Obstáculo epistemológico e os números complexos
Problema 1 Dividir um segmento de 10cm de comprimento em duas partes de tal modo que o produto dos comprimentos dessas partes seja 40cm 2
Resolvendo o problema
X X + 40 = 0
Resolvendo o problema X X + 40 = 0
Para os antigos, aparecer a raiz quadrada de um número negativo não causava muito embaraço, pois o problema que dava origem a esta situação não tinha solução:
Para os antigos, aparecer a raiz quadrada de um número negativo não causava muito embaraço, pois o problema que dava origem a esta situação não tinha solução: com um comprimento de 10cm não se pode com um comprimento de 10cm não se pode cortar em dois pedaços e obter o produto cortar em dois pedaços e obter o produto 40cm 2 com os seus comprimentos ! 40cm 2 com os seus comprimentos !
Problema 2 Sejam V o volume de um cubo de aresta x, V’ o volume de um paralelepípedo retângulo cuja área da base é 3 e cuja altura é igual a aresta do cubo. Determinar x de modo que V = V’ + 1 V = V’ + 1
Como V = x 3 e V’=3x, o problema leva a seguinte equação: x 3 = 3x + 1 V V’
Como V = x 3 e V’=3x, o problema leva a seguinte equação: x 3 = 3x + 1 Usando a fórmula de Cardano ou Tartaglia par equações do tipo x 3 + ax = b V V’
Obtém-se:
Como no caso anterior, a resposta poderia ser a mesma se não fosse a constatação seguinte: Para x = 1, V = 1 e V’ + 1 = 4, ( V < V’ + 1) Para x = 2, V = 8 e V’ + 1 = 7, ( V > V’ + 1)
Obtém-se: Como no caso anterior, a resposta poderia ser a mesma se não fosse a constatação seguinte: Para x = 1, V = 1 e V’ + 1 = 4, ( V < V’ + 1) Para x = 2, V = 8 e V’ + 1 = 7, ( V > V’ + 1) Portanto, para algum x entre 1 e 2, deveremos ter V = V’ + 1 e a equação tem pelo menos uma raiz real
X = 4 é solução
Ao contrário do que aconteceu no caso anterior, em que a raiz quadrada de um número negativo era encarada como a inexistência da solução prática, os algebristas se dão conta de que precisavam manipular com estes objetos que os consideravam tão sutis quanto inúteis.
Foi por causa de uma situação embaraçosa deste tipo que surgiram os números complexos...
X = 4 é solução