Revisão Matemática ANO 2011 Camilo Daleles Rennó camilo@dpi.inpe.br

Álgebra: Funções A B Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função se e somente se, nesta relação, para cada x, x  A, tivermos um único y, y  B. A B A B A B 

Álgebra: Funções A B Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função se e somente se, nesta relação, para cada x, x  A, tivermos um único y, y  B. Exemplo: Considere os conjuntos A = {x  Z | -2  x  3} e B = {y  Z | -1  y  9} N Z Q R N  Z  Q  R reais {..., 1, ..., 3, ..., , ...} racionais {..., -1, ..., 1/3, ...} inteiros {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} naturais {0, 1, 2, ...}

Álgebra: Funções A B Sendo A e B dois conjuntos, diremos que uma relação de A em B é uma função se e somente se, nesta relação, para cada x, x  A, tivermos um único y, y  B. -2 -1 1 2 3 A 4 5 6 7 8 9 B Exemplo: Considere os conjuntos A = {x  Z | -2  x  3} e B = {y  Z | -1  y  9} Associando a cada elemento de A, o seu quadrado em B, estabelecemos uma função de A em B. De outra forma podemos dizer que y = x2 ou f(x) = x2 Domínio = A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} Contradomínio = B = {-1, 0, ..., 9} Imagem = {0, 1, 4, 9}

Álgebra: Funções Gráfico de uma função A = {x  Z | 2  x  5} e B = {y  Z | y  6} f(x) = x A = {x  R | 2  x  5} e B = {y  R | y  6} f(x) = x imagem domínio

Álgebra: Funções x y x y x y x y x y x y x y x y

Álgebra: Funções f(2) = 0,84 y = f(x) f(12) = ? interpolação linear x 1 0,37 2 0,84 3 1,25 4 1,65 5 1,97 10 2,94 20 3,98 30 4,62 40 4,86 50 4,98 10 2,94 12 y 20 3,98 12 - 10 y - 2,94 20 - 10 3,98 - 2,94

Álgebra: Funções Função polinomial do 1o grau f(x) = ax + b, a  R*, b  R a = tan()  coeficiente angular b = f(0)  coeficiente linear Exemplo: f(x) = 2x - 1  = 63,435o tan(63,435o) = 2 b = -1

Álgebra: Funções Função polinomial do 1o grau f(x) = ax + b, a  R*, b  R Exemplo: f(x) = 2x - 1 f(x) = x - 1 f(x) = -x - 1 f(x) = -x + 2

Álgebra: Funções Função polinomial do 1o grau Exercícios resolvidos 1. Sabendo que uma função é representada por uma reta com inclinação de 45º e que esta reta cruza o eixo das ordenadas (y) no ponto -3, qual a equação desta função? y = ax + b a = tan() = tan(45º) = 1 b = f(0) = -3 y = x – 3 2. Uma função é representada por uma reta e passa pelos pontos (x;y): (-1;3) e (4;-1). Qual a equação desta função? y = ax + b 3 = a(-1) + b -1 = a(4) + b 4 3 -1 y = ax + b x y -a + b = 3 4a + b = -1   Resolvendo o sistema De , b = 3 + a Substituindo em , 4a + 3 + a = -1  5a = -4  a = -4/5 Substituindo em , 4/5 + b = 3  b = 3 - 4/5 = (15 – 4)/5 = 11/5

Álgebra: Funções Função polinomial do 1o grau Exercícios resolvidos (cont.) 3. Obtenha a equação das funções (A e B) mostradas no gráfico: Função A: y = ax + b a = tan(0o) = 0 b = f(0) = 3 y = 3 Função B: 150o x y A B  ?

Álgebra: Funções Função polinomial do 1o grau Exercícios resolvidos (cont.) 4. Determine o ponto no qual a função y = -3x + 6 intercepta o eixo das abscissas (x)? A função intercepta o eixo das abscissas quando y = 0, então 0 = -3x + 6 3x = 6 x = 2 ou seja, o ponto é (2; 0) 5. Qual é o ponto em que ocorre o cruzamento entre as funções y = 2x + 3 e y = -x + 6? Igualando-se as funções, tem-se 2x + 3 = -x + 6 3x = 6 – 3 = 3 x = 1 Substituindo na primeira função y = 2(1) + 3 = 5 ou seja, o ponto é (1; 5)

Álgebra: Funções Função polinomial do 2o grau (função quadrática) f(x) = ax2 + bx + c, a  R*, b  R, c  R y = 2x2 – 2x + 1 y = x2 –1 y = -x2 y = x2

Álgebra: Funções Função polinomial do 2o grau (função quadrática) f(x) = ax2 + bx + c, a  R*, b  R, c  R Propriedades: a) a função tem concavidade para cima caso a > 0 e concavidade para baixo caso a < 0 a > 0 a < 0 b) o vértice da parábola é dado por e onde c) quando  > 0, então a parábola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos, dados por d) quando  = 0, então a parábola intercepta o eixo das abscissas apenas num ponto (xv) e) quando  < 0, então a parábola não intercepta o eixo das abscissas

Álgebra: Funções Função polinomial do 2o grau Exercícios resolvidos 1. Qual é a função quadrática que intercepta o eixo das abscissas nos pontos (-1;0) e (2;0) e intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0;-6)? y = ax2 + bx + c 0 = a(-1)2 + b(-1) + c 0 = a(2)2 + b(2) + c -6 = a(0)2 + b(0) + c a – b + c = 0 4a + 2b + c = 0 c = -6 a – b = 6 4a + 2b = 6   Resolvendo o sistema De , a = 6 + b Substituindo em , 4(6 + b) + 2b = 6  24 + 4b + 2b = 6  6b = -18  b = -3 Substituindo em , a – (-3) = 6  a + 3 = 6  a = 3 y = 3x2 – 3x – 6 Ou, y = ax2 + bx + c = a(x + 1)(x – 2) -6 = a(0 + 1)(0 – 2)  -2a = -6  a = 3 y = 3(x + 1)(x – 2) = 3x2 – 6x + 3x – 6

Álgebra: Funções Função polinomial do 2o grau Exercícios resolvidos (cont.) 2. Qual o vértice e o conjunto imagem da função y = 3x2 – 7x + 1? Como a = 3 (> 0), então a concavidade é para cima e portanto o vértice é um ponto de mínimo ou seja: se x  R, então Im = {y  R | y ≥ }

Álgebra: Funções Função polinomial do 2o grau Exercícios resolvidos (cont.) 3. Esboce o gráfico da função y = x2 – x – 2. Encontrando os zeros da função: Determinando os vértices:

Álgebra: Funções Função exponencial f(x) = bg(x), b  , e b  1 y = 2x

Álgebra: Funções Função exponencial f(x) = bg(x), b  , e b  1 y = 2x

Álgebra: Funções Função exponencial f(x) = bg(x), b  , e b  1 y = 2x

Álgebra: Funções Função exponencial f(x) = bg(x), b  , e b  1 y = 2x

Álgebra: Funções Função exponencial f(x) = bg(x), b  , e b  1 y = 2x Se b > 1, então f(x) = bx é crescente Se 0 < b < 1, então f(x) = bx é decrescente