3+2)/2) = (3/2, 5/2) XP = (x p, y p )-(x x, y x ) = (3/2, 5/2) – (x, 0) XP = ((3/2)-x, 5/2) Se XP é paralelo ao vetor v = (1, 2), então (1, 2) = k((3/2)-x, 5/2) 5k/2 = 2 => k = 4/5 (1, 2) = (k((3/2)-x), 5k/2), logo k((3/2)-x = 1 => x = 1/4 25 y x0 A B v X(x, 0) P m (a, b)

Hoje vimos... O plano – Sistema de coordenadas – Distância entre dois pontos – Vetores no plano – Operações com vetores 26