MATEMÁTICA FINANCEIRA 1.Introdução 2.Proporcionalidade 3.Porcentagem 4.Acréscimos e descontos 5.Juros e funções

1. INTRODUÇÃO Ao comprarmos um eletrodoméstico em prestações, é comum pagarmos juros sobre seu valor. No entanto, quando o pagamento é a vista, algumas vezes podemos obter desconto. Praticas como essas envolvendo compra, venda, pagamento de empréstimos e aplicações, são elementos centrais do estudo da matemática financeira.

Matemática Financeira Iremos estudar alguns instrumentos da matemática financeira e algumas de suas aplicações no cotidiano, tais como descontos e acréscimos e juros. Exemplo: Forno Micro-ondas – a vista R$ 299,90 ou - 2 x R$ 152,77 (R$ 305,54) – 3 x R$ 102,48 (R$ 307,44) – 4 x R$ 77,33 (R$ 309,32) – 5 x R$ 62,25 (R$ 311,25) – com taxa de juros de 1,25% am. Antes, porem, abordaremos assuntos relacionados a proporcionalidade e a porcentagem.

2. Proporcionalidade Grandeza: é uma relação numérica estabelecida com um objeto. Ex.: qtdd de pães, altura de uma arvore. Grandeza é tudo que se pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar. Razão: é a divisão, ou relação entre duas grandezas. Ex.: se numa classe tivermos 40 meninos e 30 meninas, qual razão entre o numero de meninos e meninas? Proporção: é a igualdade entre as razões.

Razão Em nosso dia a dia é comum lermos expressões do tipo em ―média duas a cada cinco mulheres sofrem de enxaqueca‖. O que isso significa? Significa que, se observarmos um grupo de 5 mulheres, 2 delas sofrem de enxaqueca; Quando lemos que ―duas a cada cinco mulheres sofrem de enxaqueca‖, estamos lendo a razão de mulheres que sofrem de enxaqueca (no caso, duas a cada cinco). Essa razão pode ser expressa pelo fator ou fração 2/5 (lê-se dois quintos ou dois a cada cinco). Assim, se duas a cada cinco mulheres sofrem de enxaqueca, em 50 mulheres, quantas sofrem de enxaqueca?

Razão Exemplo 1. Qual é a razão de dias de final de semana em relação ao total de dias da semana?

Razão Exemplo 2. Quantos dias de final de semana existem em um ano de 360 dias?

Proporcionalidade No quadro abaixo esta representado o preço de certo produto de acordo com a quantidade. Ao dividirmos cada numero da segunda linha pelo respectivo numero da primeira, temos: Quantidade2458 Preço (R$)

Proporcionalidade Note que o resultado é o mesmo : 7. Dizemos, então que os números 2,4,5,8 são proporcionais aos números 14,28,35 e 56, respectivamente, e, nesse caso, 7 é chamado coeficiente de proporcionalidade. Assim: 14/2 = 28/4 = 35/5 = 56/8 Cada uma dessas frações recebe o nome de razão, e a igualdade entre duas dessas razões dá-se o nome de proporção.

Proporcionalidade A proporção 14/2 = 28/4, por exemplo, lê-se 14 está para 2 assim como 28 esta para 4. Nela, os números 14 e 4 são chamados extremos e os números 2 e 28 são chamados meios. Nessa proporção, note que 2x28 =56 e 14x4=56. Isso ocorre porque em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

3. PORCENTAGEM A porcentagem (do latim per centum, significando “por cento”, “a cada centena”) é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 valores a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um numero por 100 (cem).

Porcentagem Em 2003, segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a cada 100 domicílios brasileiros, 2 não tinham fogão. A razão entre quantidade de domicílios sem fogão e a quantidade de domicílios utilizada como base para calculo pode ser expressa por 2/100, chamada razão centesimal.

Porcentagem Podemos representar essa razão na forma decimal e também na forma de taxa percentual, ou porcentagem. 2/100 = 0,02 = 2% (lê-se: dois por cento) De modo geral: Toda razão a/b, na qual b=100 chama-se taxa percentual.

