Métodos Numéricos Métodos numéricos para resolução de Equações Diferenciais AED-27 – Aerodinâmica Supersônica Vitor Kleine Valeria Leite

Métodos Numéricos Avanço no tempo  Esquemas explícitos e implícitos Volumes finitos  Malhas  Método de volumes finitos AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Roteiro

Avanço no tempo O valor das variáveis no tempo (n+1) depende apenas de valores no tempo (n)  Variáveis são determinadas analiticamente AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Explícito

Avanço no tempo O valor das variáveis no tempo (n+1) depende apenas de valores no tempo (n) Existem vários métodos. Mais “famosos”:  Euler  Runge-Kutta AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Explícito

Avanço no tempo O valor das variáveis no tempo (n+1) depende de valores no tempo (n) e no tempo (n+1) AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Implícito

Avanço no tempo O valor das variáveis no tempo (n+1) depende de valores no tempo (n) e no tempo (n+1) Sendo N o número de pontos no domínio:  N equações e N variáveis  Resolução de sistema linear Método LU Algoritmo de Thomas Invertendo matrix Etc... AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Implícito

Avanço no tempo Explícito:  Condicionalmente estável no melhor dos casos AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Explícito x Implícito Implícito:  Incondicionalmente estável, teoricamente, para equações lineares.  Na prática é condicionalmente estável, mas com CFL significantemente maior que o método explícito

Avanço no tempo Explícito:  Passo de tempo analítico AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Explícito x Implícito Implícito:  Resolução de sistema linear  Custo maior por iteração

Avanço no tempo AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Explícito x Implícito De maneira geral:  Implícito é mais “caro” por passo de tempo, mas requer menos passos  Para problemas não-estacionários, com passo de tempo pequeno, um esquema explícito normalmente é preferível (mais barato)

Volumes finitos É o método mais utilizado atualmente em CFD Permite utilizar malhas não-estruturadas AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Introdução

Volumes finitos Malhas estruturadas Transformação para malha retangular AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Malhas

Volumes finitos Malhas não-estruturadas Não exige transformação para malha retangular Permite maior controle da região de concentração Mais facilmente adaptável a geometrias complexas AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Malhas

Volumes finitos Malhas não-estruturadas Células vizinhas não são conhecidas a priori  Tabela de conectividade Programação e pós- processamento podem não ser tão diretos AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Malhas

Volumes finitos De maneira geral, todas as equações de interesse na mecânica dos fluidos podem ser escritas na forma: Ou na forma integral: AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Fórmula geral FonteFluxoEstado

Volumes finitos Discretizando: AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Discretização Constante dentro do volume Malha não-estruturadaMalha estruturada

Volumes finitos Discretizando: AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Discretização Vetor área Fluxo deve ser igual em módulo para elementos adjacentes 3D 2D

Volumes finitos Discretizando: Ordem do método está relacionado à modo de cálculo do fluxo AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Discretização

Métodos numéricos Mais detalhadamente em:  Anderson, J. D. “Computational fluid dynamics”  Hirsch, C. “Numerical Computation of Internal and External Flows: The Fundamentals of Computational Fluid Dynamics: The Fundamentals of Computational Fluid Dynamics – Vol 1” AED-27 - Aerodinâmica Supersônica Referências