Porcentagem Numero decimalFraçãoPorcentagem 0,1818/100% 0,440/100% 3300/100% 0,18318,3/100% 3,18318/100% 723, ,358/100% /100%

4. Acréscimo e desconto Acréscimo Os acréscimos são utilizados em varias situações entre elas, atualizar o preço de venda de bens e serviços ou calcular o preço de venda a partir do custo a fim de se obter certa taxa de lucro. A seguir, iremos abordar algumas situações envolvendo acréscimo simples, acréscimos simultâneos e acréscimos sucessivos.

Acréscimo Simples No mês de março, o salário de Renato foi de R$ 960,00. No mês, seguinte, o salário teve um acréscimo de 7,2%. Qual passou a ser o salário de Renato?

Acréscimos Simultâneos (incidem sobre o mesmo valor) Uma concessionária oferece opções de cor e acessórios na compra de um carro novo. Em um carro cujo o preço é de R$ ,00, a opção por certa cor corresponde a um acréscimo de 2,6% do preço do carro, e, de acordo com o kit de acessório um acréscimo de 3,5%. Quantos reais uma pessoa ira pagar por um carro com esses acréscimos?

Acréscimos Sucessivos (incidem sobre acréscimos anteriores Certo medicamento custava R$ 57,00. No ultimo semestre, o preço sofreu três aumentos sucessivos: 5%, 6% e 7,5%. Quantos reais o medicamento passou a custa após esses reajustes?

Descontos Assim como existe situações em que se faz necessário o calculo de acréscimos, sejam eles simples, simultâneos ou sucessivos, há outras em que precisamos calcular os descontos ou abatimentos oferecidos. A seguir, iremos abordar algumas dessa situações, as quais envolvem descontos simples, simultâneos e sucessivos.

Descontos Simples Certa loja esta oferecendo desconto de 12% na compra à vista de qualquer eletrodoméstico. Se nessa loja um aparelho de DVD custa R$ 249,00, qual será o seu preço com o desconto?

Descontos Simultâneos (incidem sobre o mesmo valor) Daniela recebe um salário bruto de R$ 932,00 por mês. Desse valor, foram descontados, no ultimo mês, 8,65% de alíquota do Instituto Nacional de Previdência Social (INSS) e 6% de contribuição sindical. De acordo com os descontos, de quantos reais foi o salário de Daniela?

Descontos Sucessivos (incidem sobre o valor anterior) O lançamento de um novo modelo de automóvel fez com que o modelo anterior sofresse descontos sucessivos de 2%, 3,5% e 2,5%. Sabendo que o preço do modelo anterior antes dos descontos era de R$ ,00, qual é o preço atual do automóvel?

5. Juros Alguns termos da matemática financeira. Entre os termos utilizados na matemática financeira, destacamos os seguintes: Capital: quantidade de dinheiro disponível em determinada data para ser investido ou emprestado. Indicaremos o capital por (c). Juros: rendimento, acrescido ou “aluguel” pago pelo empréstimo de certa quantia. Indicaremos os juros por (j). Taxa de juros: porcentagem que se recebe ou se paga pelo “aluguel” de um capital por determinado período. Indicaremos a taxa de juros por (i). Montante: valor final do capital aplicado. Corresponde a soma do capital com juros obtidos por uma aplicação ou pagos pelo empréstimo. O montante será indicado por (M), podendo ser expresso por M = C + J

Juros Simples Os juros que incidem sobre um aplicação ou empréstimos podem ser simples ou compostos. Inicialmente, iremos estudar os juros simples, aqueles que incidem sempre sobre o capital inicial. Chamando de (c) o capital, de (j) os juros, de (i) a taxa de juros simples (na forma decimal) e de (t ou n) o período da aplicação, temos: J = c.i.t

Juros Simples Douglas fez uma aplicação de R$ 2.500,00 a uma taxa de juros simples de 1,5% am (ao mês). Sabendo que Douglas deixou o dinheiro aplicado durante 4 meses, qual o montante recebido ao final desse período? J = M =

Juros Compostos Já estudamos os acréscimos sucessivos, ou seja, aqueles que incidem sobre um valor de tal forma que, cada acréscimo, a partir do segundo, incide sobre o valor já acrescido dos anteriores. O sistema de juros compostos consiste em um caso particular de acréscimos sucessivos. Nos juros compostos, as taxas de acréscimos são todas iguais. Temos: M = c (1 + i)ⁿ

Juros Compostos Uma pessoa aplicou R$ 3.200,00 durante 3 meses a uma taxa de juros compostos de 2% am. Ao final desse período, qual foi o montante dessa aplicação?